1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　用空间向量研究夹角问题
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知点A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)
A. B.-
C. D.-
2.[探究点三]已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.[探究点二]如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点一][2024陕西汉中高二统考期末]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为体对角线B1D上一点,且DP=2PB1,则异面直线AD1和CP所成角的余弦值为(　　)
A.0 B.
C. D.
5.[探究点二][北师大版教材习题]已知长方体ABCD-A'B'C'D'的一条对角线AC'与平面ABB'A'和平面ADD'A'所成的角都是,则直线AC'与平面ABCD所成的角是　　　　　.
6.[探究点二][2024黑龙江哈尔滨高二校考期末]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=AD=2,DD1=4,则直线A1B1与平面A1C1D所成的角的正弦值为　　　　　.
7.[探究点二][2024四川成都高二校联考]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=4,AA1=3,B1C交BC1于点E.
(1)证明:直线D1E∥平面A1BD;
(2)求直线AD与平面A1BD所成角的正弦值.
8.[探究点三]如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,AB=,E为CD中点.
(1)求证:CD⊥平面PAE;
(2)若PA=,求二面角A-PB-E的余弦值.
B级 关键能力提升练
9.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为(　　)
A.2 B.
C. D.
10.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=AD=1,P为线段AD1上的动点,则PB1与平面BCC1B1所成角的余弦值的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
11.如图,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°, OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为　 .
12.[2024福建莆田高二校考]在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,侧面A1B1BA为菱形,∠ABB1=,A1B⊥AC,AB=AC=2,E是AC的中点.
(1)求证:A1B⊥平面AB1C;
(2)点P在线段A1E上(异于点A1,E),直线AP与平面A1BE所成角为,求的值.
C级 学科素养创新练
13.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶,则直线AF与CE所成角的余弦值为　 .
答案：
1.A　=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos =,
故直线AB和CD所成角的余弦值为.
2.B　如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,
则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
∴=(0,1,0).
取PD的中点E,则E,
∴,
易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,
所以cos<>=,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
3.D　如图所示,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),
∴=(-2,0,1).
连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,
∴平面BB1D1D的一个法向量为a==(-2,2,0).
∴所求角的正弦值为|cos|=.
4.A　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
令正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,
则A(3,0,0),D1(0,0,3),C(0,3,0),D(0,0,0),B1(3,3,3),
=(0,-3,0),=(3,3,3),=(-3,0,3),
=(0,-3,0)+(3,3,3)=(2,-1,2),
所以cos<>==0,
因此异面直线AD1和CP所成角的余弦值为0.
故选A.
5.　建立如图所示空间直角坐标系,设AD=a,AB=b,AA'=c,=(a,b,c).
因为n1=(1,0,0)是平面ABB'A'的一个法向量,n2=(0,1,0)是平面ADD'A'的一个法向量,
所以|cos<,n1>|=|cos<,n2>|=sin,所以,所以a=b=c.
设所求角为θ,取n3=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,
则sin θ=|cos<,n3>|=.
因为θ∈[0,],所以θ=.
6.　以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
A1(0,0,4),B1(2,0,4),D(0,2,0),C1(2,2,4),=(2,0,0),=(2,2,0),=(0,2,-4).
设平面A1C1D的法向量为m=(x,y,z),
则
令y=2,则z=1,x=-2,
故m=(-2,2,1).
设直线A1B1与平面A1C1D所成角的大小为θ,
则sin θ=|cos|=,
故直线A1B1与平面A1C1D所成角的正弦值为.
7.(1)证明 如图,连接B1D1,D1C.由长方体性质可得,BC∥A1D1且BC=A1D1,
则四边形BCD1A1为平行四边形,则BA1∥CD1.
又BA1 平面A1BD,CD1 平面A1BD,所以CD1∥平面A1BD.
同理可证BD∥B1D1.
因为B1D1 平面A1BD,BD 平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD.
又CD1∩B1D1=D1,CD1,B1D1 平面CD1B1,
所以平面CD1B1∥平面A1BD.
又D1E 平面CD1B1,所以直线D1E∥平面A1BD.
(2)解 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
得A(0,0,0),D(0,4,0),A1(0,0,3),B(2,0,0),=(2,-4,0),=(0,-4,3),=(0,4,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
由令x=6,得y=3,z=4,
可得平面A1BD的一个法向量为n=(6,3,4).
设直线AD与平面A1BD所成角大小为θ,
则sin θ=|cos<,n>|=,
故直线AD与平面A1BD所成角的正弦值为.
8.(1)证明 连接AC,如图所示.在Rt△ABC中,AC==2,AC=AD,
△ACD为等腰三角形,E为CD中点,
∴CD⊥AE.
又PA⊥平面ABCD,DC 平面ABCD,∴PA⊥CD.
又CD⊥AE,且PA∩AE=A,
∴CD⊥平面PAE.
(2)解 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(,0,0),P(0,0,),E(,0),
∴=(-,0,),=,-.
又易知平面PAB的一个法向量m=(0,1,0),
设平面PBE的法向量为n=(x,y,z),
则取n=(,1,),
设二面角A-PB-E的平面角为θ,
则cos θ=,
∴二面角A-PB-E的余弦值为.
9.D　设菱形ABCD的边长为1,取AC的中点O,连接BO,DO,
因为∠ABC=60°,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,
所以BO⊥平面ACD,如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(,0,0),B(0,0,),
D(0,,0),所以=(0,0,),=(,0,-),=(-,0).
设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1,得x=,y=1,则n=(,1,1).
易知平面CDA的一个法向量为=(0,0,),
所以|cos<,n>|=.故选D.
10.D　建立如图所示空间直角坐标系,
则D(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,2),P(a,0,2-2a)(0≤a≤1).
∵CD⊥平面BCC1B1,
∴平面BCC1B1的法向量为=(0,1,0).
∵=(a-1,-1,-2a),
设PB1与平面BCC1B1所成角为α,
∴cos α==
=
=.
∵5a2-2a+2=5,
∴(cos α)min=.故选D.
11.　以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(,0,0),B(0,2,0),A1(,1,),O1(0,1,),
所以=(-,1,-),=(,-1,-).
设所求的角为α,
则cos α=,
即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为.
12.(1)证明 因为四边形A1B1BA为菱形,
所以A1B⊥AB1.
又因为A1B⊥AC,AB1,AC 平面AB1C,AB1∩AC=A,
所以A1B⊥平面AB1C.
(2)解 取AB的中点O,连接B1O.
因为四边形A1B1BA为菱形,且∠ABB1=,
所以B1O⊥AB.
因为平面A1B1BA⊥平面ABC,平面A1B1BA∩平面ABC=AB,B1O 平面A1B1BA,
所以B1O⊥平面ABC,所以B1O⊥AC.
又因为A1B⊥AC,B1O与A1B相交,
所以AC⊥平面A1B1BA.取BC中点D,连接OD,
以O为原点,OB,OD,OB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则B(1,0,0),A(-1,0,0),A1(-2,0,),E(-1,1,0),
所以=(-3,0,),=(-2,1,0),=(-1,-1,).
设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),
所以令x=1,则z=,y=2,
所以n=(1,2,).
设=λ,0<λ<1,可得P(-1-λ,1-λ,λ),=(-λ,1-λ,λ).由题意,sin=|cos<,n>|=,解得λ=或λ=0(舍),即.
13.　因为AE∶ED∶AD=1∶1∶,所以AE⊥ED,即AE,DE,EF两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=EF=CD=2,
则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),
所以=(-1,2,0),=(0,2,1),
所以cos<>=,
所以直线AF与CE所成角的余弦值为.
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