2.2.1 直线的点斜式方程 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2　直线的方程
2.2.1　直线的点斜式方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]经过点(2,5),斜率为-2的直线的点斜式方程为(　　)
A.y+5=-2(x+2) B.y-5=-2(x-2)
C.y-5=2(x+2) D.y-5=-2(x+2)
2.[探究点一]过点P(-5,7),倾斜角为135°的直线方程为(　　)
A.y=x+12 B.y=-x+2
C.y=-x+12 D.y=x+2
3.[探究点二]已知直线l的斜率是直线y=x+1的斜率的相反数,在y轴上的截距为2,则直线l的方程为(　　)
A.y=2x- B.y=-(x-2)
C.y=-x+2 D.y=x-2
4.[探究点一][2024广西邕宁校级开学]过点A(1,4)的直线的方向向量为m=(1,2),则该直线的点斜式方程为(　　)
A.y-4=2(x-1) B.y-4=-2(x-1)
C.y+4=(x-1) D.y+4=-(x+1)
5.[探究点一、二](多选题)[2024云南罗平校级期末]已知直线l:y=x-1,则(　　)
A.直线l过点(,-2)
B.直线l的斜率为
C.直线l的倾斜角为60°
D.直线l在y轴上的截距为1
6.[探究点一、二](多选题)[2024广东番禺校级期末]已知直线l的一个方向向量为u=(1,-),且直线l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是(　　)
A.直线l的倾斜角等于120°
B.直线l与x轴的交点坐标为
C.直线l与直线y=x+2垂直
D.直线l与直线y=-x+2平行
7.[探究点一][2024上海浦东新区校级开学]过点(-1,-2)且斜率为3的直线的点斜式方程是 　　　　　.
8.[探究点一][2024湖北随州月考]过点P(2,1),且倾斜角是直线l:y=x-1的倾斜角的两倍的直线的方程为　　　　　.
9.[探究点二]直线l与直线y=-x+2垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为　 .
10.[探究点二]已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的斜截式方程为　　　　　　　　　　.
11.[探究点二]求满足下列条件的m的值.
(1)直线l1:y=-x+1与直线l2:y=(m2-2)x+2m平行;
(2)直线l1:y=-2x+3与直线l2:y=(2m-1)x-5垂直.
B级 关键能力提升练
12.(多选题)直线y=ax+的图象可能是(　　)
13.(多选题)下面说法中错误的是(　　)
A.平面内任何一条直线都可以用直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0)来表示
B.y=-5是某条直线的斜截式方程
C.点(1,2)在直线y=2x-1上
D.直线y=2x-1的斜率为2,在y轴上的截距为1
14.(多选题)在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax与y=x+a大致图象的是(　　)
15.[2024宁夏兴庆校级期末]在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程是　　　　　　　　.
16.[2024新疆塔城高二统考开学考试]已知△ABC的顶点分别为A(2,4),B(0,-2),C(-2,3),求:
(1)直线AB的斜截式方程;
(2)AB边上的高所在直线的斜截式方程.
C级 学科素养创新练
17.已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R).
(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
答案：
1.B
2.B　直线的斜率为tan 135°=-1,故直线方程为y-7=-(x+5),即y=-x+2.故选B.
3.C　∵直线l的斜率是直线y=x+1的斜率的相反数,∴kl=-.
∵在y轴上的截距为2,
∴直线l的方程为y=-x+2,故选C.
4.A　因为直线的方向向量为m=(1,2),故直线的斜率为=2,
则直线的点斜式方程为y-4=2(x-1).故选A.
5.BC　点(,-2)不满足直线l:y=x-1的方程,故点(,-2)不在直线l上,故A错误;由题可得直线的斜率为,倾斜角为60°,直线在y轴上的截距为-1,故B,C正确,D错误.故选BC.
6.AD　对于选项A,∵直线l的一个方向向量为u=(1,-),∴直线l的斜率k==-,
∴直线l的倾斜角为120°,故选项A正确;
对于选项B,由A可知直线l的斜率k=-.
又l经过点(1,-2),∴直线l的方程为y+2=-(x-1),即y=-x+-2.
令y=0,得x=,
∴直线l与x轴的交点坐标为,故选项B错误;
对于选项C,∵直线y=x+2的斜率为,
∴两直线的斜率乘积为-=-3≠-1,
∴两直线不垂直,故选项C错误;
对于选项D,∵直线y=-x+2与直线l的斜率相等,但在y轴上的截距不相等,
∴两直线平行,故选项D正确.
故选AD.
7.y+2=3(x+1)
8.x=2　因为直线l的斜率为1,所以直线l的倾斜角为45°,所以所求直线的倾斜角为90°,故所求直线斜率不存在.又过点P(2,1),所以所求直线的方程为x=2.
9.y=x+4　设直线l的方程为y=x+m.又l在y轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l的方程为y=x+4.
10.y=x+1或y=x-1　设直线l的方程为y=x+b(b≠0).当x=0时,y=b;当y=0时,x=-6b.由题意可得·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l的方程为y=x+1或y=x-1.
11.解 (1)∵l1∥l2,∴两直线的斜率相等.
∴m2-2=-1且2m≠1,∴m=±1.
(2)∵l1⊥l2,∴2m-1=,∴m=.
12.AB　由直线y=ax+可得a≠0.
若a>0时,直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都大于0,可能为A;
若a<0时,直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都小于0,可能为B.故选AB.
13.ACD　对于A,当斜率不存在时,结论不成立,故A错误;
对于B,y=-5是某条直线的斜截式方程,故B正确;
对于C,点(1,2)不在直线y=2x-1上,故C错误;
对于D,直线y=2x-1的斜率为2,在y轴上的截距为-1,故D错误.
故选ACD.
14.BC
15.y=x-6或y=-x-6　与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为k=tan 60°=或k=tan 120°=-.
又y轴上的截距为-6,所以与y轴相交成30°角的直线方程是y=x-6或y=-x-6.
16.解 (1)∵A(2,4),B(0,-2),
∴kAB==3.
由点斜式方程可得y-(-2)=3(x-0),
化为斜截式方程可得y=3x-2.
(2)由(1)可知kAB=3,
故AB边上的高所在直线的斜率为-.
又AB边上的高所在直线过点C(-2,3),
由点斜式方程可得y-3=-(x+2),
化为斜截式可得y=-x+.
17.解 (1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2,要使直线l不经过第四象限,需满足解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞).
(2)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为4k+2,且k>0,
所以A,B(0,4k+2),故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16,
当且仅当4k=,即k=时,等号成立.故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4.
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