2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024安徽太和期末]已知直线l1经过点(-1,-2)和(-1,4),直线l2经过点(2,1)和(x,6),且l1∥l2,则x=(　　)
A.2 B.-2
C.4 D.1
2.[探究点二][2024广东南海校级月考]若直线l1过点(1,1),(2,-1),直线l2过点(2,1),(x,3),且l1⊥l2,则x=(　　)
A.1 B.-2
C.6 D.-1
3.[探究点一、二](多选题)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是(　　)
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS
C.PS∥QS D.PR⊥QS
4.[探究点一]已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则实数m的值为(　　)
A.1 B.0
C.0或1 D.0或2
5.[探究点二][2024湖南衡阳校级期末]已知A(0,-1),B(-2a,0),C(1,1),D(2,4),若直线AB与直线CD垂直,则a的值为　　　　　.
6.[探究点一、二][2024宁夏银川校级月考]已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,则点D的坐标为　　　　　.
7.[探究点一]在平面直角坐标系Oxy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点
A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则点D的坐标为　　　　　.
8.[探究点一]已知l1的斜率是2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则lox=　　　　　.
9.[探究点三]已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,求点D,使直线CD⊥AB,且CB∥AD.
B级 关键能力提升练
10.[2024甘肃凉州校级月考]直线l1过点A(m,1)和点B(-1,m),直线l2过点C(m+n,n+1)和点D(n+1,n-m).则直线l1与l2的位置关系是(　　)
A.重合 B.平行
C.垂直 D.无法确定
11.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,且O,A,B,C四点共圆,则y的值是(　　)
A.19 B.
C.5 D.4
12.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=　　　　;若l1∥l2,则m=　　　　　.
13.[2024四川泸县校级期末]已知两点A(-1,3),B(3,1),当点C在坐标轴上时,若∠ACB= 90°,则满足题意的点C的个数为　　　　　.
14.[2024河北校级月考]设动直线l经过定点A(-1,1),则当点B(2,-1)到直线l的距离最大时,直线l的斜率为　　　　　.
C级 学科素养创新练
15.已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求实数m的值.
答案：
1.A　∵直线l1经过点(-1,-2)和(-1,4),易得直线l1的斜率不存在.
∵l1∥l2,且直线l2经过点(2,1)和(x,6),则直线l2的斜率不存在,∴x=2.故选A.
2.C　由题意可知,直线l1的斜率为k1==-2,直线l2的斜率为k2=.
∵l1⊥l2,∴k1·k2=(-2)×=-1,解得x=6.
故选C.
3.ABD　由斜率公式知,kPQ==-,kSR==-,kPS=,kQS==-4,kPR=,
∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而kPS≠kQS,
∴PS与QS不平行,故ABD正确.
4.C　(方法1)∵A(m,3),B(2m,m+4),
∴直线AB的一个方向向量为=(m,m+1).
∵C(m+1,2),D(1,0),
∴直线CD的一个方向向量为=(-m,-2).
由直线AB与直线CD平行,得m×(-2)-(m+1)×(-m)=0,解得m=0或m=1.
经检验,当m=0或m=1时,两直线不重合.故选C.
(方法2)当m=0时,直线AB与直线CD的斜率均不存在,此时AB∥CD,满足题意.
当m≠0时,kAB=,kCD=,
由题意得kAB=kCD,即,解得m=1.
经检验,当m=0或m=1时,两直线不重合.故选C.
5.　由题得kCD==3,kAB=.
∵AB⊥CD,∴kCD·kAB=-×3=-1,解得a=.
6.(10,-6)　设点D的坐标为(x,y),由已知得,直线AB的斜率kAB=1,直线CD的斜率kCD=,直线CB的斜率kCB=-,直线AD的斜率kAD=.
因为AB⊥CD,且AD∥BC,所以kAB·kCD=-1,且kAD=kBC,
则解得
所以点D的坐标为(10,-6).
7.(0,-2)　设点D(x,y),则由AB∥DC,AD∥BC可得kAB=kDC,kAD=kBC,
即,解得x=0,y=-2.
8.-　因为l1∥l2,所以=2,解得x=3.所以lo3=-.
9.解 设D(x,y),
则kCD=,kAB=3,kCB=-2,kAD=.
因为CD⊥AB,且CB∥AD,
所以kCD·kAB=-1,且kCB=kAD,
即·3=-1,且=-2,
所以x=0,y=1,即D(0,1).
10.C　①当m=1时,直线l1过点A(1,1)和点B(-1,1),直线l2过点C(1+n,n+1)和点D(n+1,n-1),此时直线l1的斜率k1=0,直线l2的斜率不存在,因此l1⊥l2.
②当m=-1时,直线l1过点A(-1,1)和点B(-1,-1),直线l2过点C(-1+n,n+1)和点D(n+1,n+1),此时直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率k2=0,因此l1⊥l2.
③当m≠±1时,直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=,此时k1k2=-1,则l1⊥l2.
综上可知,直线l1与l2的位置关系是垂直.
故选C.
11.B　由O,A,B,C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补,
又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,
所以kAB·kBC=-1,即=-1,解得y=.故选B.
12.-2　2　由根与系数的关系,知k1k2=,
若l1⊥l2,则k1k2==-1,得m=-2;
若l1∥l2,则k1=k2,∴Δ=16-8m=0,得m=2.
13.3　①若点C在x轴上,设点C(a,0),因为∠ACB=90°,则AC⊥BC,可得kAC·kBC=-1,
即=-1,得a=0或a=2,故点C的坐标为(0,0)或(2,0).
②若C在y轴上,设点C(0,b),因为∠ACB=90°,
则AC⊥BC,可得kAC·kBC==-1,得b=0或b=4,故点C的坐标为(0,0)或(0,4).
综上可得,点C的坐标为(0,0)或(2,0)或(0,4),共3个.
14.　当直线AB⊥l时,点B到直线l的距离最大,
此时直线AB的斜率为=-.
设此时直线l的斜率为k,则-k=-1,得k=,
所以直线l的斜率为.
15.解 易知直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,
∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.
当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2.
当m≠1时,直线AB的斜率kAB=,
∴线段AB的垂直平分线l2的斜率k2=.
∵l1与l2平行,∴k1=k2,即,解得m=4+.
综上,实数m的值为4+.
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