1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第3课时　空间中直线、平面的垂直
A级 必备知识基础练
1.[探究点三]若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),则平面α与β的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
2.[探究点二][2024江苏铜山月考]已知直线l的方向向量为a=(1,1,2),平面α的法向量为n=(2,2,4),则(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α相交
3.[探究点一]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点, =λ=3.若PN⊥BM,则λ=(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点二][2024北京石景山高二统考期末]已知m=(-2,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(2,-1,2)是平面α的法向量.若l⊥α,则下列选项正确的是(　　)
A.a-3b-4=0 B.a-3b-5=0
C.a=-,b= D.a=,b=-
5.[探究点一](多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(　　)
A.和AC垂直 B.和AA1垂直
C.和MN垂直 D.与AC,MN都不垂直
6.[探究点三]已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=(-1,y,).若α⊥β,则x-y=　　　　.
7.[探究点三]如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD.
8.[探究点二][2024四川绵阳校考模拟预测]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,E,F分别为PA,BD中点,PA=PD=AD=2.
(1)求证:EF∥平面PBC;
(2)在棱PC上是否存在一点G,使GF⊥平面EDF 若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.
9.[探究点一][北师大版教材习题]已知:如图,△ABC为正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2CD,点F是BE的中点.
(1)求证:DF∥平面ABC;
(2)求证:AF⊥BD.
B级 关键能力提升练
10.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(　　)
A.,-,4 B.,-,4
C.,-2,4 D.4,,-15
11.(多选题)[2024江苏盐城高二校考]点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面CDD1C1及其边界上运动,并保持BP⊥A1C,若正方体边长为1,则A1P的可能取值是(　　)
A. B.
C. D.
12.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的有(　　)
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一个法向量
D.
13.[北师大版教材习题]已知:如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D', AB=,BC=,AA'=1,点E是C'D'的中点.求证:平面AA'E⊥平面BB'E.
14.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD =90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.
(1)求证:CD⊥平面PAC.
(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD 若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.
C级 学科素养创新练
15.如图,在三棱柱 ABC -A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1, D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在B1P上,则下列结论正确的是(　　)
A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD
B.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD
答案：
1.B　a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=-2+8-6=0,
∴a⊥b,∴平面α与平面β垂直.
2.B　由n=(2,2,4),a=(1,1,2),
可得n=2a,即n∥a,则直线l⊥α.
故选B.
3.C　如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,
则P(λ,0,1),N(,0),B(1,0,0),M(0,1,),=(-λ,,-1),=(-1,1,),
所以=λ-=0,即λ=.故选C.
4.C　若l⊥α,则m=λn,
即(-2,a+b,a-b)=(2λ,-λ,2λ),
则解得
所以a-3b-5=-10,a-3b-4=-9.故选C.
5.AC　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,
则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).
∴=(-a,-a,a),=(0,a,a),=(-2a,2a,0).
∴=0,=0,
∴OM⊥AC,OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直.
6.-1　因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.
7.证明 ∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP两两垂直.
如图所示,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,
可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),
∴=(0,1,1),=(-1,1,-1),=(0,2,-2).
设m=(x,y,z)是平面MND的一个法向量,
可得取y=-1,得x=-2,z=1,
∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量.
∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.
8.(1)证明 连接AC,因为F为BD中点,底面ABCD是正方形,所以F为AC中点.又E为PA中点,所以EF∥PC.
又EF 平面PBC,PC 平面PBC,
所以EF∥平面PBC.
(2)解 不存在.
假设存在,由图知,EF为平面EDF和平面PAC的交线,
取AD的中点O,连接GF,OF,OP,则OF⊥AD,OP⊥AD.
因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,OF 底面ABCD,所以OF⊥侧面PAD.
又因为OP 侧面PAD,所以OF⊥OP,
故OF,AD,OP两两垂直.
以O为原点,OA,OF,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,),E,F(0,1,0).
设G(x1,y1,z1),则=(x1,y1-1,z1),=(1,1,0),.
设平面EFD的一个法向量是n=(x0,y0,z0),
则令x0=1,得y0=-1,z0=-,则n=(1,-1,-).
因为GF⊥平面EDF,所以=λn,
则x1=λ,y1-1=-λ,z1=-λ.
因为共线,=(-1,2,-),=(x1+1,y1-2,z1),所以,
即,无解,
故在棱PC上不存在一点G,使GF⊥平面EDF.
9.证明 以A为原点,的方向分别为z轴和y轴的正方向建立空间直角坐标系(图略).
设DC=a,所以AE=AB=2a.
(1)由题意,得A(0,0,0),B(a,a,0),C(0,2a,0),D(0,2a,a),E(0,0,2a),则=(0,0,2a).
因为F是BE的中点,所以F(a,a,a).
所以=(a,-a,0).因为AE⊥平面ABC,
所以是平面ABC的一个法向量.
又=0,所以.所以DF∥平面ABC.
(2)因为=(a,a,a),=(-a,a,a),
所以a·(-a)+a·a+a·a=0.
所以AF⊥BD.
10.B　∵,∴=0,
即3+5-2z=0,得z=4,
又BP⊥平面ABC,∴,
则解得
11.BC　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则点A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0).
设点P(0,y,z)(0≤y≤1,0≤z≤1),则=(-1,1,-1),=(-1,y-1,z),=(-1,y,z-1).
因为BP⊥A1C,则=1+y-1-z=y-z=0,所以y=z,
所以||=.故选BC.
12.ABC　∵=-2-2+4=0,∴,
∴AP⊥AB,故A正确;
∵=-4+4+0=0,
∴,∴AP⊥AD,故B正确;
∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,
∴是平面ABCD的一个法向量,故C正确;
=(2,3,4),设=λ,即方程组无解,故D错误.故选ABC.
13.证明 由题意,得A(,0,0),A'(,0,1),B(,0),B'(,1),E(0,,1).
所以=(0,0,1),=(0,0,1),
=(-,0),=(-,-,0).
设n1=(x,y,z)为平面AA'E的法向量,
则
令x=1,则y=1.所以n1=(1,1,0).
同理可求得平面BB'E的一个法向量为n2=(1,-1,0).
所以n1·n2=1×1+1×(-1)+0=0.
所以n1⊥n2,即平面AA'E⊥平面BB'E.
14.解 因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.
又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.
∠BAD=90°,
所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),可得=0,=0,
所以AP⊥CD,AC⊥CD.
又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.
(2)当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.证明如下:
设E是侧棱PA的中点,
则E(0,0,),=(-1,0,).
设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则
因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),
所以
取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).
所以n·=(1,1,2)·(-1,0,)=0,所以n⊥.
因为BE 平面PCD,所以BE∥平面PCD.
综上所述,当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.
15.D　以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),
则=(1,0,1),=(-1,2,0),.
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则
取z=-2,则x=2,y=1,
所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).
假设DQ⊥平面A1BD,
且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),
则.
因为也是平面A1BD的一个法向量,
所以n=(2,1,-2)与=1-λ,-1+2λ,-共线,
则成立,
所以但此关于λ的方程组无解.
故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD.故选D.
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