2.5.1 直线与圆的位置关系 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024上海浦东新区期末]直线x-y=0绕原点按顺时针方向旋转30°后所得的直线l与圆(x-2)2+y2=3的位置关系是(　　)
A.直线l过圆心
B.直线l与圆相交,但不过圆心
C.直线l与圆相切
D.直线l与圆无公共点
2.[探究点三][2024贵州遵义期末]已知直线l:x-2y+3=0与圆C:x2+y2-2x-6y+6=0交于A,B两点,则|AB|=(　　)
A. B.
C. D.
3.[探究点二][2024河南商丘期末]已知圆C:x2+y2=4与直线l:3x-4y+=0相切,则实数m=(　　)
A.5 B.10
C.25 D.100
4.[探究点一]已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
5.[探究点二][2024陕西雁塔校级期末]过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则cos α=(　　)
A. B.
C.- D.
6.[探究点三](多选题)已知直线l:kx-y-k=0,圆M:x2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐标为(2,1),则下列说法正确的有(　　)
A.直线l恒过点(1,0)
B.D=-4,E=-2
C.直线l被圆M截得的最短弦长为2
D.当k=1时,圆M上存在无数对点关于直线l对称
7.[探究点二][2024湖北宣恩校级期末]从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线,则切线的方程为　　　　　　　　　　　　.
8.[探究点四]一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它　　　　　(填“会”或“不会”)受到台风的影响.
9.[探究点四] [北师大版教材习题]已知某公园的一座半圆形拱桥的水面宽为6 m,在一场暴雨后水面上涨了40 cm,水面宽变为4 m(如图).根据以上数据,能否确定暴雨后圆拱顶距水面的距离 如果能,请写出计算方案.
B级 关键能力提升练
10.若过点P(2,4)且斜率为k的直线l与曲线y=有且只有一个交点,则实数k的值不可能是(　　)
A. B.
C. D.2
11.(多选题)[2024湖南模拟]已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=16,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列说法正确的有(　　)
A.直线l恒过定点
B.直线l能表示平面直角坐标系内每一条直线
C.对任意实数m,直线l都与圆C相交
D.直线l被圆C截得的弦长的最小值为2
12.[2024江西模拟]已知圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,若直线l:3x+4y-5=0与圆C相交于A,B两点,则△ABC的面积为　　　　　.
13.[2024湖南开福校级模拟]若圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为,则实数a的取值范围是　　　　　.
14.[2024上海浦东新区期末]已知圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P0平分时,写出直线AB的方程.
C级 学科素养创新练
15.(多选题)[2024安徽黄山期末]已知点P在圆O:x2+y2=4上,点M(5,0),N,则下列说法正确的有(　　)
A.直线MN与圆O相离
B.点P到直线MN的距离可能大于5
C.当∠PMN最大时,|PM|=
D.满足PM⊥PN的点P有且仅有1个
16.[2024陕西雁塔校级期末]已知圆C经过点E(0,6),F(4,4),且圆心在直线l:2x-5y+13=0上.
(1)求圆C的方程.
(2)直线y=kx+3与圆C交于A,B两点,问:在直线y=3上是否存在定点N,使得kAN+kBN=0(kAN,kBN分别为直线AN,BN的斜率)恒成立 若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：
1.A　直线x-y=0的倾斜角为30°,直线x-y=0绕原点按顺时针方向旋转30°后得直线l,则直线l的方程为y=0,即x轴.圆(x-2)2+y2=3的圆心为(2,0),故直线l与圆(x-2)2+y2=3的位置关系是直线l过圆心(2,0).故选A.
2.B　因为圆C:x2+y2-2x-6y+6=0的圆心为C(1,3),半径r=2,且圆心C(1,3)到直线l:x-2y+3=0的距离d=,所以|AB|=2=2.故选B.
3.D　易知圆C的圆心为原点O,设点O到直线l的距离为d.因为圆C与直线l相切,
所以d==2,解得m=100.
故选D.
4.B　∵点M(a,b)在圆x2+y2=1外,∴a2+b2>1.
∴圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离d=<1=r,则直线与圆的位置关系是相交.
5.C　x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,则圆的圆心C(2,0),半径为r=.
设P(0,-2),两条切线分别为PA,PB,则|PC|==2,
在△PAC中,sin,
所以cos α=1-2sin2=1-2×=-.故选C.
6.ABD　直线l:kx-y-k=0,即k(x-1)-y=0,恒过点(1,0),故A正确;
圆M:x2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐标为(2,1),则D=-4,E=-2,故B正确;
圆M:x2+y2-4x-2y+1=0的半径为2,圆心(2,1)到定点(1,0)的距离为,直线l被圆M截得的最短弦长为2×=2≠2,故C不正确;
当k=1时,直线方程为x-y-1=0,经过圆的圆心,所以圆M上存在无数对点关于直线l对称,故D正确.
故选ABD.
7.x=2或3x-4y+6=0　分两种情况考虑:
当切线方程斜率不存在时,直线x=2满足题意;
当切线方程斜率存在时,设为k,此时切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
∵直线与圆相切,
∴圆心(1,1)到切线的距离等于圆的半径,即=1,解得k=,
此时切线方程为x-y+3-=0,即3x-4y+6=0.
综上,切线方程为x=2或3x-4y+6=0.
8.不会　如图,以台风中心为原点O,正东方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,
其中,取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O,圆的方程为x2+y2=9;轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.由圆心(0,0)到直线l的距离大于半径,可知直线与圆相离,故轮船不会受到台风的影响.
9.解 能.计算方案如下:
如图,以拱顶为原点,圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
设拱桥所在圆的方程为x2+(y+b)2=b2(b>0),设A(2,y1),B(3,y2),则y1-y2=0.4,
即=0.4,所以b≈6.75,
代入可得暴雨后圆拱顶距水面的距离为|y1|=|-b+|≈|-6.75+6.45|=0.3(m).
10.B　如图,曲线y=,即x2+y2=4(y≥0),表示以O为圆心,2为半径的圆的上半部分(包括x轴上的部分).
当直线l:y=k(x-2)+4,即kx-y-2k+4=0与半圆相切时,=2,解得k=.
因为P(2,4),A(-2,0),所以直线PA的斜率kPA==1.
又直线与曲线y=有且只有一个交点,所以k>kPA或k=,
所以实数k的取值范围是(1,+∞)∪.故选B.
11.ACD　对于A,直线l的方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,
联立解得
所以直线恒过定点P(3,1),故A正确;
对于B,由A可知,直线l不能表示直线2x+y-7=0,也不能表示不过点P的直线,故B错误;
对于C,因为(3-1)2+(1-2)2<16,故直线l恒过圆C内一点P(3,1),所以直线与圆相交,故C正确;
对于D,当直线l⊥CP时,直线被圆截得的弦长最短,因为|CP|=,
所以最短弦长为2=2×=2,故D正确.
故选ACD.
12.12　圆C:(x-3)2+(y-4)2=25的圆心为C(3,4),半径为r=5,圆心到直线l:3x+4y-5=0的距离d==4,
因此|AB|=2=2×=6,
所以S△ABC=|AB|·d=×6×4=12.
13.　因为圆的方程为(x-a)2+(y-3)2=20,所以圆心为(a,3),半径为2.
又圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为,
所以圆心到直线2x-y+1=0的距离d<,
所以,即|2a-2|<5,解得-14.解 (1)当α=时,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
圆x2+y2=8的圆心为O(0,0),半径r=2,
则圆心到直线AB的距离d=,
则|AB|=2.
(2)当弦AB被点P0平分时,OP0⊥AB,
∵直线OP0的斜率=-2,
∴直线AB的斜率kAB=,
故直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
15.AC　直线MN的方程为x+2y-5=0.
对于A,圆心O到直线MN的距离d=>2,故A正确;
对于B,由选项A可得点P到直线MN的距离的最大值为2+<5,故B不正确;
对于C,当∠PMN最大时,直线PM与圆相切,此时|PM|=,
故C正确;
对于D,点P在以MN为直径的圆G上,圆G的圆心为G,半径为,
则|GO|=,
所以满足PM⊥PN的点P有2个,故D不正确.
故选AC.
16.解 (1)由E(0,6),F(4,4),可知线段EF的中点为D(2,5),直线EF的斜率kEF=-,
则线段EF的垂直平分线的斜率为2,
∴线段EF的垂直平分线的方程为2x-y+1=0.
线段EF的垂直平分线与直线l的交点即为圆心C,
由解得即C(1,3).
又圆C的半径r=,
∴圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
(2)存在点N(-9,3)满足题意.
由消去y整理得(1+k2)x2-2x-9=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1+x2=,x1x2=.(*)
假设存在点N满足题意,设N(t,3),t≠x1,x2,
则kAN=,kBN=.
由kAN+kBN=0,得=0,
即(y1-3)(x2-t)+(y2-3)(x1-t)=0,
即2kx1x2-kt(x1+x2)=0,
将(*)式代入得-=0,
化简得9k+kt=0.
当k=0时,t∈R,此时满足题意;
当k≠0时,t=-9,
故点N的坐标为(-9,3).
所以在直线y=3上存在定点N(-9,3),使得kAN+kBN=0恒成立.
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