3.2.2　第1课时　双曲线的简单几何性质 同步练（含答案） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)[2024山东临沂高二统考期末]已知双曲线C:x2-y2=1,则下列有关双曲线的说法正确的有(　　)
A.实轴长为1
B.虚轴长为2
C.离心率e=
D.渐近线方程为x±y=0
2.[探究点三]若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分,则该双曲线的离心率为(　　)
A.3 B.
C.2 D.
3.[探究点一][2024河南平顶山高二统考期末]双曲线C:=1的右焦点到C的一条渐近线的距离为(　　)
A.2 B.
C.3 D.4
4.[探究点二][2024四川成都高二校联考期末]若双曲线的渐近线方程为y=±3x,实轴长为2a=2,且焦点在x轴上,则该双曲线的标准方程为(　　)
A.x2-=1或-x2=1
B.-x2=1
C.x2-=1
D.-y2=1
5.[探究点三][2024四川达州高二统考期末]已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,则它的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
6.[探究点二]过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为(　　)
A.x2-=1 B.-y2=1
C.=1 D.=1
7.[探究点一][2024四川高二统考期末]若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　.
8.[探究点三]两个正数a,b的和为5,积为6,且a>b,则双曲线=1的离心率e=　　,渐近线方程为　　　　　.
9.[探究点三]双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以坐标原点O为圆心,以c为半径作圆A,圆A与双曲线C的一个交点为P,若三角形F1PF2的面积为a2,则双曲线C的离心率为　　　　　.
10.[探究点二][2024湖南衡阳高二统考期末]求满足下列条件的双曲线的方程:
(1)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,且经过点(2,);
(2)已知双曲线的实轴长为2,且与椭圆=1有相同的焦点.
B级 关键能力提升练
11.(多选题)[2024海南校考模拟预测]下列关于双曲线=1的说法正确的有(　　)
A.实轴长为6
B.与双曲线4y2-9x2=1有相同的渐近线
C.焦点到渐近线的距离为4
D.与椭圆=1有同样的焦点
12.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于(　　)
A.-1 B.
C.+1 D.+2
13.[2024江西赣州高二校联考阶段练习]如图所示,F1,F2分别是双曲线C:=1 (a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C的右支上存在一点B满足BF1⊥BF2,BF1与双曲线C的左支的交点A平分线段BF1,则双曲线C的渐近线的斜率为(　　)
A.±3 B.±2
C.± D.±
14.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为(　　)
A.-y2=1 B.=1
C.=1 D.=1
15.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且=0,则下列结论正确的是(　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
16.已知l为双曲线C:=1的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为　　　　　;C的方程为　　　　　　　　.
17.已知F为双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|,则双曲线E的离心率是　　　　.
18.[2024河南新乡校考模拟预测]已知双曲线C:=1(b>0)的离心率为3,焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上.若△PF1F2的周长为14,求△PF1F2的面积.
C级 学科素养创新练
19.已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,双曲线上的点P到原点的距离为b,且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案：
1.BCD　由C:x2-y2=1可知,a=b=1,c=,故实轴长为2a=2,虚轴长为2b=2,离心率e=,渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.故选BCD.
2.A　已知双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分,则2a=×2c,即=3,
则该双曲线的离心率为3.故选A.
3.A　依题意得a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13,所以a=3,b=2,c=,
所以渐近线方程为y=±x,右焦点为(,0),
所以点(,0)到渐近线2x-3y=0的距离为=2.故选A.
4.C　设双曲线的标准方程为=1,则由题可得解得
所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选C.
5.A　由=1得双曲线的渐近线方程为y=±x.
∵双曲线的离心率为2,
∴=2,解得,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.
6.A　椭圆的标准方程为=1,可得焦点坐标为(±2,0).
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
故解得
故双曲线的标准方程为x2-=1.故选A.
7.y=±x　双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则9-=1,b>0,解得b=,
所以双曲线的方程为x2-=1,则该双曲线的渐近线方程为y=±x.
8.　y=±x　由解得
又a>b,∴a=3,b=2,∴c=,∴e=.
渐近线方程为y=±x.
9.　不妨设P为右支上一点,设|PF1|=m,|PF2|=n,
由双曲线的定义可得m-n=2a,
由题意可得△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,
可得m2+n2=4c2,且mn=a2,
由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2,
即c=a,可得e=.
10.解 (1)由e=,得,即c=a.
又b2=c2-a2=(a)2-a2=a2,所以a=b.
则双曲线的方程为=1,将点(2,)的坐标代入得=1,解得a2=2.
所以双曲线的方程为=1.
(2)椭圆=1的焦点为(±2,0),设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),所以2a=2,
且a2+b2=4,所以a=1,b2=3,所以双曲线的方程为x2-=1.
11.ABD　由题意得,双曲线=1满足a2=9,b2=4,即a=3,b=2,于是2a=6,故A正确;
双曲线=1的焦点在y轴上,故渐近线方程为y=±x=±x,而双曲线4y2-9x2=1的焦点也在y轴上,故渐近线方程为y=±x=±x,即它们的渐近线方程相同,故B正确;
双曲线=1的焦点为(0,±),不妨取其中一个焦点(0,)和一条渐近线y=x,
根据点到直线的距离公式,焦点到渐近线的距离为=2,故C错误;
椭圆=1的焦点为(0,±),根据C选项可知,椭圆和双曲线的焦点一样,
故D正确.故选ABD.
12.C　不妨设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=.
因为∠PF1Q=,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=,
于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=+1或e=1-(舍去).故选C.
13.B　设|AB|=|AF1|=x(x>0),则|BF1|=2x,
由双曲线的定义得|BF2|=2x-2a,|AF2|=x+2a.
又由BF1⊥BF2得|AF2|2=|AB|2+|BF2|2,即(x+2a)2=x2+(2x-2a)2,得x=3a,
所以|BF1|=6a,|BF2|=4a.
在直角三角形BF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2,即(2c)2=(6a)2+(4a)2,
整理得c2=13a2,则b2=c2-a2=12a2,双曲线C的渐近线的斜率为±=±2.故选B.
14.ABD　依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知A,B,D均可能.
15.ACD　易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,故A正确;由a=b=1得c=,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;易知F1(-,0),则F1到双曲线的一条渐近线的距离d==1,故C正确;
由=0得,PF1⊥PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由得y2=,故|y|=,因此,|F1F2|·|y|=×2=1,故D正确.故选ACD.
16.(,0)　=1　由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k==tan =1,解得a=b=,则双曲线的右顶点为(,0),C的方程为=1.
17.　如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为D.
由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±x,
则F(c,0)到渐近线的距离d==b,
即|FA|=|FD|=b.
又|OF|=|FB|=c,∴|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.
∵△OFB为等腰三角形,
∴D为OB的中点,∴|OB|=2a.
∵AB⊥OA,∴|OB|2=|OA|2+|AB|2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,∴c=2b.
则2a=c,∴e=.
18.解 设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,因为双曲线C:=1(b>0)的离心率为3,
所以=3,即c=3a=3.
又△PF1F2的周长为14,所以m+n+2c=14.
由双曲线的定义得m-n=2a=2,解得m=5,n=3.
由余弦定理得cos∠F1PF2==-,则sin∠F1PF2=,
所以mnsin∠F1PF2=×5×3=4.
19.A　由双曲线的方程可知,双曲线的焦点在y轴上,
设F1为双曲线的下焦点,F2为双曲线的上焦点,
过点P作PH⊥F1F2于点H(图略).
因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,
所以=3,|PF1|=3|PF2|.
由双曲线的定义可知,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a.
因为双曲线上的点P到原点O的距离为b,即|PO|=b,且|OF2|=c,
所以|PF2|2+|PO|2=a2+b2=c2=|OF2|2,∠OPF2=90°,故|OP||PF2|=|OF2||HP|,|HP|=.
因为|HO|2+|HP|2=|OP|2,所以|HO|=.
所以P,将P代入双曲线=1中,即=1,
化简得b4-a4=a2c2.
又c2=a2+b2,所以b4-a4=a2(a2+b2),
b4-a2b2-2a4=0,-2=0,=0,
解得=2或-1(舍去),则,
则该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选A.
8