3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3　抛物线
3.3.1　抛物线及其标准方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024北京丰台校级期末]已知抛物线C的准线方程为y=-1,则抛物线C的标准方程为(　　)
A.y2=4x B.y2=2x
C.x2=4y D.x2=2y
2.[探究点一]抛物线y=x2的焦点到准线的距离为(　　)
A. B.
C.1 D.2
3.[探究点二][2024陕西汉滨期末]动点P(x,y)到点F(3,0)的距离比它到直线x+2=0的距离大1,则动点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
4.[探究点一][2024宁夏平罗校级期末]若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为3,则抛物线的标准方程为(　　)
A.y2=4x B.y2=6x
C.y2=8x D.y2=10x
5.[探究点三]为响应国家“节能减排,开发清洁能源”的号召,小华制作了一个太阳灶,如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)型的反光镜构成,已知镜口圆的直径为2 m,镜深0.25 m,为达到最佳吸收太阳光的效果,容器灶圈应距离集光板顶点(　　)
A.0.5 m B.1 m
C.1.5 m D.2 m
6.[探究点一][2024云南保山期末]过点(1,-4),且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是　　　　　.
7.[探究点二]已知点A(5,2),F为抛物线y2=4x的焦点,点P在抛物线上移动,则|PA|+|PF|的最小值为　　　　　.
B级 关键能力提升练
8.[2024广东广州高二统考期末]已知抛物线x=2y2上的点M到其焦点的距离为2,则点M的横坐标是(　　)
A. B.
C. D.
9.[2024河南焦作高二统考开学考试]已知A是抛物线x2=2y上的点,点B(0,3),则|AB|的最小值为(　　)
A. B.2
C. D.
10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于(　　)
A. B.
C.3 D.2
11.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P(x0,y0)为C上一动点,点A(2,1),则(　　)
A.当x0=2时,|PF|=3
B.当y0=1时,抛物线C在点P处的切线方程为2x-2y+1=0
C.|PA|+|PF|的最小值为3
D.|PA|-|PF|的最大值为
12.[2024甘肃秦安期末]过点A(-2,4),且顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为　　　　　　　　　　　　　.
13.在平面直角坐标系中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是　　　　　.
C级 学科素养创新练
14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M在AB上,且AM=AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离与到点M的距离相等,在平面直角坐标系Axy中,动点P的轨迹方程是　 .
答案：
1.C　由准线方程可知抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),且-=-1,解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=4y.故选C.
2.D　抛物线y=x2,即x2=4y,则2p=4,p=2,
所以抛物线的焦点为(0,1),准线为y=-1,
故抛物线y=x2的焦点到准线的距离为2.故选D.
3.D　∵动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,
∴点P到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离.
因此点P的轨迹是以(3,0)为焦点,直线x=-3为准线的抛物线.故选D.
4.A　P(2,y0)到准线的距离为2+=3,得p=2,
故抛物线的标准方程为y2=4x.故选A.
5.B　若使吸收太阳光的效果最好,容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处.
如图,画出抛物面对应轴截面的抛物线,并建立坐标系,
设抛物线方程为x2=2py(p>0),集光板端点A(1,0.25),代入抛物线方程可得2×0.25p=1,p=2,所以抛物线方程为x2=4y,故焦点坐标是F(0,1).
所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
6.x2=-y　由题意设方程为x2=ny(n≠0),则有12=-4n,解得n=-,
所以抛物线的标准方程为x2=-y.
7.6　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,过点P作直线x=-1的垂线,垂足为点E,由抛物线的定义,得|PF|=|PE|,|PA|+|PF|=|PA|+|PE|,当A,P,E三点共线,即AP与直线x=-1垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,且最小值为5+1=6.
8.C　设点M的横坐标为x0,抛物线的标准方程为y2=,该抛物线的准线方程为x=-,
因为抛物线x=2y2上的点M到其焦点的距离为2,则x0+=2,解得x0=.故选C.
9.A　设A(m,n),则m2=2n,则|AB|2=m2+(n-3)2=n2-4n+9=(n-2)2+5,所以当n=2时,|AB|取得最小值.故选A.
10.C　过点Q作QQ'⊥l于点Q',如图.
∵=4,
∴|PQ|∶|PF|=3∶4.
又焦点F到准线l的距离为4,
∴|QF|=|QQ'|=3.
11.ACD　因为抛物线C:y2=4x,所以准线l的方程是x=-1,p=2.
对于A,当x0=2时,由抛物线的定义可得|PF|=x0+=2+1=3,故A正确;
对于B,当y0=1时,x0=,切线斜率一定存在,令切线方程为m(y-1)=x-,与y2=4x联立,得y2-4my+4m-1=0,Δ=16m2-16m+4=0,解得m=,即切线方程为(y-1)=x-,即4x-2y+1=0,故B错误;
对于C,过点P,A分别作准线l的垂线,垂足为Q,B,如图,
由抛物线定义可知,|PF|=|PQ|,则|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AB|=3,所以|PA|+|PF|的最小值为3,故C正确;
对于D,因为焦点F(1,0),所以|PA|-|PF|≤|AF|=,当且仅当P,A,F三点共线,且点P位于第四象限时,等号成立,所以|PA|-|PF|的最大值为,故D正确.
故选ACD.
12.y2=-8x或x2=y　设抛物线的标准方程为y2=mx,代入点(-2,4)可得16=-2m,解得m=-8,则抛物线的标准方程为y2=-8x,设抛物线的标准方程为x2=ny,代入点(-2,4)可得4=4n,解得n=1,则抛物线的标准方程为x2=y.
故抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=y.
13.3　设P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,
|PB|===|x|,
即|PB|为点P到y轴的距离.抛物线的焦点为F,准线方程为x=-,
可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-.
过点A作准线的垂线,垂足为K,可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AK|=,
即|PA|+|PB|的最小值为3.
14.y2=2x+8　作PN⊥AD,图略,则PN⊥平面A1D1DA,作NH⊥A1D1,图略,N,H为垂足,
由线面垂直的判定定理可得出PH⊥A1D1.
以直线AB,AD,AA1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设P(x,y,0),
由题意可得M(1,0,0),H(0,y,3),|PM|=|PH|,
∴,即y2=2x+8,故轨迹方程为y2=2x+8.
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