1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时　用空间向量研究距离问题
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到l的距离为(　　)
A.2 B.
C. D.
2.[探究点一]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为(　　)
A. B.
C. D.
3.[探究点二]在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点二][2024河北邯郸高二统考期末]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PB⊥底面ABCD,AB=,BD=PB=2,则△PCD的重心到平面PAD的距离为(　　)
A. B.
C. D.
5.[探究点三]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,E,F,H分别是AB,CD,A1B1的中点,则直线EC到平面AFH的距离为　　　　　.
6.[探究点二]如图,直三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°, AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　.
7.[探究点二、三]已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
8.[探究点三]如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面A1BC1与平面ACD1的距离.
B级 关键能力提升练
9.[2024福建龙岩高二校联考]如图,在圆锥中,AB是底面圆的直径,SO=AB=4,AC=BC,D为SO的中点,N为AD的中点,则点N到平面SBC的距离为(　　)
A. B.
C.1 D.2
10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离(　　)
A.等于a B.和EF的长度有关
C.等于a D.和点Q的位置有关
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取棱AA1,A1D1的中点E,F,点G为线段EF上一个动点,则点G到平面ACD1的距离为(　　)
A. B.
C.1 D.
12.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为
　　　　　.
13.正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　　.
14.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=BC=AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC.
(1)求点A到平面PCF的距离;
(2)求AD到平面PBC的距离.
C级 学科素养创新练
15.[北师大版教材例题]已知向量=(1,0,0),=(0,2,0),=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=-(a+b)的长度最小时,求a,b的值.
答案：
1.B　∵点A(1,-1,-1),点P(1,1,1),∴=(0,2,2),
∴||==2,
又直线l的方向向量为m=(1,0,-1),
∴点P(1,1,1)到l的距离d=,故选B.
2.C　建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E(0,,1),
所以=(1,,-1),=(0,0,1),
所以点C1到直线EC的距离
d=.故选C.
3.A　建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),M,B(a,a,0),A1(a,0,a),
∴=(a,a,0),=(a,0,a).
设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),
则
即
令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).
∴点A1到平面MBD的距离d=a.
4.C　设AC与BD交点为O.
因为PB⊥底面ABCD,AC,BD 底面ABCD,
所以PB⊥AC,PB⊥BD.
过点O作PB的平行线交PD于点E,则OE⊥AC,OE⊥BD.
因为底面ABCD为菱形,所以AC⊥BD,
故AC,BD,OE两两垂直.
以O为原点,OA,OD,OE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(-2,0,0),D(0,1,0),P(0,-1,2),=(-2,1,0),=(2,1,-2).
设平面PAD的法向量为m=(x,y,z),则
令x=1,则y=2,z=2,得m=(1,2,2).
因为△PCD的重心G的坐标为,即G,
所以,
故点G到平面PAD的距离为.
5.　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(0,2,0),
因为E,F,H分别是AB,CD,A1B1的中点,
所以E(1,1,0),F(0,1,0),H(1,1,2),则=(-1,1,0),所以EC∥AF.
因为AF 平面AFH,EC 平面AFH,所以EC∥平面AFH,
所以点E到平面AFH的距离即为直线EC到平面AFH的距离.
设平面AFH的法向量为n=(x,y,z),
因为=(0,1,2),则取x=2,则y=2,z=-1,
所以n=(2,2,-1)是平面AFH的一个法向量.
又向量=(0,1,0),所以点E到平面AFH的距离为,
即直线EC到平面AFH的距离为.
6.　如图所示,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,),B1(0,1,),C1(0,0,),
∴=(-1,1,-),=(-1,0,-),=(-1,1,0).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则
令z=1得x=-,y=0,
∴n=(-,0,1).
∴点B1到平面A1BC的距离d=.
7.解 (1)建立以D为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.
则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,
所以,
设平面PEF的法向量n=(x,y,z),
则
令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),
所以点D到平面PEF的距离d=,
因此点D到平面PEF的距离为.
(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.
又因为AC 平面PEF,EF 平面PEF,
所以AC∥平面PEF.
因为,
所以点A到平面PEF的距离d=.
所以直线AC到平面PEF的距离为.
8.解 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),
所以=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,-1),=(-1,1,0).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则
取x=1,则y=1,z=1,得n=(1,1,1),所以平面ACD1的一个法向量为n=(1,1,1).
设平面A1BC1的法向量为m=(x',y',z'),
则取y'=1,则x'=1,z'=1,得m=(1,1,1),
所以平面A1BC1的一个法向量为m=(1,1,1).
因为m∥n,所以平面ACD1∥平面A1BC1,
所以平面A1BC1与平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离.
因为=(0,1,0),所以点B到平面ACD1的距离d=,
即平面A1BC1与平面ACD1的距离为.
9.B　因为AC=BC,O为AB的中点,则OC⊥AB.由圆锥的几何性质可知SO⊥平面ABC,则SO⊥AB,SO⊥OC.
以O为原点,OC,OA,OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则S(0,0,4),B(0,-2,0),C(2,0,0),N(0,1,1),=(2,2,0),=(0,2,4),
设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),
则取y=-2,则x=2,z=1,可得n=(2,-2,1).
又因为=(0,3,1),所以点N到平面SBC的距离为d=.
故选B.
10.A　取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,∴点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,故B错误.又A1B1∥平面PGCD,∴点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,故D错误.如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,
则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P(,0,a),
∴=(0,a,0),=(a,0,a),=(,0,a).
设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,
则由
令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.
设点Q到平面PEF的距离为d,则d=,故A正确,C错误.故选A.
11.D　如图所示,∵点E,F分别是AA1,A1D1的中点,
∴EF∥AD1.
∵AD1 平面ACD1,EF 平面ACD1,
∴EF∥平面ACD1,故点G到平面ACD1的距离即为点E或F到平面ACD1的距离.
(方法1　等体积法)
∵该正方体的棱长为2,
∴AD1=AC=CD1=2,即△ACD1为等边三角形,
∴×2×2=2×1×2=1.
设点F到平面ACD1的距离为d,
∵,
∴d=×2,解得d=.
故点G到平面ACD1的距离为.
(方法2　向量法)
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,2),设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
则取x=1,则y=1,z=1,
得平面ACD1的法向量为n=(1,1,1).
又=(0,0,1),∴点G到平面ACD1的距离为.
故选D.
12.　以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则E,F(0,1,),G(0,0,),D1(0,0,1),A1(1,0,1),
∴=(-1,0,0),=(1,0,0),
∴.
又∵EF 平面EFGH,D1A1 平面EFGH,
∴D1A1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距离,即为D1到平面EFGH的距离.
设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令z=6,则y=-1,
∴n=(0,-1,6),
又∵,
∴点D1到平面EFGH的距离d=,
∴A1D1到平面EFGH的距离为.
13.　如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,
则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).
∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),
∴,
∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,
则解得
取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.
∵=(0,4,0),
∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=.
14.解 (1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图,
则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),
则=(-a,m-a,0),=(-a,-a,a).
∵PC⊥CF,
∴,
∴=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0=a2-a(m-a)=0,
∴m=2a,即F(0,2a,0).
设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),
则解得
取x=1,得n=(1,1,2).
设点A到平面PCF的距离为d,由=(a,a,0),
得d=a.
(2)由于=(-a,0,a),=(0,a,0),=(0,0,a).
设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),
由
取x0=1,得n1=(1,0,1).
设点A到平面PBC的距离为h,
∵AD∥BC,AD 平面PBC,
∴AD∥平面PBC,
则h为AD到平面PBC的距离,
∴h=a.
15.解 如图所示,=a+b,n=-(a+b),要使向量n=-(a+b)的长度最小,也就是线段MY的长度最短.
由点到平面距离的定义,当且仅当n⊥平面Oxy时,线段MY的长度最短.这时,
由n=-(a+b)=(4-a,3-2b,3),=(1,0,0),=(0,2,0),得
即解得
所以当n=-(a+b)的长度最小时,a=4,b=.
9