1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　空间中直线、平面的平行
A级 必备知识基础练
1.[探究点二][2024四川成都高二联考]已知直线l的方向向量为m=(1,-2,4),平面α的法向量为n=(x,1,-2),若直线l与平面α平行,则实数x的值为(　　)
A.
B.-
C.10
D.-10
2.[探究点三][2024山东聊城高二统考期末]已知n1=(,x,2),n2=(-3,,-2)分别是平面α,β的法向量,若α∥β,则x=(　　)
A.-7 B.-1
C.1 D.7
3.[探究点二](多选题)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是(　　)
A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)
4.[探究点二][2024吉林辽源高二校联考期末]设直线l的方向向量为m=(1,-2,z),平面α的一个法向量为n=(2,-1,1),若直线l∥平面α,则实数z的值为　　　　　.
5.[探究点二][2024四川成都校级期末]已知直线l在平面α外,直线l的方向向量是a=(1,2,3),平面α的法向量是m=(1,-2,1),则l与α的位置关系是　　　　.(填“平行”或“相交”)
6.[探究点三]已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是　　　　.
7.[探究点二]已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0), C(0,1,0),则实数m的值是　　　　　.
8.[探究点一]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.
B级 关键能力提升练
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,=λ,且EF∥平面ACD1,则实数λ的值为(　　)
A. B.
C. D.
10.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,若直线EF∥平面A1BC1,则点F的位置可能是(　　)
A.线段CC1中点 B.线段BC中点
C.线段CD中点 D.线段C1D1中点
11.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是(　　)
A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1
12.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=,已知α∥β,则x+y=　　　　.
13.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　　　　　　　.
14.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1)求证:AC⊥BC1;
(2)在棱AB上是否存在点D,使得AC1∥平面CDB1 若存在,确定D点位置并说明理由;若不存在,说明理由.
C级 学科素养创新练
15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值.
答案：
1.C　若直线l与平面α平行,则m⊥n,即m·n=x-2-8=0,解得x=10.故选C.
2.B　因为n1=(,x,2),n2=(-3,,-2)分别是平面α,β的法向量,且α∥β,所以n1∥n2,即,解得x=-1.故选B.
3.ABC　若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0,
根据选项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选ABC.
4.-4　若直线l∥平面α,则直线l的方向向量与平面α的一个法向量垂直,则m·n=2+2+z=0,解得z=-4.
5.平行　直线l的方向向量是a=(1,2,3),平面α的法向量是m=(1,-2,1),则a·m=1-4+3=0,即a⊥m,∴l∥α.
6.α∥β　设平面α的法向量为m=(x,y,z),
由m·=0,得x·0+y-z=0,即y=z,由m·=0,得x-z=0,即x=z,取x=1,所以平面α的一个法向量m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β.
7.-3　∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y=(1,0,-1),=(0,1,-1),
∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),
∴∴m=-3.
8.证明 以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),∴=(1,0,1),=(-1,1,0),
设=(a,b,c),则
即
取=(1,1,-1).
易知=(-1,-1,1),
∴=-,
∴,即PQ∥BD1.
9.B　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
令DA=a,DC=b,DD1=c,
则A(a,0,0),C(0,b,0),D1(0,0,c),E,B1(a,b,c),
所以=(-a,b,0),=(-a,0,c),=(-a,-b,0).
因为=λ,所以=(-λa,-λb,0),
则F((1-λ)a,(1-λ)b,c),
所以.
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
所以
取x=bc,则y=ac,z=ab,则n=(bc,ac,ab).
因为EF∥平面ACD1,所以⊥n,
所以·n=-λabc-λabc+=0,解得λ=.
故选B.
10.ABD　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设CC1,BC,CD,C1D1的中点分别为M,N,P,Q.
令正方体棱长为2,
则A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,0,1),M(0,2,1),N(1,2,0),P(0,1,0),Q(0,1,2),
=(0,2,-2),=(-2,2,0).
设平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),
则
取y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1).
又=(-2,2,0),=(-1,2,-1),=(-2,1,-1),=(-2,1,1),
则·n=-2×1+2×1=0,·n=-1×1+2×1-1×1=0,
·n=-2×1+1×1-1×1=-2,·n=-2×1+1×1+1×1=0.
又EM,EN,EQ 平面A1BC1,则EM,EN,EQ都平行于平面A1BC1,
故若直线EF∥平面A1BC1,
则点F的位置可能是线段CC1中点,线段BC中点或线段C1D1中点.
故选ABD.
11.ACD　因为,
,
所以,从而A1M∥D1P,易得ACD正确.
又B1Q与D1P不平行,故B不正确.
12.　因为α∥β,所以u∥v,则,
即故x+y=.
13.2∶3∶(-4)　因为=(1,-3,-),=(-2,-1,-),
又因为a·=0,a·=0,
所以解得
所以x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4).
14.(1)证明 因为AC=3,BC=4,AB=5,
所以AC2+BC2=AB2.
则△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
因为=(-3,0,0),=(0,-4,4),
所以=0,则,
即AC⊥BC1.
(2)解 存在.由题可得=(0,-4,-4),=(-3,0,4),=(-3,4,0).
若存在点D使AC1∥平面CDB1,
则=λ=(-3λ,4λ,0),0≤λ≤1,得D(3-3λ,4λ,0),=(3-3λ,4λ-4,-4).
设n=(x,y,z)是平面CDB1的法向量,
则取y=1,
则x=,z=-1,故n=.
因为AC1∥平面CDB1,
所以⊥n,即×(-3)+1×0-1×4=0,解得λ=.
故在棱AB上存在点D使AC1∥平面CDB1,此时D为AB中点.
15.解 如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,,0),C(0,,0),D1(0,0,1),C1(0,,1),
∴E(1,,0),F(,0),G(0,),
∴=(-,0),=(-,0,).
设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则
即令x=,则y=1,z=,
∴平面EFG的一个法向量n=(,1,).
设P(m,s,0)(0∵D1P∥平面EFG,∴n⊥,∴n·m+s-=0,∴s=m,
易知BB1=1,
∴BB1×BP=×1×,
当m=时,取得最小值.
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