2.3.3 点到直线的距离公式 +2.3.4 两条平行直线间的距离 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3　点到直线的距离公式　
2.3.4　两条平行直线间的距离
A级 必备知识基础练
1.[探究点二][2024广西玉林高二统考期末]已知两条直线l1:3x-4y+6=0,l2:3x-4y-4=0,则这两条直线之间的距离为(　　)
A.2 B.3
C.5 D.10
2.[探究点一][2024河北武安校级开学]已知A(4,0)到直线4x-3y+a=0的距离等于3,则a的值为(　　)
A.-1 B.-13或-19
C.-1或-31 D.-13
3.[探究点二][2024河南南阳高二校联考阶段练习]若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a=(　　)
A.2 B.-2或1
C.-1 D.-1或2
4.[探究点二][2024安徽黄山模拟预测]若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为,则a的值为(　　)
A.4 B.-6
C.4或-16 D.8或-16
5.[探究点一][2024吉林船营校级月考]已知直线l:kx-y-3k+1=0,当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为(　　)
A.2 B.
C. D.2
6.[探究点一](多选题)[2024海南儋州校级期末]若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离是,则点P的坐标可能为(　　)
A.(1,2) B.(2,1)
C.(2,-1) D.(-1,2)
7.[探究点一][2024上海浦东新区校级期末]若原点到直线l:ax+y+8=0的距离为4,则a的值是　　　　　.
8.[探究点一]求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.
9.[探究点二]直线l经过两直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且与直线l1:x+y-6=0平行.
(1)求直线l的方程;
(2)若点P(a,1)到直线l的距离与直线l1和直线l的距离相等,求实数a的值.
B级 关键能力提升练
10.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是(　　)
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0
11.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　)
A. B.
C. D.3
12.(多选题)[2024辽宁沈河校级月考]已知点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的可能取值是(　　)
A.0 B.1
C. D.4
13.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则m=　　　　　,此时直线l1与l2之间的距离为　　　　　.
14.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a=　　　　　.
15.已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.
(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;
(2)求△OAB面积的最小值.
16.在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1C级 学科素养创新练
17.已知x+y-3=0,则的最小值为　　　　　.
答案：
1.A　由题可得,直线l1与直线l2平行,则两条直线之间的距离为d==2.故选A.
2.C　由距离公式可得,=3,
即|a+16|=15,解得a=-1或a=-31.故选C.
3.A　因为直线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0平行,
可得1×2=(a-1)×a且1×1≠2a,解得a=2或a=-1.
当a=2时,l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,即l1:2x+2y+4=0,
则两平行线间的距离为d=,符合题意;
当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即l2:x-2y-1=0,
则两平行线间的距离为d=,不符合题意,舍去.故选A.
4.C　将直线2x-y-3=0化为4x-2y-6=0,
则直线2x-y-3=0与直线4x-2y+a=0之间的距离d=,
即|a+6|=10,解得a=4或a=-16,
所以a的值为4或-16.故选C.
5.C　直线l:kx-y-3k+1=0,即k(x-3)-y+1=0,
令解得即直线l恒过定点(3,1),
故当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为.故选C.
6.AC　设P点坐标为(a,5-3a),
由题意知,解得a=1或a=2,
故P点坐标为(1,2)或(2,-1).故选AC.
7.±　由原点(0,0)到直线l:ax+y+8=0距离为4,得=4,解得a=±.
8.解 (方法1)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.
又直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.
由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,
得,解得k=0或k=1.
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
(方法2)①当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.
∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),
∴直线l的方程是x-y+2=0.
②当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.
∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,
∴直线l的方程为y=2.
综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.
9.解 (1)由解得
即两直线交点坐标为(1,6).
∵直线l1:x+y-6=0的斜率k1=-1,
∴直线l的斜率k=-1.
∴直线l的方程为y-6=-(x-1),即x+y-7=0.
(2)由题意得,
整理得|a-6|=1,解得a=7或a=5.
10.A　根据题意得,所求直线与直线OA垂直,
因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-.
所以由点斜式方程得y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.
11.B　由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).
∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,
∴y=1-2x,∴|MP|=,
故当x=-时,|MP|取得最小值.故选B.
12.AB　直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ,
整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,
所以解得
故直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ表示过点Q(1,1)除直线3x+2y-5=0的所有直线.
由于P(-2,-1),
所以|PQ|=,
且kPQ=,
则直线PQ与直线3x+2y-5=0垂直,
所以点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离的取值范围为[0,).故d的可能取值为0,1.故选AB.
13.-　∵直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,∴-=3,∴m=-,
故直线l1:6x-2y+3=0,直线l2:6x-2y-2=0.
则直线l1与l2之间的距离为.
14.3　由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.
15.解 (1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则点O到直线l的距离d==4,解得k=-.
故直线l的方程为-x-y-4×(-)+3=0,即7x+24y-100=0.
(2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,所以A(-+4,0),B(0,-4k+3).
则△OAB的面积S=|OA|·|OB|=×(-+4)×(-4k+3)=(--16k+24).
由题意可知k<0,则--16k≥2=24,当且仅当k=-时,等号成立.
故△OAB面积的最小值为×(24+24)=24.
16.解 ∵A(1,1),C(4,2),∴|AC|=,直线AC的方程为x-3y+2=0.
根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=,
∴S=|AC|·d=|m-3+2|=.
∵1∴0≤2<,
∴当m=时,△ABC的面积S最大.
17.　设P(x,y),A(2,-1),则点P在直线x+y-3=0上,且=|PA|.
|PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d=.
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