【北师大版九上同步练习】 2.2 用配方法求解一元二次方程（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
2.2用配方法求解一元二次方程
一、单选题
1．一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B． C． D．
4．用配方法解方程，配方后的方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．解一元二次方程x2-6x-1=0，配方后正确的是（　　）
A．（x-3）2=8 B．（x-6）2=37 C．（x-3）2=10 D．（x-6）2=35
二、填空题
6．一元二次方程x2-4x+2＝0配方后得（x-2）2＝n，则n的值为 　 　．
7．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成　 　．
8．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB= ，点P为CD上一动点，当BP+ CP最小时，DP=　 　．
三、计算题
9．用配方法解方程:
10．用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0．
11．已知实数a满足 ，求 的值.
四、解答题
12．解方程x 2+6x+9=2
13．用配方法解方程2x2- x-30=0，下面的解题过程对吗？如果不对，找出从第几步开始出现错误，并改正.
解：方程两边同除以2并移项，
得x2- x=15，①
方程的两边同加上（ ）2
得x2-2x+（ ）2=15+ ，②
即（x- ）2= ，③
则x- =± ，④
解得x1= ，x2= .⑤
14．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为　 　．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
五、综合题
15．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的：
由于，方程变形为：
，……第一步
，……第二步
，……第三步
，……第四步
．……第五步
（1）嘉淇的解法从第　 　步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是　 　；
（2）用配方法解方程：．
16．为了响应国家“自主创业”的号召，某大学毕业生开办了一个装饰品商店，采购了一种今年刚上市的饰品进行了30天的试销，购进价格为20元/件，销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的关系如图（1）所示，销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间的关系如图（2）所示．
（1）根据图象直接写出：日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的函数关系式为　 　；销售单价Q（元/件）与销售时间x（天）的函数关系式为　 　．（不要求写出自变量的取值范围）
（2）写出该商品的日销售利润W（元）和销售时间x（天）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）请问在30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．
六、实践探究题
17．形如 的方程的图解法：画Rt△ABC(如图)，使∠ACB＝90°，BC＝ ，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝ ，则该方程的一个根就是AD的长.
（1）如下是证明过程：
请阅读并填空：配方 ，
，
.
∵∠ACB＝90° ，∴
∵AC＝b，BC＝ ， AB＝AD＋
∴ ， ∴
∴ ， 取 ， 即
（2）如果利用此图解法解方程 ，那么AC＝　 　，BC＝　 　，方程的一个根是　 　.
18．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
.
，
.
因此，该式有最小值1.
②已知：将其变形，，
，可得.
（1）按照上述方法，将代数式变形为的形式；
（2）已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
（3）已知.
①若，，则代数式 ▲ ；
②若，求代数式的最小值.
19．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，∴，
∴，∴，，∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求　 　，　 　；
（2）已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求c的值；
（3）若，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
5．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
6．【答案】2
【知识点】配方法解一元二次方程
7．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
8．【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程；勾股定理
9．【答案】解：由原方程，得
x2+ x=2，
配方，得
x2+ x+( )2=2+( )2,则(x+ )2= ，
开方，得
x+ =± ，
解得x1= ,x2= .
【知识点】配方法解一元二次方程
10．【答案】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
【知识点】配方法解一元二次方程
11．【答案】解：∵ ，
∴原等式可变形为： ，
∴ ，
∴ =3或 =-1
当 =-1时，即a2+a+1=0，
△=1-4＜0，方程无解，
∴ =3.
【知识点】配方法解一元二次方程
12．【答案】解：由已知，得：（x+3）2=2
直接开平方，得：x+3=±
即x+3= ，x+3=-
所以，方程的两根x1=-3+ ，x2=-3-
【知识点】配方法解一元二次方程
13．【答案】解：解题过程不对，从第②步开始出现错误，改正如下：
方程的两边同加上（ ）2，得x2- x+（ ）2=15+ ，
即（x- ）2= ，则x- =±
解得x1=3 ，x2=-
【知识点】配方法解一元二次方程
14．【答案】（1）3
（2）解：x2+10x+32＝x2+10x+25-25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）解：
＝-（x2-6x）+5
＝-（x2-6x+9-9）+5
＝-（x-3）2+3+5
＝-（x-3）2+8，
∵（x-3）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，
∴-（x-3）2+8≤8，
∴当（x-3）2＝0时，-x2+2x+5有最大值，最大值是8．
【知识点】配方法解一元二次方程
15．【答案】（1）四；
（2）解：
移项得：
配方得：即，
∴x-1=±5，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程
16．【答案】（1）P=-2x+80；Q= x+30
（2）解：根据题意，得W＝P（Q-20）＝（-2x＋80）[（ x＋30）-20]＝-x2＋20x＋800（1≤x≤30，且x为正整数），
即W＝-x2＋20x＋800
（3）解：∵W＝-x2＋20x＋800＝-（x-10）2＋900，
∴当x＝10时，W取最大值为900．
∴在30天的试销中，第10天的日销售利润最大，最大利润为900元．
【知识点】配方法解一元二次方程；一次函数的图象；列一次函数关系式
17．【答案】（1） ； ；AC
（2）；1；
【知识点】配方法解一元二次方程；勾股定理的应用
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，，
且，
且，
，
为等边三角形；
（3）解：①；
②解：
，
当时，取最小值.
【知识点】配方法解一元二次方程；偶次方的非负性
19．【答案】（1）6；-3
（2）解：，
，
，
∴a－2＝0，b－1＝0，
∴a＝2，b＝1，
∴1＜c＜3，
∵c是整数，∴c＝2．
（3）解：∵
，
∵
∴，
∴A－B＞0，
∴A＞B．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程；偶次方的非负性
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