3.2.2　第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用 同步练（含答案） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024北京海淀校级期末]若直线y=kx与双曲线=1相交,则k的取值范围是(　　)
A.(0,)
B.(-,0)
C.( -)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
2.[探究点三]过点P(2,1)的直线l与双曲线x2-=1相交于A,B两点,若P是线段AB的中点,则直线l的方程是(　　)
A.6x-y-11=0 B.6x+y-13=0
C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-4=0
3.[探究点一][2024四川射洪校级模拟]已知双曲线C:=1的右焦点为F,点A(0,m),若直线AF与C只有一个交点,则m=(　　)
A.±2 B.±4
C.±2 D.±4
4.[探究点一][2024河南月考]若直线l过点(-1,2),且与曲线9x2-y2=9有且只有一个公共点,则满足条件的直线有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
5.[探究点二][2024山东潍坊期末]过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.
6.[探究点一][2024上海校考模拟预测]记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,若直线y=2x与C无公共点,则e的取值范围为　　　　　.
7.[探究点三][2024重庆北碚高二校考阶段练习]双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,一个焦点到该渐近线的距离为2.
(1)求C的方程.
(2)是否存在直线l经过点M(1,4),且与双曲线C交于A,B两点,M为线段AB的中点 若存在,请求出l的方程;若不存在,请说明理由.
B级 关键能力提升练
8.[2024上海浦东新区校级期末]已知直线l:x=ty+2和双曲线C:y2-x2=8,若l与C的上支交于不同的两点,则t的取值范围是(　　)
A.(-) B.(-,0)
C.(0,) D.(-,-1)
9.[2024江苏亭湖校级期末]若直线l:x+my-m-2=0与曲线-y2=1有且只有一个交点,则满足条件的直线l有(　　)
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
10.[2024甘肃西固校级月考]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)与斜率为1的直线交于A,B两点,若线段AB的中点为(4,1),则C的离心率e=(　　)
A. B.
C. D.
11.(多选题)[2024河南湛河校级期末]已知双曲线C:y2-x2=-1,则(　　)
A.双曲线C是等轴双曲线
B.双曲线C的一个焦点F到一条渐近线的距离为
C.若过原点的直线l与双曲线C相交,则直线l的倾斜角的取值范围为[0,)∪(,π)
D.直线l过双曲线C的右焦点F,且直线l与双曲线的一条渐近线平行,直线l与双曲线C相交于点A,与双曲线C的另一条渐近线相交于点B,则A是线段BF的中点
12.[2024江西九江模拟]过点A(0,1)作斜率为k的直线l交双曲线x2-=1于P1,P2两点,线段P1P2的中点在直线x=上,则实数k的值为　　　　　.
13.[2024辽宁沈阳高二校联考期末]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点M(2,3),它的左焦点为F1,且F1到其渐近线的距离是.
(1)求C的方程;
(2)过点M的直线l交C的左支于一点N,且l的斜率是,求|MN|的长.
14.[2024甘肃金昌高二校考阶段练习]已知双曲线C的渐近线为y=±x,且过点M(1,).
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求实数a的值以及弦长|AB|.
C级 学科素养创新练
15.已知A(-2,0),B(2,0),过点P(0,-1)且斜率为k的直线上存在不同的两个点M,N,满足|MA|-|MB|=|NA|-|NB|=2,则k的取值范围是(　　)
A.(-)
B.(-,-)∪(-)∪()
C.()
D.(-,-)
16.[2024河南模拟]设双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,B为双曲线E上在第一象限内的点,线段F1B与双曲线E相交于另一点A,AB的中点为M,且F2M⊥AB.若∠AF1F2=30°,则双曲线E的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.
答案：
1.C　由题意知直线y=kx恒过原点,双曲线=1的渐近线为y=±x,
∵直线y=kx与双曲线=1相交,∴-2.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,则
两式相减得直线的斜率k==6.
又直线l过点P(2,1),所以直线l的方程为6x-y-11=0,经检验此时l与双曲线有两个交点.故选A.
3.B　双曲线C:=1的右焦点为F(4,0),点A(0,m),双曲线的渐近线方程为y=±x,直线AF与C只有一个交点,可得=±,解得m=±4.故选B.
4.D　当直线l的斜率不存在时,由题意得直线l的方程为x=-1,代入9x2-y2=9,
可得9-y2=9,解得y=0,故此时直线l与曲线9x2-y2=9有唯一交点.
当直线l的斜率存在时,可设其方程为y-2=k(x+1),联立
消去y可得(9-k2)x2-2k(k+2)x-(k+2)2-9=0,当9-k2=0,即k=±3时,方程为一元一次方程,必定有唯一解;
当9-k2≠0,即k≠±3时,由题意,可得该一元二次方程有唯一解,
则Δ=[-2k(k+2)]2+4(9-k2)[(k+2)2+9]=0,即4k4+16k3+16k2+(36-4k2)(k2+4k+13)=0,
即4k4+16k3+16k2-4k4-16k3-16k2+144k+468=0,即144k+468=0,解得k=-.
综上所述,满足条件的直线l有四条.故选D.
5.3　双曲线x2-=1的左焦点为F1(-2,0),
又因为直线AB的倾斜角为,所以直线AB的斜率k=,则直线AB的方程为y=(x+2).
联立直线方程与双曲线方程得8x2-4x-13=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
则|AB|==3.
6.(1,]　因为C:=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±x,
结合渐近线的特点,只需0<≤2,即≤4,可满足条件“直线y=2x与C无公共点”.
所以e=,
又因为e>1,所以17.解 (1)双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,
因为双曲线的一条渐近线方程为y=2x,所以=2.
又焦点(c,0)到直线y=2x的距离d==2,
所以c=.
又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=4,所以双曲线的方程为x2-=1.
(2)存在.假设存在直线l满足题意,则由题意知直线的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,直线l的斜率为k,则x1+x2=2,y1+y2=8,所以=1,=1,
两式相减得=0,
即=(x1+x2)(x1-x2),
即=4,所以4k=4,解得k=1,
所以直线l的方程为y-4=x-1,即x-y+3=0,
经检验直线x-y+3=0与双曲线C有两个交点,满足条件,所以直线l的方程为x-y+3=0.
8.D　设l与C的上支相交的两点的纵坐标分别为y1,y2,
联立得(1-t2)y2-4ty-12=0,则1-t2≠0,t≠±1,所以y1+y2=>0,y1y2=->0,且Δ=16t2+4×12(1-t2)>0,解得-9.C　直线l:x+my-m-2=0,即m(y-1)+x-2=0,恒过点(2,1).
又双曲线的渐近线方程为y=±x,
则点(2,1)在其中一条渐近线y=x上.
又直线与双曲线只有一个交点,则直线l过点(2,1)且平行于y=-x或过点(2,1)且与双曲线的右支相切,即满足条件的直线l有2条.故选C.
10.C　双曲线C:=1(a>0,b>0)与斜率为1的直线交于A,B两点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,则=1,=1,两式相减得=0.
因为AB的中点为(4,1),所以x1+x2=8,y1+y2=2,
所以,由题意知=1,所以=1,即,则C的离心率e=.
故选C.
11.ACD　对于A,因为双曲线C:y2-x2=-1,即x2-y2=1,所以双曲线C是焦点在x轴上的等轴双曲线,故A正确;
对于B,根据题意可得c2=12+12=2,即c=,所以点(,0)是双曲线的一个焦点,y=x是双曲线的一条渐近线,所以焦点(,0)到渐近线x-y=0的距离d==1,故B错误;
对于C,双曲线的渐近线为y=±x,倾斜角为,若过原点的直线l与双曲线C相交,则直线l的倾斜角的范围为[0,)∪(,π),故C正确;
对于D,不妨设直线l与直线y=x平行,因为直线l过双曲线的右焦点F(,0),所以直线l的方程为y=x-,联立解得所以A(,-).
联立解得所以B(,-),所以线段BF的中点坐标为(),即(,-),所以A为线段BF的中点,故D正确.故选ACD.
12.-1　易知直线l的方程为y=kx+1,联立得(2-k2)x2-2kx-3=0,显然2-k2≠0.
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2==1,解得k=-1±.
因为直线l与双曲线有两个交点,所以Δ=4k2+12(2-k2)>0,即-13.解 (1)双曲线的左焦点为F1(-c,0),渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,
则点F1到渐近线的距离为=b=.
又将点M(2,3)代入双曲线方程得=1,所以a2=1,
故双曲线的方程为x2-=1.
(2)由题意可得直线l的方程为y-3=(x-2),即y=x+2,联立
所以11x2-8x-28=0,解得x=2(舍去)或x=-,即点N的横坐标为xN=-,
所以|MN|=|xM-xN|=×=.
14.解 (1)由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线的方程为3x2-y2=λ,λ∈R.
又双曲线过点M(1,),∴λ=3-2=1.
∴双曲线的方程为3x2-y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立化为(3-a2)x2-2ax-2=0(3-a2≠0).
∵直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,
∴Δ=4a2+8(3-a2)>0,化为a2<6.
∴x1+x2=,x1x2=.(*)
∵,∴=0.
∴x1x2+y1y2=0.
又y1=ax1+1,y2=ax2+1,∴(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,把(*)代入上式得+1=0,化为a2=1.满足Δ>0且a2≠3,∴a=±1.
由弦长公式可得|AB|=.
15.C　因为|MA|-|MB|=|NA|-|NB|=2<|AB|=4,所以M,N是以A(-2,0),B(2,0)为焦点的双曲线=1(a>0,b>0)的右支上的两点,且c=2,a=,所以b==1,故双曲线的方程为-y2=1.
过点P(0,-1)且斜率为k的直线的方程为y=kx-1,
由消去y整理得(1-3k2)x2+6kx-6=0,
所以解得16.D　双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),∠AF1F2=30°,可得直线AB的方程为y=(x+c),代入双曲线方程化简可得(3b2-a2)x2-2a2cx-a2c2-3a2b2=0,易知3b2-a2≠0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,设M(xM,yM),则xM=,yM=+c),直线MF2的斜率=-,解得a2=b2.
所以双曲线的离心率为e=.故选D.
2