3.1.2　第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 同步练（含答案） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024湖北荆州高二校考阶段练习]若椭圆=1的弦AB被点P(1,1)平分,则AB所在直线的方程为(　　)
A.4x+9y-13=0 B.9x+4y-13=0
C.x+2y-3=0 D.x+3y-4=0
2.[探究点一][2024湖南常德模拟]已知椭圆E:=1(a>b>0),直线y=x+a与椭圆E相切,则椭圆E的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
3.[探究点二]某广场的一个椭球水景雕塑如图所示,其横截面为圆,过横截面圆心的纵截面为椭圆,F1,F2分别为该椭圆的两个焦点,PQ为该椭圆过点F2的一条弦,且△PQF1的周长为3|F1F2|.若该椭球横截面的最大直径为2米,则该椭球的高为(　　)
A.米 B.米
C.米 D.米
4.[探究点一]直线y=x+2与椭圆=1(m>0且m≠3)有两个公共点,则m的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)
C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)
5.[探究点一][2024江西上高校级月考]已知椭圆C:=1,过点P(1,)的直线交椭圆C于A,B两点.若P为AB的中点,则直线AB的方程为　　　　　　　　.
6.[探究点一]若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为　　　　　.
7.[探究点一][人教B版教材习题改编]已知直线l:y=kx+2和椭圆C:=1.分别求k取何值时,直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点.
B级 关键能力提升练
8.[2024四川青羊校级月考]椭圆=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,过AB的中点M与坐标原点O的直线的斜率为2,则=(　　)
A. B.
C. D.2
9.[2024上海长宁校级期末]已知焦点在y轴上的椭圆=1被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则正数a=　　　　　.
10.[2024上海闵行校级期末]若直线y-1=k(x-2)与椭圆=1恒有两个不同的公共点,则m的取值范围是　　　　　　　　　　.
11.在平面直角坐标系中,动点P在椭圆C:=1上运动,则点P到直线x-y-5=0的距离的最大值为　　　　　.
C级 学科素养创新练
12.[2024江西宜丰校级月考]若关于x的方程k(x+4)-1=有解,则实数k的取值范围是　　　　　.
答案：
1.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,因为P(1,1)为弦AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2.
则
所以=0,整理得=-,
所以直线AB的斜率kAB==-=-,
所以弦AB所在直线的方程为y-1=-(x-1),即4x+9y-13=0.故选A.
2.B　由题意,联立椭圆E和直线y=x+a的方程,得b2x2+a2(x+a)2=a2b2,
整理得(a2+b2)x2+a3x+a4-a2b2=0.
因为椭圆E和直线y=x+a相切,所以Δ=(a3)2-4(a2+b2)(a4-a2b2)=0,化简得,
则椭圆E的离心率e=.故选B.
3.B　根据题意,画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如图所示,
根据椭圆的定义得△PQF1的周长为|PQ|+|PF1|+|QF1|=4a=3×2c,即2a=3c.①
由该椭球横截面的最大直径为2米,可知2b=2米,得b=1米.
又因为a2=b2+c2,所以a2=c2+1.②
联立①②可得c=米,a=米.
所以该椭球的高为2a=米.故选B.
4.B　由消去y可得(3+m)x2+4mx+m=0,
∴Δ=(4m)2-4m(3+m)>0,解得m>1或m<0.
3+m≠0,即m≠-3.
又m>0且m≠3,∴m>1且m≠3.
5.3x+2y-4=0　设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,
则3+4=12,3+4=12,
∴3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
∵P(1,)恰为线段AB的中点,即有x1+x2=2,y1+y2=1,
∴3(x1-x2)+2(y1-y2)=0,
∴直线AB的斜率k==-,
∴直线AB的方程为y-=-(x-1),即3x+2y-4=0.
6.2　因为直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4,即点P(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的圆内(不包含边界),所以点P(m,n)在椭圆=1的内部,故过点P(m,n)的直线与椭圆=1有两个交点.
7.解 联立直线y=kx+2和曲线=1,得(3k2+2)x2+12kx+6=0,
①直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点,
∴Δ=(12k)2-24(3k2+2)>0.
整理,得3k2-2>0,解得k<-或k>.
∴k<-或k>.
②直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有1个公共点,Δ=(12k)2-24(3k2+2)=0,k=-或k=.
③直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6没有公共点,Δ=(12k)2-24(3k2+2)<0,-8.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知x1≠x2,x0≠0,
则直线OM的斜率kOM==2,直线AB的斜率kAB==-1.
由AB的中点为M可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.
由A,B在椭圆上,可得=1,=1,两式相减可得=0,
即=0,整理可得=2,.故选A.
9.　由题意a>,把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得(a2+18)x2-24x+2(4-a2)=0.
设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得,x1+x2=.
椭圆=1被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,
由中点坐标公式可得,,得a2=6,可得a=.
10.(,16)∪(16,+∞)　易知m>0,且m≠16.
直线y-1=k(x-2)恒过点(2,1),要使直线与椭圆=1恒有两个公共点,
则(2,1)必在椭圆内,即<1,得m>.
综上可知,m的取值范围为(,16)∪(16,+∞).
11.5　设直线x-y+m=0与椭圆=1相切,联立直线与椭圆的方程,消去y,得25x2+32mx+16m2-144=0,
∴Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=0,解得m=5或m=-5.
∴与直线x-y-5=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y+5=0,
两平行线间的距离为d==5,
∴点P到直线x-y-5=0的距离的最大值为5.
12.[]　令y=k(x+4)-1=,x∈[-2,2],则y=k(x+4)-1,x∈[-2,2],+y2=1(y≥0),已知条件可转化为直线与半椭圆+y2=1(y≥0)有交点,直线y=k(x+4)-1恒过点D(-4,-1),如图,
当直线过点A(2,0)时,k=.
由得(1+4k2)x2+8k(4k-1)x+4(4k-1)2-4=0,令Δ=0,解得k=或k=0(舍去),
故k的取值范围为[].
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