2.2.2 直线的两点式方程 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.2　直线的两点式方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]经过两点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为(　　)
A.y=x-3 B.y=-x-3
C.y=x-3 D.y=-x-3
2.[探究点二]直线3x+2y+1=0在x轴上的截距为(　　)
A. B.
C.- D.-
3.[探究点一]过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为(　　)
A. B.-
C. D.-
4.[探究点二][2024上海闵行校级月考]经过点A(5,2),并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
5.[探究点二](多选题)[2024河南驻马店期末]下列直线在两坐标轴上的截距相等的是(　　)
A.x-y=2 024
B.x+y=2 024
C.x+2 024y=0
D.2 023x+y=2 024
6.[探究点二][2024上海徐汇校级期末]已知直线l在x轴上的截距为3,在y轴上的截距为-2,则直线l的方程为　　　　　　　　.
7.[探究点二][2024福建城厢校级期末]已知直线l经过点P(2,-2),与坐标轴的截距大于0,且在y轴上的截距比在x轴上的截距大1,则直线l的方程为　　　　　　.
8.[探究点二]若直线l过点A(1,2),且在两坐标轴上截距互为相反数,则直线l的方程为　 .
9.[探究点一、二]已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求:
(1)AC边所在直线的方程;
(2)BC边上中线所在直线的方程.
10.[探究点二]已知直线l过点(1,2).
(1)当直线l在两坐标轴上的截距相等时,求直线l的方程;
(2)若直线l交x轴正半轴,y轴正半轴分别于A,B两点,求△AOB面积的最小值.
B级 关键能力提升练
11.若直线=1过第一、三、四象限,则(　　)
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
12.(多选题)[2024海南高二统考学业考试]若直线l经过点(4,-2),且直线l与坐标轴围成的三角形面积为2,则l的方程可能是(　　)
A.x-y-2=0 B.2x+y-6=0
C.x+y-2=0 D.x+4y+4=0
13.(多选题)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　)
A.x+y-5=0 B.x-y-5=0
C.x-4y=0 D.x+4y=0
14.[2024湖北孝感高二统考期末]已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为　　　　　　　　　.
15.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　　.
C级 学科素养创新练
16.直线过点P(,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:
(1)△AOB的周长为12;
(2)△AOB的面积为6
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
答案：
1.D　经过点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为,整理得y=-x-3.故选D.
2.D　直线3x+2y+1=0,令y=0,解得x=-.故选D.
3.C　过两点(-2,4)和(4,-1)的直线的方程为,即y=-x+,
∴直线在y轴上的截距为.故选C.
4.C　若直线经过原点,则y=x,该直线在坐标轴上的截距均为0,符合题意;若截距均不为0,设直线l的方程为=1(a≠0),将A(5,2)代入得=1,解得a=7,此时直线l的方程为=1.故选C.
5.BC　对于A,直线x-y=2 024在x轴和y轴上的截距分别为2 024和-2 024,不符合题意,故A不正确;
对于B,直线x+y=2 024在x轴和y轴上的截距分别为2 024和2 024,符合题意,故B正确;
对于C,直线x+2 024y=0在x轴和y轴上的截距分别为0和0,符合题意,故C正确;
对于D,直线2 023x+y=2 024在x轴和y轴上的截距分别为和2 024,不符合题意,故D不正确.
故选BC.
6.2x-3y-6=0　∵直线l在x轴上的截距为3,在y轴上的截距为-2,
则直线l的方程为=1,整理得2x-3y-6=0.
7.2x+y-2=0　由题意知,直线l的斜率存在,
设直线l的方程为=1(a>1),
将P(2,-2)代入直线方程,可得=1,
解得a=2或a=-1(舍去),
所以直线l的方程为x+=1,即2x+y-2=0.
8.y=2x或x-y+1=0　直线l在两坐标轴上截距为0时,直线l过点A(1,2),则直线l的方程为y=2x;直线l在两坐标轴上截距不为0时,可设直线l的方程为x-y=a,直线l过点A(1,2),则1-2=a,解得a=-1,直线方程为x-y+1=0.
综上所述,直线l的方程为y=2x或x-y+1=0.
9.解 (1)∵A(-5,0),C(0,2),∴直线AC的截距式方程为=1,化简得2x-5y+10=0,
即AC边所在直线的方程为2x-5y+10=0.
(2)∵B(3,-3),C(0,2),设BC中点坐标为D,
∴BC中点为D,
直线AD的斜率为k==-,
因此,直线AD的方程为y=-(x+5),化简得x+13y+5=0,
即为BC边上中线所在直线的方程.
10.解 (1)当直线的截距为0时,则y=2x.
当截距不为0时,设直线l的方程为=1,a≠0,
把点(1,2)代入可得=1,解得a=3,
则=1.整理得x+y-3=0.
故直线l的方程为y=2x或x+y-3=0.
(2)设直线l的方程为=1(a>0,b>0),把点(1,2)代入可得=1,则1=≥2,
即ab≥8,当,即a=2,b=4时,等号成立,
故S△AOB=ab≥×8=4,所以△AOB面积的最小值为4.
11.B　因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.
12.CD　易知直线l的斜率存在,故设直线l的方程y=k(x-4)-2.
令x=0,得y=-4k-2;令y=0,得x=+4.
故直线l与坐标轴围成的三角形面积为S=×|-4k-2|=2,
化简可得4k2+3k+1=0或4k2+5k+1=0.
对于方程4k2+3k+1=0,Δ=32-4×4×1<0,故方程4k2+3k+1=0无解.
对于方程4k2+5k+1=0,可得k=-1或k=-.
故直线l的方程为y=-(x-4)-2或y=-(x-4)-2,
即x+y-2=0或x+4y+4=0.
故选CD.
13.AC　当直线过点(0,0)时,直线方程为y=x,即x-4y=0;
当直线不过点(0,0)时,可设直线方程为=1,
把(4,1)代入,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0.
综上可知,直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.
14.x-6y+6=0或x-6y-6=0　设直线l的方程为=1,则|ab|=3,且-,
解得
故直线l的方程为=1或=1,即x-6y-6=0或x-6y+6=0.
15.x+2y-6=0　设直线l的方程为=1(a>0,b>0).
由点P在直线l上,得=1,
∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+≥5+2=9,
当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立.
∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0.
16.解 存在.设直线方程为=1(a>0,b>0),
若满足条件(1),则a+b+=12.①
又直线过点P(,2),∴=1.②
由①②可得5a2-32a+48=0,解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2),则ab=12,③
由题意得=1,④
由③④整理得a2-6a+8=0,解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.
5