【北师大版九上同步练习】 第一章 特殊平行四边形（培优）检测题（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
第一章特殊平行四边形（培优）检测题
一、单选题
1．如图，在中，，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，中，，，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，则长在（　　）
A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间
3．下列性质中正方形具有而矩形没有的（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都是直角
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（　　）
A．80° B．70° C．65° D．60°
5．如图，菱形ABCD中， ，则 （　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
二、填空题
6．如图，将长，宽的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则DF的长为　 　．
7．如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，弧BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为　 　
8．如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是　 　．
三、计算题
9．（1）计算： ．
（2）解分式方程：．
四、解答题
10．如图，在四边形中，．，，点E在边上，连接，相交于点F，且．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
11．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
12．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°．
（1）如图①，点P在线段DA上，连接CP，若∠ADC＝135°，且∠BCP：∠PCD＝3：2，求∠DPC度数；
（2）如图②，AD＝AB＝8，BC＝16，点P，Q分别在线段DA，AB上，连接CP，CQ，PD＝2AQ且满足S△DCP＝S四边形APCQ，求AQ的长；
（3）点P，Q分别在线段DA，AB的延长线上，点M在线段BQ上，∠QPM＝k∠APQ，∠QCM＝k∠BCM，且∠APQ+∠BCM＝100°，∠PMC﹣∠PQC＝40°，请补全图形并求出k的值．
五、综合题
13．如图， 和 中， ， ， ，AB，DE相交于点F，AD，BC相交于点G.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求DG的长.
14．如图， ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
15．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上．已知，，点P从点C出发沿线段的方向运动，当点P与点A重合时停止运动．
（1）请写出点B的坐标，
（2）当点P到x轴和y轴的距离相等时，求点P的坐标；
（3）设点B关于x轴对称的点为，求点到直线CA的距离；
（4）已知，点P在运动过程中是否存在为等腰三角形的情况 若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
六、实践探究题
16．如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　 　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．
②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？
17．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，BP与CQ的数量关系是　 　；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ，判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为5，CQ＝，求正方形ADBC的边长．
18．【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小圳在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图1中，有．
（1）【初步探究】如图2，设镜子AB与BC的夹角，当　 　时，小圳发现入射光线EF与反射光线GH恰好平行．
（2）【深入探究】如图3，小圳渐渐改变两镜面之间夹角，使得是一个锐角，从F点发出一条光线EF经过2次反射又回到了点F，入射光线EF与第2次反射光线GF的夹角为．用含的式子表示．
（3）【拓展应用】如图4，小圳继续改变两镜面之间夹角，使得，若也是一个钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过3次反射，当第3次反射光线与入射光线EF平行时，求出的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值；勾股定理
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质
6．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
7．【答案】cm2
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算
8．【答案】①③⑤
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
9．【答案】（1）；（2）
【知识点】解分式方程；特殊角的三角函数值
10．【答案】（1）证明：，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形；
（2）解：，
在和中，
，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
11．【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
12．【答案】（1）解：∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABC＝180°，
∴AD∥CB，
∴∠DCB＝180°﹣135°＝45°，
∵∠BCP：∠PCD＝3：2，
∴∠PCD＝∠DCB＝18°，
∴∠DPC＝180°﹣135°﹣18°＝27°；
（2）解：设AQ＝x，则BQ＝8﹣x，PD＝2x，
∵S△DCP＝S四边形APCQ，
∴×2x×8＝×[×（8+16）×8﹣×16×（8﹣x）﹣×2x×8]，
解得x＝2，
∴AQ＝2；
（3）解：如图③中，设∠APQ＝x，∠BCM＝y，则∠QPM＝kx，∠QCM＝ky，
∵∠APQ+∠BCM＝100°，
∴x+y＝100°，
∵∠CMP+∠MPQ＝∠PQC+∠MCQ，
∴∠CMP﹣∠PQC＝∠MCQ+∠MPQ＝ky+kx＝40°，
∴k＝．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质
13．【答案】（1）证明： ，
，即 .
又 ， ，
(ASA).
（2）解： ， .
， .
又 ， .
【知识点】全等三角形的判定与性质
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴ABCD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定（AAS）
15．【答案】（1）解：点B的坐标是
（2）解：如图1，当点P到x轴和y轴的距离相等时，点P在边CB上，且OP平分，
即，，，
∴点P的坐标为
（3）解：由题意得点的坐标为，∴．
如图1，过点作，交CA的延长线于点E．
∵，，∴．
在中，∵，∴，
即点到直线CA的距离为4.8
（4）解：存在，点P的坐标为或或．
∵，∴，∴．
①当时，点P在边CB上，如图2，
∵，∴，∴；
②当时，点P在DA的垂直平分线上，此时；
③当时，点P在边CB上，如图3，
过点P作于点F，则，∴，
∴，∴
【知识点】点的坐标；三角形的面积；勾股定理；角平分线的定义；四边形-动点问题
16．【答案】（1）145°；40°
（2）解：∠ACB+∠DCE＝180°或互补，
理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．
（3）解：①当∠ACB是∠DCE的4倍，
∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，
∴4x+x＝180°
解得：x＝36°，
∴α＝90°﹣36°＝54°；
②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，
∵∠BCD+∠DCE＝90°，
∴3t+21＝90，
t＝23°，
答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
17．【答案】（1）BP＝CQ
（2）解：变式探究：∠ABC＝∠ACQ，
理由如下：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝，
∵AP＝PQ，
∴∠PAQ＝，
∵∠APQ＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC＝∠ACQ；
（3）解：解决问题：如图3，连接AB、AQ，
∵四边形ADBC是正方形，
∴＝，∠BAC＝45°，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴＝，∠PAQ＝45°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，即∠BAP＝∠CAQ，
∵＝，
∴△ABP∽△ACQ，
∴＝＝，
∵CQ＝，
∴BP＝1，
设PC＝x，则 BC＝AC＝1+x，
在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，即52＝（1+x）2+x2，
解得，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
∴正方形ADBC的边长为：3+1＝4．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
18．【答案】（1）90°
（2）解：如图3，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠3+∠2=180°-，
∴∠1+∠4=180°-，
∵∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH=360°，
∴∠FEG+∠EGF=2，
∵∠FEG+∠EGF+∠EFG=180°，
∴∠EFG=180°-；
（3）解：如图4，过点G作GM∥EF，
∵∠BEG=∠1=30°， ，
∴∠BGE=∠CGH=180°-110°-30°=40°，∠FEG=180°-2∠1=120°，
∴∠EGH=180°-2∠BGE=100°，
∵EF∥GM，EF∥HK，
∴GM∥HK，
∴∠FEG+∠EGM=∠MGH+∠KHG=180°，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°，
∴∠GHK=360°-120°-100°=140°，
∴∠GHC=20°，
∵∠BCD+∠CGH+∠GHC=180°，
∴∠BCD=180°-40°-20°=120°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
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