2.3.2 两点间的距离公式 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.3.2 两点间的距离公式 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 222.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-10 21:34:14 | ||
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文档简介
2.3.2 两点间的距离公式
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024福建仓山校级期末]已知O为原点,B(4,-3),C(0,5),则△OBC的边BC上的中线长为( )
A.2 B.
C. D.5
2.[探究点一][2024广东香洲校级期末]已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,则实数m等于( )
A.1 B.3
C.1或3 D.-1或3
3.[探究点一][2024天津河西期末]已知点A(-1,2),B(2,),P为x轴上一点,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
4.[探究点一]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( )
A.2 B.4
C.5 D.
5.[探究点三][2024海南琼山校级期末]已知两点A(1,2),B(3,6),动点M在直线y=x上运动,则|MA|+|MB|的最小值为( )
A.2 B.
C.4 D.5
6.[探究点一]已知△ABC的三顶点A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),则BC边上的高AD的长度为 .
7.[探究点二]如图,△ABC是边长为1的正三角形,M,N分别为线段AC,AB上一点,满足AM∶MC=1∶2,AN∶NB=1∶3,直线CN与BM的交点为P,则线段AP的长度为 .
8.[探究点三][2024陕西雁塔校级期末]已知点A(1,1),B(2,2),点P在直线y=x上,求|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标.
B级 关键能力提升练
9.[2024江苏高二期末]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且AB线段的中点为P,则线段AB的长为( )
A.11 B.10
C.9 D.8
10.[2024重庆长寿校级期末]已知点R在直线x-y+1=0上,M(1,3),N(3,-1),则||RM|-|RN||的最大值为( )
A. B.
C. D.2
11.[2024浙江舟山期末]已知点P在直线y=x+3上,A(1,0),B(3,0),则|PA|+|PB|的最小值为( )
A. B.5
C. D.2
12.[2024江苏高二期末]直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A和B,则|AB|= .
13. [北师大版教材习题]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=kx+1上的两点,若|x2-x1|=3,且|AB|=6,求直线l的方程.
C级 学科素养创新练
14.[2024四川旌阳校级月考]设m∈R,过定点A的动直线x+my-2=0与过定点B的动直线mx-y+4=0交于点P(x,y),则|PA||PB|的最大值是 .
15.[2024甘肃嘉峪关高二校考期末]函数f(x)=的最小值是 .
答案：
1.B 由题得,线段BC的中点坐标为,即(2,1),
则△OBC的边BC上的中线长为.故选B.
2.C 因为点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,
所以|MN|==2,
即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3.
故选C.
3.B 由题意设P(a,0),由|PA|=|PB|,可得,
解得a=1,
所以点P的坐标为(1,0).故选B.
4.D 根据中点坐标公式得=1,=y,
解得x=4,y=1,所以点P的坐标为(4,1),
则点P到原点的距离d=.
5.B 根据题意画出图形,如图所示.作点A关于直线y=x的对称点A'(2,1),连接A'B,
则|A'B|即为|MA|+|MB|的最小值,且|A'B|=.
故选B.
6. 由两点间距离公式得AB=,BC=,AC=.
∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴D为BC的中点.
由中点坐标公式易得D.
∴AD=.
7. 以A为原点,AB边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C,M,N,
所以直线BM的方程为y=(x-1),即x+5y-=0.直线CN的方程为y=,
即4x-2y-=0.
联立解得即P,
所以AP=.
8.解 设P(2t,t),则|PA|2+|PB|2=(2t-1)2+(t-1)2+(2t-2)2+(t-2)2=10t2-18t+10=10,当t=时,|PA|2+|PB|2取得最小值,此时P,
故|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标为.
9.B 因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直,
所以2×=-1,解得a=2,所以线段AB的中点为P(0,5).设A(m,2m),B,
则解得
所以A(4,8),B(-4,2),
故|AB|==10.故选B.
10.C 设点M(1,3)关于直线x-y+1=0的对称点为M'(x,y),
则解得即M'(2,2).
∵N(3,-1),
∴||RM|-|RN||=||RM'|-|RN||≤|M'N|=.
故选C.
11.D 设点A关于直线y=x+3的对称点为C(x,y),
取直线y=x+3上一点P,连接PA,PB,PC.连接BC交直线y=x+3于点P1,
连接AP1,P1C,AC,如图所示,
则
解得即C(-3,4).
因为点A,C关于直线y=x+3对称,
所以直线y=x+3是线段AC的垂直平分线,
所以|PA|=|PC|,则|PA|+|PB|=|PC|+|PB|≥|BC|,
当且仅当点P运动到P1处时,|P1C|+|P1B|=|BC|,
所以|PA|+|PB|的最小值为|BC|==2.故选D.
12. 将直线l1的方程变形为3ax-(y+2)=0,由可得即A(0,-2).
将直线l2的方程变形为a(2x+5y)-(x+1)=0,
由可得即B.
故|AB|=.
13.解 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+1上,
所以y1=kx1+1,y2=kx2+1,
所以y2-y1=k(x2-x1).
所以|AB|=×3=6,所以k=±,
所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.
14.10 由x+my-2=0,得x-2+my=0,故A(2,0).
由mx-y+4=0,得B(0,4).
由于直线x+my-2=0与直线mx-y+4=0互相垂直,所以PA⊥PB,
故|PA|2+|PB|2=|AB|2=4+16=20,
所以|PA|2+|PB|2≥2|PA||PB|,
则|PA||PB|≤10,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立,
故|PA||PB|的最大值是10.
15.5 因为f(x)=,
设A(-1,2),B(3,1),P(x,0),则f(x)表示点P(x,0)到点A(-1,2),B(3,1)两点的距离之和,
即|PA|+|PB|.
因为P是x轴上的点,则点A关于x轴的对称点为A'(-1,-2),
则|PA|=|PA'|,
所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|==5,所以f(x)的最小值是5.
6
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024福建仓山校级期末]已知O为原点,B(4,-3),C(0,5),则△OBC的边BC上的中线长为( )
A.2 B.
C. D.5
2.[探究点一][2024广东香洲校级期末]已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,则实数m等于( )
A.1 B.3
C.1或3 D.-1或3
3.[探究点一][2024天津河西期末]已知点A(-1,2),B(2,),P为x轴上一点,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
4.[探究点一]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( )
A.2 B.4
C.5 D.
5.[探究点三][2024海南琼山校级期末]已知两点A(1,2),B(3,6),动点M在直线y=x上运动,则|MA|+|MB|的最小值为( )
A.2 B.
C.4 D.5
6.[探究点一]已知△ABC的三顶点A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),则BC边上的高AD的长度为 .
7.[探究点二]如图,△ABC是边长为1的正三角形,M,N分别为线段AC,AB上一点,满足AM∶MC=1∶2,AN∶NB=1∶3,直线CN与BM的交点为P,则线段AP的长度为 .
8.[探究点三][2024陕西雁塔校级期末]已知点A(1,1),B(2,2),点P在直线y=x上,求|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标.
B级 关键能力提升练
9.[2024江苏高二期末]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且AB线段的中点为P,则线段AB的长为( )
A.11 B.10
C.9 D.8
10.[2024重庆长寿校级期末]已知点R在直线x-y+1=0上,M(1,3),N(3,-1),则||RM|-|RN||的最大值为( )
A. B.
C. D.2
11.[2024浙江舟山期末]已知点P在直线y=x+3上,A(1,0),B(3,0),则|PA|+|PB|的最小值为( )
A. B.5
C. D.2
12.[2024江苏高二期末]直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A和B,则|AB|= .
13. [北师大版教材习题]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=kx+1上的两点,若|x2-x1|=3,且|AB|=6,求直线l的方程.
C级 学科素养创新练
14.[2024四川旌阳校级月考]设m∈R,过定点A的动直线x+my-2=0与过定点B的动直线mx-y+4=0交于点P(x,y),则|PA||PB|的最大值是 .
15.[2024甘肃嘉峪关高二校考期末]函数f(x)=的最小值是 .
答案：
1.B 由题得,线段BC的中点坐标为,即(2,1),
则△OBC的边BC上的中线长为.故选B.
2.C 因为点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,
所以|MN|==2,
即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3.
故选C.
3.B 由题意设P(a,0),由|PA|=|PB|,可得,
解得a=1,
所以点P的坐标为(1,0).故选B.
4.D 根据中点坐标公式得=1,=y,
解得x=4,y=1,所以点P的坐标为(4,1),
则点P到原点的距离d=.
5.B 根据题意画出图形,如图所示.作点A关于直线y=x的对称点A'(2,1),连接A'B,
则|A'B|即为|MA|+|MB|的最小值,且|A'B|=.
故选B.
6. 由两点间距离公式得AB=,BC=,AC=.
∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴D为BC的中点.
由中点坐标公式易得D.
∴AD=.
7. 以A为原点,AB边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C,M,N,
所以直线BM的方程为y=(x-1),即x+5y-=0.直线CN的方程为y=,
即4x-2y-=0.
联立解得即P,
所以AP=.
8.解 设P(2t,t),则|PA|2+|PB|2=(2t-1)2+(t-1)2+(2t-2)2+(t-2)2=10t2-18t+10=10,当t=时,|PA|2+|PB|2取得最小值,此时P,
故|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标为.
9.B 因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直,
所以2×=-1,解得a=2,所以线段AB的中点为P(0,5).设A(m,2m),B,
则解得
所以A(4,8),B(-4,2),
故|AB|==10.故选B.
10.C 设点M(1,3)关于直线x-y+1=0的对称点为M'(x,y),
则解得即M'(2,2).
∵N(3,-1),
∴||RM|-|RN||=||RM'|-|RN||≤|M'N|=.
故选C.
11.D 设点A关于直线y=x+3的对称点为C(x,y),
取直线y=x+3上一点P,连接PA,PB,PC.连接BC交直线y=x+3于点P1,
连接AP1,P1C,AC,如图所示,
则
解得即C(-3,4).
因为点A,C关于直线y=x+3对称,
所以直线y=x+3是线段AC的垂直平分线,
所以|PA|=|PC|,则|PA|+|PB|=|PC|+|PB|≥|BC|,
当且仅当点P运动到P1处时,|P1C|+|P1B|=|BC|,
所以|PA|+|PB|的最小值为|BC|==2.故选D.
12. 将直线l1的方程变形为3ax-(y+2)=0,由可得即A(0,-2).
将直线l2的方程变形为a(2x+5y)-(x+1)=0,
由可得即B.
故|AB|=.
13.解 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+1上,
所以y1=kx1+1,y2=kx2+1,
所以y2-y1=k(x2-x1).
所以|AB|=×3=6,所以k=±,
所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.
14.10 由x+my-2=0,得x-2+my=0,故A(2,0).
由mx-y+4=0,得B(0,4).
由于直线x+my-2=0与直线mx-y+4=0互相垂直,所以PA⊥PB,
故|PA|2+|PB|2=|AB|2=4+16=20,
所以|PA|2+|PB|2≥2|PA||PB|,
则|PA||PB|≤10,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立,
故|PA||PB|的最大值是10.
15.5 因为f(x)=,
设A(-1,2),B(3,1),P(x,0),则f(x)表示点P(x,0)到点A(-1,2),B(3,1)两点的距离之和,
即|PA|+|PB|.
因为P是x轴上的点,则点A关于x轴的对称点为A'(-1,-2),
则|PA|=|PA'|,
所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|==5,所以f(x)的最小值是5.
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