【北师大版九上同步练习】 2.4 用因式分解法求解一元二次方程（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
2.4用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．下列一元二次方程无实数根的是（　　）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
2．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
3．方程的解是（　　）
A．0 B．2 C． D．0或2
4．方程5x(3x-12)=10(3x-12)的解为（　　）
A．x=2 B．x=-2 C． D．
5．关于的一元二次方程的解为(　　)
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
6．对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　．
7． 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”．
⑴下列方程是“自然方程”的是　 　；（填序号）
①；②；③．
⑵若方程是“自然方程”，m的值为　 　．
8．对于实数 ，我们用符号 表示 两数中较小的数，如 .因此， 　 　；若 ，则 　 　．
三、计算题
9．解下列方程：
（1）；
（2）．
10．用适当的方法解下列方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
11．解方程或求值:
（1）
（2）
四、解答题
12．解方程：x2-6x+5=0
13． 在中，设边，其中是一元二次方程的两个实数根．
（1）求a，b的值．
（2）若a，b，n这三个数的平均数，仍小于n，求n的取值范围．
14．如果一元二次方程的两根相差，那么该方程称为“差方程”例如是“差方程”．
（1）判断下列方程是不是“差方程”，”并说明由：
①；
②；
（2）已知关于的方程是常数是“差方程”，求的值；
（3）若关于的方程是常数，是“差方程”，设，求的最大值．
五、综合题
15．解下列方程：
（1）x(x-1)=3x+7
（2）4x2-4x+1=(x+3)2
16．已知关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+m+2=0.
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值.
17．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 和 ，则方程 就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程 是“倍根方程”，则c＝　 　．
（2）若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，则 ， ， 之间的关系为　 　．
（3）若 是“倍根方程”，求代数式 的值．
六、实践探究题
18．【综合与实践】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程（）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
（1）【操作判断】小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或　 　，进而得到原方程的根为，　 　．
（2）【实践探究】小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如，这个方程利用公式法或者配方法可得：，，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对进行因式分解得到，请你利用这个方法对进行因式分解．
（3）【问题解决】小彬：从特殊到一般，是否所有的代数式（）都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
2．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
3．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
6．【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
7．【答案】②；2或0
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
8．【答案】；2或-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
9．【答案】（1）
（2）
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
10．【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
11．【答案】（1）解： ，
=0或 =0
解得：
（2）解：原式= = = =1
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
12．【答案】解：x2-6x+5=0
(x-5)(x-1)=0
x1=5、x2=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
13．【答案】（1）解：化简得，，
解得，，，
，
，；
（2）解：在中，，即，
a，b，n这三个数的平均数，仍小于n，
，解得，
故n的取值范围为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；平均数及其计算
14．【答案】（1）解：解方程，
，
或，
解得或，
，
不是“差方程“；
解方程，
，
．
，
是“差方程“；
（2）解：解方程是常数得：
，
或，
方程是常数是“差方程“，
或，
或；
（3）解：由题可得：，
解方程得，
关于的方程是常数，是“差方程”，
，
，
，
，
，
时，的最大值为．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
15．【答案】（1）解：
x(x-1)=3x+7
x2-x=3x+7
x2-4x-7=0
x2-4x+4=11
（x-2）2=11
解得：x1= +2，x2=- +2
（2）解：
4x2-4x+1=(x+3)2
（2x-1）2=(x+3)2
（2x-1+x+3）（2x-1-x-3）=0
解得：x1=- ，x2=4
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
16．【答案】（1）证明：∵△=（m+3）2-4（m+2）
=（m+1）2
∴无论m取何值，（m+1）2恒大于等于0
∴原方程总有两个实数根
（2）解：原方程可化为：(x-1)(x-m-2)=0
∴x1=1， x2=m+2
∵方程两个根均为正整数，且m为负整数
∴m=-1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
17．【答案】（1）2
（2）
（3）解：∵ 是“倍根方程”
∴方程的两个根分别为x=2和x= ，
∴ =4或 =1，即n=4m或n=m
当n=4m时，原式为（m-n）（4m-n）=0，
当n=m时，原式为（m-n）（4m-n）=0，
∴代数式 =0
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
18．【答案】（1）x-n＝0；n
（2）解：由x2＋2x-1＝0解得：
∴
（3）解：要满足b2-4ac≥0，理由如下：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中，
当b2-4ac≥0时，方程的两个根为
∴
∴ax2+bx+c能因式分解时，a、b、c需要满足b2-4ac≥0.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
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