【北师大版九上同步练习】 2.3用公式法求解一元二次方程（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
2.3用公式法求解一元二次方程
一、单选题
1．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
3．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）
A． B．4 C．16 D．或4
4．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＝2 B．k≥2且k≠0 C．k≤2 D．k≤2且k≠0
5．关于x的一元二次方程，有实数解，则b的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
二、填空题
6．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　 　．
7．规定一种新运算：，如．
⑴计算：　 　；
⑵如果，则x的值为　 　．
8．方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为　 　．
三、计算题
9． 解方程2x2-x+1=0 (用公式法)
10．用公式法解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
四、解答题
11．设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b=2，c= 1；②b=3，c= 1；③b=3，c=-1；④b=2，c=2．
12．已知关于的元二次方程3)有两个实数根.
（1）求的取倛范围.
（2）若为最大的负整数，求此时方程的根.
13．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
五、综合题
14．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
15．小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：
解：，，，.................第一步
，.............第二步
，.........................第三步
....................第四步
（1）问：小明的解答是从第　 　步开始出错的；
（2）请写出本题正确的解答.
16．（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形 中， 的顶点E，F分别在 ， 上（可与点A，B，C重合），且满足 . 的高线 交线段 于点G（可与E，F重合），设 .
（1）求k的值.
（2）判断k的值是否改变.若改变，请求出k的取值范围；若不改变，请证明.
（深入探究）在（模型构建）的基础上，设 的面积为S.
（3）①求S的最小值；
②当S取到最小值时，直接写出 与 的数量关系.
六、实践探究题
17．[新考法——解题方法的迁移]关于的一元二次方程可以经过适当变形为的形式，如下是小雨同学解方程的过程：
解：.
原方程可变形为，，，，即或，解得.
（1）任务一：上述解方程的方法是通过添项构造　 　（填“平方差公式”或“完全平方公式”）；
（2）任务二：请结合题中的方法，再写出一种构造方法解题目中的方程.
18．[探究与应用]
公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程．
[观察与分析]小张在解方程x2-6x= 7时，他的解答过程如下：
解：∵a=1， b=-6，c=7，(第一步)
∴△=b2-4ac=(-6)2-4×1×7=8> 0．(第二步)
∴方程有两个不相等的实数根
x== = (第三步)
∴x1=3+，x2=3-．(第四步)
[思考与应用]
（1）小张的解答过程是否正确？
（2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；
如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程．
19．综合与实践：
问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题．
（1）操作探究：小广将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，，已知长，则点、之间的距离为　 　．
（2）操作探究：小都将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．
其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小都同学求出此时点、之间的距离；
（3）操作探究：随后，小将图②中的换成了含角的三角板，同相是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，小广提出，如果把三角板也换成了含角的三角板，并利用旋转的知识，结论将更容易得到，你能求出此时点，之间的距离吗？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
6．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
7．【答案】；1或
【知识点】整式的混合运算；公式法解一元二次方程；定义新运算
8．【答案】6-2
【知识点】公式法解一元二次方程
9．【答案】解：a=2，b=，c=1
∴ 方程有两个相等的实数根
∴
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
10．【答案】（1）解：∵a=1，b=2，c=-3，
∴b2-4ac=22-4×1×(-3)=16，
∴，
∴x1=-3，x2=1.
（2）解：原方程可化为：2m2-3m-4=0，
∵a=2，b=-3，c=-4，
∴b2-4ac=（-3）2-4×2×(-4)=41，
∴，
∴x1=，x2=.
（3）解：∵a=，b=-1，c=，
∴b2-4ac=（-1）2-4××()=，
∴=，
∴a1=，a2=.
（4）解：∵a=2，b=，c=-1，
∴b2-4ac=()2-4×2×(-1)=10，
∴，
∴y1=，y2=.
【知识点】公式法解一元二次方程
11．【答案】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b -4ac>0，即b >4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为
选③解方程，则这个方程为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
12．【答案】（1）且．
（2）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
13．【答案】解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19×4=-8＜0，方程无解．
故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
14．【答案】（1）解：∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤
（2）解：∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤ ，∴k＝－3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
15．【答案】（1）一
（2）解：，
，，，
，
，
.
【知识点】公式法解一元二次方程
16．【答案】（1）解：如图1所示，把ΔDAE，ΔDCF分别沿着DE、DF翻折，
在正方形ABCD中， ADC= DAB= DCB=90°’，AD=CD，
ADE+ CDF= ADC- EDF=90°-45°=45°，
翻折后，AD，CD重合.
设重合线为AG'，则 DG'E= DG'F=90°，
DG' EF，且E、G'、F三点共线，则G'在EF上。
又 DG EF，
DG'与DG重合，
DG=DG'=AD.
k= =1.
（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件“边长为1的正方形 ”改为“长 、宽 的矩形 ”（其他条件不变）.
（2）解：k的值发生改变.
①如图2所示，当点G与点E重合时，DG取最小值，
DEF=90°
又 EDF=45°，
ΔDEF是等腰直角三角形，则DE=EF.
易证ΔADE ΔBEF，
AD=BE=6，
AE=AB-BE=8-6=2，
在RtΔADE中，由勾股定理，得DE= ，
②如图3所示，当点F与点C重合时，DG取最大值，
EDC=45°，
AB//DF，则 AED= EDC=45°，
ΔDAE是等腰直角三角形，则AD=AE=6，
BE=AB-AE=8-6=2，
在RtΔEBC中，由勾股定理得：CE= ，
易证ΔDGC~ΔCBE， ，即DG= ，
，
综上所述， .
（3）解：①设BE=m，BF=n，
易知ΔBEF的周长为2.
，
一元二次方程 有求根公式：
， ，
所以 ，
，
则m，n是关于x的方程 的两个实数根，
，解得： .
S= DG·EF= EF，
当EF= 时，S取最小值 .
②GB=（ ）DG
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
17．【答案】（1）平方差公式
（2）解：原方程可变形为2），
，
，
，
，即或-3，
解得.
【知识点】公式法解一元二次方程
18．【答案】（1）小张的解答过程不正确
（2）小张的解答过程从第一步开始出错了，
正确的解答过程如下：
解：原方程化为x2-6x-7=0
∴a=1， b=-6， c=- 7， ．
∴△=b2-4ac=(-6)2-4×1×(-7) = 64> 0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x= =3±4
∴x1=-1，x2=7
【知识点】公式法解一元二次方程
19．【答案】（1）；
（2）解：连接，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：（负值舍去）；
（3）解：过作的延长线于点，过作的延长线于点，
，
四边形是矩形，
，
连接，
为中点且，
，
，即
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得：或舍去，
，
，
是等腰直角三角形，
；
【知识点】公式法解一元二次方程；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
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