2.3.1 两条直线的交点坐标 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024天津滨海新区校级月考]直线l1:2x-3y+3=0,直线l2:2x+y-5=0,则直线l1与l2的交点坐标为(　　)
A. B.
C. D.
2.[探究点一][2024天津高二校联考期末]过直线x+y+1=0和x-2y+4=0的交点,且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程是(　　)
A.2x-y+3=0 B.2x-y+5=0
C.x+2y-4=0 D.2x-y-3=0
3.[探究点一]若直线x-ay=0与直线2x+y-1=0的交点为(1,y0),则实数a的值为(　　)
A.-1 B.-
C.1 D.2
4.[探究点三][2024吉林通化校考模拟预测]若直线kx-y+2k-1=0恒过点A,且点A在直线mx+ny+2=0上,其中m,n均为正数,则mn的最大值为(　　)
A. B.
C.1 D.2
5.[探究点三]方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(　　)
A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3)
C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线
6.[探究点一][2024江苏阜宁校级期末]过直线l1:x+y-2=0与l2:3x-y-4=0的交点,且斜率为-3的直线l的方程为　　　　　　.
7.[探究点二]若关于x,y的方程组无解,则实数a=　　　　　.
8.[探究点一]三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则实数a的值为　.
B级 关键能力提升练
9.若直线2x+3y+7=0,x-y+1=0和x+my=0相交于一点,则m=(　　)
A.- B.
C.-2 D.2
10.若直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0的交点位于第一象限,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,2)
D.(-1,2)
11.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是(　　)
A.a=1,或a=-2 B.a≠±1
C.a≠1,且a≠-2 D.a≠±1,且a≠-2
12.已知直线ax+y+a+2=0恒过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是　　　　　　　　.
13.设直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,则直线l的方程为　　　　　　　　.
C级 学科素养创新练
14.[2024河南高二校联考期末]已知直线l:(2m+1)x+(3-4m)y+10m-15=0(m∈R).
(1)证明:无论m取何值,直线l与直线x-2y+5=0一定相交.
(2)若m∈,直线l与x,y轴分别交于A,B两点,C(2,0),求△ABC面积的最小值.
答案：
1.D　解方程组解得
故直线l1与l2的交点坐标为.故选D.
2.B　解方程组解得所以交点坐标为(-2,1).
因为直线x+2y-3=0的斜率为-,所以所求直线的斜率为2,
故所求直线方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.
故选B.
3.A　∵直线x-ay=0与直线2x+y-1=0的交点为(1,y0),
∴解得a=-1.故选A.
4.B　因为kx-y+2k-1=0,则k(x+2)-(y+1)=0.
令解得
即直线kx-y+2k-1=0恒过点A(-2,-1).
又因为点A在直线mx+ny+2=0上,则-2m-n+2=0,
可得2m+n=2.
又m>0,n>0,
则2m+n=2≥2,即05.A　(a-1)x-y+2a+1=0可化为-x-y+1+a(x+2)=0,由
故该直线恒过定点(-2,3).
6.3x+y-5=0　解方程组则直线l过点.
又直线l的斜率为-3,
故l的方程为y-=-3,即3x+y-5=0.
7.-2　因为方程组无解,即直线4x+6y=1和直线ax-3y=2平行,
故4×(-3)-6a=0,所以a=-2.
经验证,a=-2符合题意.
8.-1　由解得
把(4,-2)代入直线ax+2y+8=0,可得4a-4+8=0,解得a=-1.
9.C　由即交点为(-2,-1),代入直线方程x+my=0,解得m=-2.
10.D　解方程组
因为直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0的交点位于第一象限,
所以解得-111.D　为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点.
①若l1∥l2,则由a×a-1×1=0,得a=±1.
②若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,得a=1.
③若l1∥l3,则由a×1-1×1=0,得a=1.
当a=1时,l1,l2与l3三线重合,当a=-1时,l1,l2平行.
④若三条直线交于一点,由解得
将l2,l3的交点(-a-1,1)的坐标代入l1的方程,
解得a=1(舍去)或a=-2.
所以要使三条直线能构成三角形,需a≠±1,且a≠-2.
12.2x-y=0　由直线ax+y+a+2=0,
得a(x+1)+(y+2)=0,
令解得x=-1,y=-2,
∴直线ax+y+a+2=0恒过定点(-1,-2),
∴过这一定点和原点的直线方程是,即y=2x,即2x-y=0.
13.x-y-4=0或x+y-24=0　(方法1)由
所以两直线的交点坐标为(14,10).
由题意可得所求直线的斜率为1或-1,
所以所求直线的方程为y-10=x-14或y-10=-(x-14),即x-y-4=0或x+y-24=0.
(方法2)设所求的直线方程为(2x-3y+2)+λ(3x-4y-2)=0,整理得(2+3λ)x-(4λ+3)y-2λ+2=0,
由题意,得=±1,解得λ=-1或λ=-,
所以所求的直线方程为x-y-4=0或x+y-24=0.
14.(1)证明 直线l:(2m+1)x+(3-4m)y+10m-15=0(m∈R)的方程可化为(2x-4y+10)m+x+3y-15=0.
令解得故直线l经过定点(3,4).
当直线l的斜率不存在时,方程为x=3,显然与x-2y+5=0相交;
当直线l的斜率存在时,直线l的斜率为,
故直线l与直线x-2y+5=0不重合.
又因为(3,4)满足x-2y+5=0,即(3,4)是直线x-2y+5=0上一点,
所以(3,4)是直线l与直线x-2y+5=0的公共点,
综上,无论m取何值,直线l与直线x-2y+5=0一定相交.
(2)解 由(1)可知,直线l经过定点(3,4),不妨设直线l的方程为y=k(x-3)+4.
因为m∈,4m-3∈(-5,0),,
所以k=<0.
令x=0,得y=4-3k>0;令y=0,得x=-+3>0,
所以A,B(0,4-3k),
所以△ABC的面积S=(4-3k)=(16+2)=8+4,
当且仅当-=-3k(k<0),即k=-时,等号成立.
所以△ABC面积的最小值为8+4.
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