【北师大版九上同步练习】 第一章 特殊平行四边形（能力提升）检测题（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
第一章特殊平行四边形（能力提升）检测题
一、单选题
1．如图，在中，AC，BD相交于点O，若，则线段AO的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．16
2．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（　　）
A．6 cm B．8 cm C． D．
3．一张矩形纸片，截下一个三角形后，剩下部分的形状不可能是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．四边形 D．五边形
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点C，D，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在，的位置，ED的延长线与BC交于点G．若，则　 　．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是．则菱形的周长为　 　．
8．如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．
（1）若，，则的长是　 　cm．
（2）若，则的值是　 　．
三、计算题
9．计算：
四、解答题
10．如图， ， 平分 ，交 于点 ， 平分 ，交 于点 ，连接 .求证：四边形 是菱形.
11．如图，矩形沿着直线对折，点恰好落与边上的点重合，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的面积．
12．如图，内接于为的直径，弦平分，交于点，以为邻边作平行四边形，延长交延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
五、综合题
13．在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 、 满足 ，连接 、 、 、 ，如图所示.
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由.
14．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
15．如图1，在中，点E为AD中点，BA，CE延长线交于点F．
（1）求证：．
（2）若时，记AB与CD之间的距离为，AD与BC之间的距离为，求的值．
（3）如图2，连结AC，BD，在（2）的条件下，求证：．
六、实践探究题
16．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系：
（1）【感知】如图1，，，与的关系是　 　；
（2）如图2，，，与的关系是　 　；
（3）【探究】经过上述证明，我们可得出结论，
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　 　；
（4）【应用】若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少，则这两个角分别是多少度？
17．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的，联系的，发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“矩形的折叠”主题下设计的问题，请你解答．
如图，将矩形纸片折叠，折痕分别交于点，点的对应点为，点的对应点为．
图1 图2
（1）观察发现
如图1，若点与点重合，则四边形的形状为　 　．
（2）探究迁移
如图2，，连接，，，求的值．
（3）拓展应用
若，，点的对应点落在边上，求线段的长的取值范围．
18．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境：
在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C．
（1）【初探感知】如图1，　 　；
（2）【深入领悟】如图2，当线段经过点C时，求证：；
（3）【融会贯通】如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质
4．【答案】A
【知识点】点的坐标；菱形的性质；解直角三角形
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
6．【答案】110°
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
7．【答案】68
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
8．【答案】4；3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；正方形的性质；锐角三角函数的定义
9．【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
10．【答案】证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 .
∴ ，
∵ ，
∴ 且 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形.
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；角平分线的定义
11．【答案】（1）解：△EFH是等腰三角形，．
理由：四边形是矩形，∴，∴，
由折叠的性质知：，，
，三角形是等腰三角形；
（2）解：四边形是矩形，，
由折叠的性质知：，
设，则，在Rt中，
，即，
解得，，三角形的面积为
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
12．【答案】（1）证明：连接，
为的直径，，
平分，，
四边形是平行四边形
，即：，
又为的半径，
与相切．
（2）解：四边形是平行四边形
在中，
由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
四边形是平行四边形
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
13．【答案】（1）解：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，则∠ABE=∠ADF=135°，
又∵BE=DF，
∴△ABE △ADF。
（2）解：解：四边形AECF是菱形。理由如下：由（1）得∴△ABE △ADF，
∴AE=AF。
在正方形ABCD中，CB=CD，∠CBD=∠CDB=45°，则∠CBE=∠CDF=135°，
双∵BE=DF，
∴△CBE △CDF。
∴CE=CF。
∵BE=BE，∠CBE=∠ABE=135°，CB=AB，
∴△CBE △ABE。
∴CE=AE，
∴CE=AE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形。
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质
14．【答案】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= =13，
∴OC= EF=6.5
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
15．【答案】（1）证明：
在□ABCD中
AB//CD，AB＝CD
∴∠F＝∠FCD
∵E是AD中点
∴AE＝DE
在和中
∴≌（AAS）
∴AF＝CD
∴AF＝AB
（2）解：∵≌
∴EF＝CE
∵BE⊥CF∴BC＝BF
∵BF＝BA＋AF＝2BA∴BC＝2BA
∵AB与CD之间的距离为h1，AD与BC之间的距离为h2
∴AB·h1＝BC·h2
∴h1∶h2＝BC∶AB＝2∶1
（3）解：如图， 过点A作交于点N，过点D作交的延长线于点M，
在中，根据勾股定理可得，
在中，根据勾股定理可得，
在中，根据勾股定理可得，
，
，
，
，
，
故，
由（2）得：，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质
16．【答案】（1）相等
（2）互补
（3）相等或互补
（4）解：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，
当，解得，则这两个角的度数分别为，；
当，解得，则这两个角的度数分别为，，
综上所述，这两个角分别是、或、.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
17．【答案】（1）菱形
（2）解：，，
，．
四边形是矩形，
，．
如图1，过点作于点，则四边形为矩形，
图1
，，，
．
在中，由勾股定理，得．
由折叠的性质，得，，．
在中，由勾股定理，得．
．
（3）解：如图2，当点与点重合时，取最小值．
图2
由折叠的性质，得，．
，，
，
四边形是正方形，．
如图3，当点与点重合时，取最大值．
图3
由折叠的性质，得．
，
，即，，
线段的长的取值范围为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
18．【答案】（1）67.5
（2）证明：如图，由旋转的性质得，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）， 7分
理由：如图，延长，交于点H，
由旋转的性质得，，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
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