3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2　双曲线
3.2.1　双曲线及其标准方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点二](多选题)过点(1,1),且的双曲线的标准方程可以是(　　)
A.-y2=1 B.-x2=1
C.x2-=1 D.y2-=1
2.[探究点一]设点P在双曲线=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于(　　)
A.22 B.16
C.14 D.12
3.[探究点二][2024河南洛阳高二校联考阶段练习]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=4,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,则双曲线C的方程为(　　)
A.x2-=1 B.=1
C.=1 D.=1
4.[探究点一][2024福建福州高二校联考期末]设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右焦点.若|PF1|=9,则|PF2|等于(　　)
A.1 B.17
C.1或17 D.8
5.[探究点四]许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底与地面平行.现测得下底直径AB=20米,上底直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为(　　)
图1
图2
A.10米 B.20米
C.10米 D.10米
6.[探究点三]若方程=1表示双曲线,则实数m的取值范围是　　　　　;若表示椭圆,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　.
7.[探究点一][2024天津高二单元检测]已知双曲线=1左支上的一点M到右焦点F1的距离为18,N是线段MF1的中点,O为坐标原点,则|ON|等于　　　　　.
8.[探究点二]已知与双曲线=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.
B级 关键能力提升练
9.[2024福建莆田高二校考阶段练习]设F1,F2分别是双曲线C:x2-=1的左、右焦点,过F2作x轴的垂线与双曲线C交于A,B两点.若△ABF1为正三角形,则△ABF1的面积为(　　)
A.4 B.4
C.3 D.3
10.[2024广东高二统考期末]动圆P过定点M(0,2),且与圆N:x2+(y+2)2=4相内切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　)
A.y2-=1(y<0) B.y2-=1
C.-x2=1(y<0) D.x2+=1
11.(多选题)已知方程=1表示的曲线为C,下列说法正确的有(　　)
A.当1B.当t>4或t<1时,曲线C为双曲线
C.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1D.若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则t>4
12.(多选题)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有(　　)
A.点P到x轴的距离为
B.|PF1|+|PF2|=
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2=
13.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程||=4的解为x=　　　　　.
14.过原点的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右两支分别交于M,N两点,F(2,0)为C的右焦点.若=0,且||+||=2,则双曲线C的方程为　　　　　　　　.
15.已知双曲线=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.
(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少 若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少
C级 学科素养创新练
16.[2024江西宜春高二校联考期末]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,离心率为2,P为双曲线C上一点,直线A1P,A2P的斜率之和为,△PF1F2的面积为,则a=(　　)
A.2 B.
C.2 D.1
答案：
1.AB　由于,∴b2=2a2.
当焦点在x轴上时,设双曲线方程为=1,代入(1,1)点得a2=.
此时双曲线方程为-y2=1.
同理,求得焦点在y轴上时,双曲线方程为-x2=1.
2.A　由题意知|F1F2|=2×=10.
由双曲线定义知||PF2|-|PF1||=6,又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴|PF1|=3,|PF2|=9.
∴△F1PF2的周长为3+9+10=22.故选A.
3.D　设双曲线的半焦距为c,因为|F1F2|=4,所以2c=4.
由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|-|PF2|=b,所以2a=b.
所以c2=a2+b2=a2+(2a)2=5a2=20.
所以a=2,b=4,双曲线C的方程为=1.故选D.
4.B　对于=1,a2=16,b2=20,则c2=a2+b2=36,a=4,c=6.
因为|PF1|=95.B　建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知D(10,20),B(10,-60),
设双曲线的方程为=1,
∴
解得|EF|=2a=20.故选B.
6.(-1,+∞)　(-∞,-5)∪(-5,-1)　若方程表示双曲线,则应有m+1>0,即m>-1;
若表示椭圆,则有解得m<-1且m≠-5.
7.4　因为双曲线=1左支上的一点M到右焦点F1的距离为18,
所以点M到左焦点F2的距离|MF2|=18-10=8.
因为N是MF1的中点,O是F1F2的中点,所以|ON|=|MF2|=4.
8.解 已知双曲线=1,则c2=16+9=25,
∴c=5.
设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).
依题意知b2=25-a2,
故所求双曲线方程可写为=1.
∵点P在所求双曲线上,
∴=1,化简得4a4-129a2+125=0,
解得a2=1或a2=.
当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不符合题意,舍去,∴a2=1,b2=24,
∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.
9.A　∵△ABF1为正三角形,
设|AF2|=t,∴|AF1|=2t,|F1F2|=t.
又双曲线C:x2-=1,
∴根据双曲线定义得|AF1|-|AF2|=t=2,
∴|AF1|=4,即等边三角形的边长为4.
故△ABF1的面积为×42×sin 60°=4.故选A.
10.A　圆N:x2+(y+2)2=4的圆心为N(0,-2),半径为2,且|MN|=4.
设动圆P的半径为r,则|PM|=r,|PN|=r-2,即|PM|-|PN|=2<|MN|.
则点P在以M,N为焦点,焦距为2c=4,实轴长为2a=2,虚轴长为2b=2×=2的双曲线上,且点P在靠近点N这一支上,故动圆圆心P的轨迹方程是y2-=1(y<0).故选A.
11.BCD　当t=时,曲线C为圆,故A错误;若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4,故B正确;若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴14,故D正确.
12.BC　因为双曲线C:=1,所以c==5.
又因为·2c|yP|=·10·|yP|=20,所以|yP|=4,故A错误;
将|yP|=4代入C:=1得=1,即|xP|=,由对称性,不妨取点P的坐标为,
可知|PF2|=,由双曲线定义可知|PF1|=|PF2|+2a=+8=,
所以|PF1|+|PF2|=,故B正确;
对于点P,在△PF1F2中,|PF1|=>2c=10>|PF2|=,
则>0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故C正确;
由余弦定理得cos∠F1PF2=,∴∠F1PF2≠,故D错误.
13.±　∵||=4,
∴||=4,
其几何意义为动点P(x,0)到定点A(-4,2),B(4,2)的距离差的绝对值为4.
根据双曲线的定义,可将原方程的解转化为“以A,B为焦点,4为实轴长的双曲线与x轴交点的横坐标”.
∵2c=|AB|=8,∴c=4.
∵a=2,∴b2=c2-a2=12,
∴双曲线方程为=1.
令y=0,得=1,解得x=±.
14.-y2=1　如图所示,设双曲线的左焦点为F1,连接F1M,F1N.
=0,则,四边形MFNF1为矩形,|MN|=|FF1|=4,
故||2+||2=16.
又||+||=2,
所以||-||=2,||-||=||-||=2a=2,故a=,b=1.
则双曲线C的方程为-y2=1.
15.解 设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,
因为r1r2sin θ,θ已知,所以只需求r1r2即可.
(1)当θ=90°时,r1r2sin θ=r1r2.
由双曲线方程知a=2,b=3,c=,
由双曲线的定义,得r1-r2=2a=4,
两边平方,得-2r1r2=16.
又=|F1F2|2,即|F1F2|2-4=16,
也即52-16=4,求得=9.
(2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,
|F1F2|2=-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,
所以r1r2=12,求得r1r2sin 120°=3.
同理,可求得当∠F1MF2=60°时,=9.
16.D　因为离心率为e==2,则c=2a,则b2=c2-a2=4a2-a2=3a2,
所以双曲线C的方程为=1.
设P(x0,y0),则=1,即-a2=.①
设直线A1P的斜率为,直线A2P的斜率为,因为A1(-a,0),A2(a,0),易知a≠±x0,
所以,所以.②
又因为△PF1F2的面积为,所以|F1F2|·|y0|=,即·4a·|y0|=,所以|y0|=.③
由②③得|x0|=,④
将④③代入①得,2-a2=,所以a=1.故选D.
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