数学人教A版（2019）必修第一册2.2基本不等式 课件（共37张ppt）

(共37张PPT)
基本不等式
一般地，对于任意实数a、b，总有
当且仅当a=b时，等号成立
文字叙述为:
两数的平方和不小于它们积的2倍.
适用范围：
a,b∈R
复习提问
重要不等式
替换后得到：
即：
即：
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
学习新知
证明：要证
只要证
①
要证①，只要证
②
要证②，只要证
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
分析法
证明不等式：
学习新知
基本不等式
1.如何理解“基本”呢？
对象少；
关系简；
应用广.
2.基本不等式的几何解释
如图, AB是圆的直径, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.
易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则
A
B
C
D
E
a
b
而这个圆的半径为 , 显然会大于或等于CD, 即
其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时, 等号成立.
特别地，若a>0，b>0，则
≥
通常我们把上式写作：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
基本不等式
在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
适用范围：
a>0,b>0
学习新知
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
填表比较：
注意从不同角度认识基本不等式
学习新知
基本不等式的应用
例１．已知x>0 ，求 的最小值和此时x的取值．
典型例题
基本不等式的应用
例１．已知x>0 ，求 的最小值和此时x的取值．
典型例题
变式1：把 改为 成立吗？
变式2：把 改为 成立吗？
不成立
不成立
练习课本P46T3,4，5
基本不等式的运用
典型例题
例2.已知 x, y 都是正数，求证：
(1)如果积 xy 等于定值P ，那么当 x=y 时，和x+y有最小值2 P.
(2)如果和x+y等于定值S ，那么当 x=y 时，积xy有最大值 S2.
1
4
积定和最小,
和定积最大.
一正、
二定、
三相等
练习课本P46T1,2，5
①各项皆为正数；
②和或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”
二“定”
三“相等”
利用基本不等式求最值时，要注意
归纳总结
已知 x, y 都是正数，求证：
(1)如果积 xy 等于定值P ，那么当 x=y 时，和x+y有最小值2 P.
(2)如果和x+y等于定值S ，那么当 x=y 时，积xy有最大值 S2.
1
4
辨别真伪深化新知
×
一正满足.
二定不满足.
三相等就无从谈起.
错误原因是把相等时的x值代入求y的值了.
课本P48T1
去伪存真强化三识
一正满足.
二定也满足.
三相等也能成立.
课本P48T1
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
3. 利用基本不等式求最值
1. 重要不等式
即时小结
2. 基本不等式
已知 x, y 都是正数，求证：
(1)如果积 xy 等于定值P ，那么当 x=y 时，和x+y有最小值2 P.
(2)如果和x+y等于定值S ，那么当 x=y 时，积xy有最大值 S2.
1
4
1.已知x>0， y>0， xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值．
当x=6,y=4时,最小值为48
2.已知x<0，求 的最大值.
巩固练习
3. 求x＞ -1时， 的最小值.
解: ∵ x＞-1, ∴x+1>0.
=(x +1)+ -1
1
x+1
∴ x +
1
x+1
=1,
≥2 (x+1) -1
1
x+1
当且仅当 取“=”号.
∴当 x=0 时, 取最小值是 1.
x+1= , 即 x=0 时,
1
x+1
强化重点突破难点
提高练习
2. 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 的最小值．
3.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y 的最小值是___.
18
4.已知x,y为正数,且x+y+3＝xy，则xy 的取值范围是___.课本P58T5
xy≥9
强化重点突破难点
基本不等式
2.两个不等式中 “当且仅当a=b时，等号成立”这句话应从两方面来理解：
(1)当a=b时，等号成立．其含义为：如果a=b，那么
(2)仅当a=b时，等号成立．其含义为：如果 ，那么a=b．
综合起来，“当且仅当a=b时，等号成立．”
其含义是： a=b等价于
对于重要不等式 以及基本不等式 ，要注意
1.两不等式成立的条件不一样
深刻认识理解新知
充要条件.
问题解决应用新知
证明：
（1）因a,b均为正数，由基本不等式，可知
也即
当且仅当 时，等号成立
该不等式的几何解释
如图1，设
交⊙Ｏ上半圆于Ｄ，过Ｃ作
交OD于E，
在Rt△OCD中，由射影定理可知
即
由DC≥DE，得
当且仅当 时，等号成立
问题解决应用新知
（2）因为
不等式两边同时加上
由于两边都是正数，所以两边开方得：
问题解决应用新知
当且仅当 时，等号成立
该不等式的几何解释
当且仅当 时，等号成立
如图2，设
交⊙Ｏ上半圆于F，
由FC≥OF，得
问题解决应用新知
其中当且仅当a＝b时取等号.
重要结论
问题解决应用新知
算术平均数
几何平均数
平方平均数
调和平均数
两个正数的倒数的算术平均数的倒数.
两个正数的平方的算术平均数的算术平方根.
（1）（2）（3）
练习：设a>0，b>0，给出下列不等式
其中恒成立的 .
课堂练习巩固新知
多项选择题是新高考新增加的题型
例2 已知a,b都是正实数,且ab=2,求证:(1+2a)(1+b)≥9.



求实际问题中最值的一般思路
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．
(4)正确写出答案．
方法技巧
归纳总结概括新知
基本不等式
应用
证明
几何解释
代数认识
1.本节知识结构
归纳总结概括新知
2.用 基本不等式 能解决简单
的 函数最值 问题. 应注意：
一 正 （条件）
二 定
（前提）
三 相等
（保证）
积定相等和最小；
和定相等积最大.
归纳总结概括新知
1．知识层面上：基本不等式，函数最值
2．方法策略上：数形结合，变式训练，适度配凑
3．思想层面上：等价转化，模型构造，同化思维
4．意志品质上：逢山开道，遇水搭桥，知难而进