2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.2　圆与圆的位置关系
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024湖北监利月考]圆O1:(x-2)2+y2=4与圆O2:(x-4)2+y2=16的位置关系为(　　)
A.外离 B.外切
C.相交 D.内切
2.[探究点二]过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线的方程是(　　)
A.x+y+2=0
B.x+y-2=0
C.5x+3y-2=0
D.不存在
3.[探究点一][2024江苏秦淮校级期末]已知圆O1:x2+y2+4x-8y-5=0与圆O2: (x+2)2+y2=r2(r>0)只有一个公共点,则r=(　　)
A.1 B.4
C.9 D.1或9
4.[探究点二][2024重庆沙坪坝校级模拟]圆C1:x2+y2+4x-2y-10=0与圆C2:x2+y2=r2(r>0)的公共弦恰为圆C1的直径,则圆C2的面积是(　　)
A.2π B.4π
C.10π D.20π
5.[探究点一]若圆(x+1)2+y2=4和圆(x-a)2+y2=1相交,则a的取值范围是(　　)
A.(0,2) B.(-4,-2)∪(0,2)
C.(-4,-2) D.(-2,0)∪(2,4)
6.[探究点三](多选题)半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程可以是(　　)
A.(x-4)2+(y-6)2=6
B.(x+4)2+(y-6)2=6
C.(x-4)2+(y-6)2=36
D.(x+4)2+(y-6)2=36
7.[探究点三](多选题)[2024广东月考]已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-3)2+(y-3)2=4,P,Q分别是圆O,圆C上的动点,则下列说法错误的有(　　)
A.圆O与圆C相交
B.|PQ|的取值范围是[3-4,3+4]
C.x-y=2是圆O与圆C的一条公切线
D.过点Q作圆O的两条切线,切点分别为M,N,则存在点Q,使得∠MQN=90°
8.[探究点一][2024江西乐安校级期末]x2+y2=4与圆(x-a)2+y2=1(a>0)内切,则a=　　　.
9.[探究点二]已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则线段AB的中垂线的方程为　　　　　　　　.
10.[探究点二] [人教B版教材习题]已知圆C1:x2+y2=2与圆C2:(x-2)2+y2=8相交于A,B两点,求AB的中点的坐标.
B级 关键能力提升练
11.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16外离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为(　　)
A. B.-
C.-6 D.6
12.[2024山东聊城高二统考期末]已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0内切,则C1与C2的公切线方程为(　　)
A.3x-4y-5=0
B.3x-4y+5=0
C.4x-3y-5=0
D.4x-3y+5=0
13.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是(　　)
A.-16 B.-9
C.11 D.12
14.(多选题)[2024江苏丹阳月考]已知圆M:x2+y2-2x-3=0,圆N:x2+y2-8x-8y+23=0,则下列选项正确的有(　　)
A.直线MN的方程为4x-3y-4=0
B.若P,Q两点分别是圆M和圆N上的动点,则|PQ|的最大值为5
C.圆M和圆N的公切线有两条
D.经过M,N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为π
15.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为　　　　　　　;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点　　　　　.
16.两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　　.
17.已知圆O1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆O2:(x+n)2+(y+2)2=1内切,则m2+n2的最小值为　　　　　.
C级 学科素养创新练
18.[2024江苏徐州期末]已知圆C1:x2+y2+2x-6y+5=0,圆C2:x2+y2-10x+5=0.
(1)判断圆C1与圆C2的位置关系;
(2)若过点(3,4)的直线l被圆C1,C2截得的弦长之比为1∶2,求直线l的方程.
答案：
1.D　圆O1的圆心为O1(2,0),半径为r1=2,圆O2的圆心为O2(4,0),半径为r2=4,则两圆的圆心距为|O1O2|==2,而|r1-r2|=2,
则圆O1与圆O2的位置关系为内切.故选D.
2.A　由得x+y+2=0.
3.D　圆O1:x2+y2+4x-8y-5=0,
即(x+2)2+(y-4)2=25,
则圆心为O1(-2,4),半径为r1=5,
圆O2:(x+2)2+y2=r2(r>0),
则圆心为O2(-2,0),半径为r,
所以|O1O2|==4.
因为两圆只有一个公共点,
所以两圆外切或内切,显然两圆不能外切,
所以|O1O2|=|r1-r|,即|5-r|=4,
解得r=1或r=9.故选D.
4.D　两圆方程相减可得4x-2y-10+r2=0,此即两圆的公共弦所在直线的方程.由题意,公共弦为圆C1的直径,则圆心C1(-2,1)满足直线方程,即-8-2-10+r2=0,即r2=20,则圆C2的面积为πr2=20π.故选D.
5.B　∵圆(x+1)2+y2=4与圆(x-a)2+y2=1相交,
∴两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和,
即2-1<<2+1,所以1<|a+1|<3.
解得06.CD　由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36,又由两圆内切,得=5,
所以a2=16,所以a=±4.
7.AC　对于A,由题意可得,圆O的圆心为O(0,0),半径r1=2,圆C的圆心为C(3,3),半径r2=2,因为两圆的圆心距|OC|=3>2+2=r1+r2,所以两圆外离,故A错误;
对于B,|PQ|的最大值等于|OC|+r1+r2=3+4,最小值为|OC|-r1-r2=3-4,故B正确;
对于C,因为两圆的半径相等,所以公切线与圆心连线平行,由直线OC:y=x,可设公切线为y=x+t,t∈R,
则两平行线间的距离为2,即=2,
即t=±2,故y=x±2,故C错误;
对于D,易知当∠MQN=90°时,四边形OMQN为正方形,
故当|QO|=2时,∠MQN=90°,故D正确.
故选AC.
8.1　根据题意,x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),半径R=1,两圆的圆心距d=|a|,若两圆内切,则|a|=1,解得a=1或a=-1,由a>0,得a=1.
9.x+y-3=0　∵圆C1的圆心为C1(3,0),圆C2的圆心为C2(0,3),
∴直线C1C2的方程为x+y-3=0.
由圆的性质知AB的中垂线即直线C1C2,故其方程为x+y-3=0.
10.解 因为圆C1的圆心为C1(0,0),圆C2的圆心为C2(2,0),所以AB的中点在C1C2,即x轴上.
由
得AB的方程为4x=-2,即x=-.
所以AB的中点的坐标为.
11.C　两圆外离,则>2+4,
即(a-2)2>35,
设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx,
则=2,解得k=,
则与圆C2相切的直线l2的斜率k'=-=-,
直线l2的方程为y=-x,即12x+5y=0,
所以=4,解得a=-6或a=,
结合(a-2)2>35可知a=-6.故选C.
12.D　圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,
x2+y2-8x+6y+m=0可化为(x-4)2+(y+3)2=25-m(m<25),
则圆C2的圆心为C2(4,-3),半径r2=.
因为圆C1与圆C2内切,所以r2-1=|C1C2|,即r2=+1=6,故m=-11.
直线C1C2的斜率=-,
则直线C1C2的方程为y=-x.
联立
易知C1与C2的交点为,
则公切线的方程为y-,即4x-3y+5=0.故选D.
13.AD　化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为;
圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.
要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>+1或|C1C2|<-1,
即5>+1或5<-1,
解得-2511.
∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).
满足这一范围的有A和D.
14.AD　由题意可知,圆M:(x-1)2+y2=4的圆心M(1,0),半径r1=2,
圆N:(x-4)2+(y-4)2=9的圆心N(4,4),半径r2=3.
对于A,直线MN的方程为,即4x-3y-4=0,故A正确;
对于B,因为|MN|==5,所以|PQ|的最大值为|MN|+r1+r2=10,故B错误;
对于C,因为|MN|=r1+r2,可知圆M与圆N外切,所以两圆有三条公切线,故C错误;
对于D,当MN为圆的直径时,此时该圆为经过M,N两点的所有圆中面积最小的圆,此时圆的面积为π=π,故D正确.
故选AD.
15.2x+y-1=0　()　圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),
则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为(1,),半径为r=.
可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-)2=,
即x2+y2-2x-y=0,
两圆的方程相减可得直线AB的方程2x+y-1=0.
因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,所以设P(4-2m,m).
因为PA,PB是圆C的切线,所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+(y-)2=(2-m)2+,
又由圆C的方程为x2+y2=1,两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,所以直线AB过定点().
16.3　由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直,
∴kAB×1=-1,
即=-1,得m=5,∴AB的中点坐标为(3,1).
AB的中点在直线x-y+c=0上,
∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3.
17.2　∵圆O1的圆心为(m,-2),半径为r1=3,圆O2的圆心为(-n,-2),半径为r2=1,
∴两圆的圆心距d=|m+n|.
∵两圆内切,∴|m+n|=2,可得m2+n2+2mn=4 4-(m2+n2)=2mn≤m2+n2,
∴m2+n2≥2,当且仅当|m|=|n|=1时,等号成立,故m2+n2的最小值为2.
18.解 (1)圆C1:(x+1)2+(y-3)2=5的圆心为C1(-1,3),半径为r=,
圆C2:(x-5)2+y2=20的圆心为C2(5,0),半径为R=2.
因为|C1C2|==3=R+r,
所以圆C1与C2的位置关系为外切.
(2)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=3,与圆C1相离,不符合题意;
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-3)+4,则点C1,C2到l的距离分别为,所以l被圆C1,C2截得的弦长分别为2,2,
因为弦长之比为1∶2,所以2×2=2,
即4(1-4k)2=(2k+4)2,解得k=1或k=-,
经检验,k=1,k=-均符合题意.
所以直线l的方程为x-y+1=0或x+5y-23=0.
7