3.1.2　第1课时　椭圆的简单几何性质 同步练（含答案） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)已知椭圆C:16x2+25y2=400,则关于椭圆C,下列叙述正确的是(　　)
A.椭圆C的长轴长为10
B.椭圆C的两个焦点分别为(0,-3)和(0,3)
C.椭圆C的离心率等于
D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P,Q,则|PQ|=
2.[探究点三][2024湖北模拟]已知椭圆C:=1(a>3)的离心率为,则a=(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
3.[探究点三]若椭圆C:=1(a>b>0)满足a=2b,则该椭圆的离心率e=(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点一](多选题)[2024湖南常德高二月考]关于椭圆3x2+4y2=12有以下结论,其中正确的有(　　)
A.离心率为
B.长轴长是2
C.焦距为2
D.焦点坐标为(-1,0),(1,0)
5.[探究点二]已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆C的方程为
　　　　　　　　.
B级 关键能力提升练
6.已知椭圆+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为(　　)
A.[1,2] B.[]
C.[,4] D.[1,4]
7.过椭圆=1的中心作直线与椭圆交于A,B两点,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大值为(　　)
A.6 B.12
C.24 D.48
8.[2024广东茂名高二统考期末]已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为B,点M为C上的任意一点,则|MB|的最大值是　　　　　.
9.如图,已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.
C级 学科素养创新练
10.正方形ABCD的四个顶点都在椭圆=1(a>b>0)上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(,1)
C.(0,) D.(,1)
答案：
1.ACD　由题意知椭圆的标准方程为=1,则a=5,b=4,∴c=3.
长轴长为2a=10,故A正确;
两焦点为(3,0),(-3,0),故B错误;
离心率为e=,故C正确;
将x=3代入椭圆方程得16×32+25y2=400,
解得y=±,∴|PQ|=,故D正确.
2.B　由题意可得e=,可得a2=36,即a=6.故选B.
3.B　因为a=2b,所以e=.故选B.
4.ACD　将椭圆方程化为标准方程为=1,所以该椭圆的焦点在x轴上,焦点坐标为(-1,0),(1,0),焦距为2,长轴长是4,故B错误,C,D正确;
离心率e=,故A正确.故选ACD.
5.=1　因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,
所以有tan 60°=,即b=c.
又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,所以有a-c=,而a2=b2+c2,三个等式联立得解得所以椭圆的标准方程为=1.
6.D　根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-,2+],所以∈[1,4].故选D.
7.B　如图,设点A的坐标为A(x,y),
由于AB过椭圆的中心,所以A,B两点关于原点O对称,于是B(-x,-y),所以|OF1|·2|y|=c|y|,因此,当|y|最大时,△F1AB的面积最大,而当A,B为椭圆的上、下顶点时,|y|最大,所以△F1AB的面积最大为cb=3×4=12.故选B.
8.b　由椭圆C的离心率e=,可得a=b,所以椭圆的方程为=1.
设M(x0,y0),则=1,可得=3b2-3.
又由点B(0,-b),可得|MB|2=+(y0+b)2=3b2-3+(y0+b)2=-2(y0-)2+,
因为-b≤y0≤b,所以|MB,所以|MB|max=.
9.解 (1)由∠F1AB=90°及椭圆的对称性知b=c,
则e=.
(2)由已知a2-b2=1,A(0,b),设B(x,y),
则=(1,-b),=(x-1,y),
由=2,得(1,-b)=2(x-1,y),
解得x=,y=-,则=1,
得a2=3,因此b2=2,所以椭圆的方程为=1.
10.A　如图,∵椭圆的焦点在正方形的内部,直线BD的方程为y=x,
∴点(c,c)在椭圆内,
∴<1.
又b2=a2-c2,∴e4-3e2+1>0.
又e2∈(0,1),
∴e2∈(0,),∴e∈(0,).故选A.
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