3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 221.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-10 21:38:43 | ||
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文档简介
3.3.2 抛物线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
2.[探究点一]若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2,则点A到抛物线的准线的距离为( )
A. B.
C.2 D.
3.[探究点二][2024陕西咸阳高二校考期末]已知抛物线y2=8x,过点P(3,2)引抛物线的一条弦,使它恰在点P处被平分,则这条弦所在的直线l的方程为( )
A.2x-y-4=0 B.2x+y-4=0
C.2x-y+4=0 D.2x+y+4=0
4.[探究点二]已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为( )
A.18 B.24
C.36 D.48
5.[探究点一][2024四川德阳模拟]设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若P恰为线段AB的中点,则|AF|+|BF|= .
6.[探究点二][2024四川内江高二校考阶段练习]已知抛物线y2=2px(p>0),其焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若O为坐标原点,斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A,B两点,求△AOB的面积.
7.[探究点二、三][人教B版教材习题]已知直线l:y=x-3与抛物线C:x2=-8y相交于A,B两点,且O为坐标原点.
(1)求弦长|AB|以及线段AB的中点坐标;
(2)判断是否成立,并说明理由.
B级 关键能力提升练
8.已知抛物线y2=16x与直线y=kx+1有且仅有一个交点,则k=( )
A.4 B.2
C.0或4 D.8
9.[2024河北石家庄期末]已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作准线l的垂线,垂足为A.若∠FPA=,则|PF|=( )
A.1 B.
C. D.2
10.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标是( )
A.(2,±2) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,2)
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2=6x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=x
12.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为过点A,点B向l作垂线得到的垂足,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
13.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .
14.[2024湖北孝感高二校联考阶段练习]已知M是抛物线y2=6x上一点,则点M到直线3x-4y+12=0的最短距离为 .
15.[2024四川达州高二统考期末]已知抛物线E:y2=2px(p>0)上任意一点M到焦点F的距离比到y轴的距离大1.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)l1∩l2=F,l1⊥l2,l1交抛物线E于A,C两点,l2交抛物线E于B,D两点,求四边形ABCD的面积的最小值.
16.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值;
(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.
C级 学科素养创新练
17.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为 .
答案：
1.A 由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,
则P(3,±2),
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2.B 由抛物线y2=2x得,其准线方程为x=-,
∵AB垂直于x轴,|AB|=2,
∴点A到x轴的距离为,假设点A在y轴上侧,即yA=,
代入抛物线y2=2x,求得xA=1,
点A到抛物线的准线的距离d=1+.故选B.
3.A 易知直线l的斜率存在,设直线的斜率为k,直线l交抛物线于M,N两点,设M(x1,y1),N(x2,y2),易知x1≠x2,y1+y2=4,则两式相减得=8(x1-x2),整理得,所以k==2,所以直线l的方程为y-2=2(x-3),即2x-y-4=0.故选A.
4.C 不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),
依题意,l⊥x轴,且焦点F(,0),
∵当x=时,|y|=p,
∴|AB|=2p=12,
∴p=6.
又点P到直线AB的距离为=p=6,
故S△ABP=|AB|·p=×12×6=36.
5.8 过点A,B,P分别作抛物线的准线y=-3的垂线,垂足分别为C,D,Q,图略,
根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|PQ|=8.
6.解 (1)由焦点F到准线的距离为2,得p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0),则直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0,
代入抛物线方程可得x2-3x+1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,x1x2=1,
所以|AB|=·|x1-x2|==5.
又因为点O到直线l的距离d=,
所以S△OAB=|AB|d=.
7.解 (1)由得x2+8x-24=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-8,x1x2=-24,
故|AB|===8.
由上可得中点坐标为(-4,-7).
(2)不成立.理由如下:
由(1)=(x1,y1),=(x2,y2),
所以=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-3)(x2-3)=2x1x2-3(x1+x2)+9=-48+24+9=-15<0,
不满足垂直条件,故不垂直.
8.C 联立得k2x2+(2k-16)x+1=0,
当k=0时,交点为(,1),满足题意;
当k≠0时,由Δ=(2k-16)2-4k2=0,解得k=4.
综上可知,k=0或k=4.故选C.
9.D 由题意得F(,0),准线方程为x=-,过点F作FK⊥PA,垂足为K,如图,
设P(xP,yP),故|KA|=1.
∵∠FPA=,
∴|PF|=2|PK|=|PA|,即+xP=2(xP-),解得xP=,
∴|PF|=|AP|=+xP==2.故选D.
10.B 由题意知F(1,0),设A,则,
由=-4得y0=±2,
∴点A的坐标为(1,±2).
11.B 设M(x1,y1),则由|MF|=4|OF|得x1+=4×,即x1=p,则=3p2,则|y1|=p,
则S△OMF=p=4,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.
12.AC 由y2=4x,得2p=4,即p=2,
∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.
设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-4my-4=0,
∴y1+y2=4m,y1·y2=-4.
从而x1+x2=4m2+2,①
x1·x2=1.②
又|AF|=3|BF|,
∴x1+=3(x2+),即x1=3x2+2.③
将③代入①得,x2=m2.将③代入②得3+2x2-1=0,解得x2=或x2=-1(舍去).
∴m2=,∴m=±,即直线AB的斜率为±,故C正确;
C(-1,y1),D(-1,y2),∴=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,故A正确;
M(2m2+1,2m),∴=4(m2+1)2+4m2-2m·(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=,
结合图形知△CMD不是直角三角形,故B错误;
S△AOB=|OF||y1-y2|=,故D错误.故选AC.
13.2 设A(x1,y1),B(x2,y2).
∵|OA|=|OB|,
∴.
又=2px1,=2px2,
∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
又x1,x2与p同号,
∴x1+x2+2p≠0.
∴x2-x1=0,即x1=x2.
根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,
由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=x,
由解得B(6p,2p),
∴|OB|==4p.
∵△OAB的面积为48,
∴(4p)2=48,解得p2=4,
∴p=2.
14. 设M(,y0),则点M到直线3x-4y+12=0的距离d=,
当且仅当y0=4时,等号成立.
15.解 (1)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线为x=-.
∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比到y轴的距离大1,
根据抛物线的定义可知,-=-1,解得p=2,
∴抛物线E的标准方程为y2=4x.
(2)由题可知l1,l2均有斜率且斜率不为零,且过焦点F(1,0),设l1:x=ky+1,l2:x=-y+1,k≠0,
设A(x1,y1),C(x2,y2),由消去x可得y2-4ky-4=0,
∴Δ=(-4k)2-4×(-4)=16k2+16>0,y1+y2=4k,
∴x1+x2=k(y1+y2)+2=4k2+2,
∴|AC|=x1+x2+p=4k2+4=4(k2+1),同理可得|BD|=4(+1),
∴S四边形ABCD=|AC|·|BD|=8(k2+1)(+1)=8(2+k2+)≥8(2+2)=32,
当且仅当k=±1时,等号成立,
∴四边形ABCD的面积的最小值为32.
16.(1)解 依题意,设AB的方程为x=my+2,
代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)证明 设M(x3,y3),N(x4,y4),,
设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,
同理y2y4=-4,,由(1)知y1y2=-8,所以=2为定值.
17.y2=3x 由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F.
当直线PQ的斜率不存在时,易得|PQ|=2p;
当直线PQ的斜率存在时,设PQ的方程为y=k,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得k2(x2-px+)=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x2=p+,x1x2=.
所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p.
综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,
又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,
所以抛物线的方程为y2=3x.
4
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
2.[探究点一]若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2,则点A到抛物线的准线的距离为( )
A. B.
C.2 D.
3.[探究点二][2024陕西咸阳高二校考期末]已知抛物线y2=8x,过点P(3,2)引抛物线的一条弦,使它恰在点P处被平分,则这条弦所在的直线l的方程为( )
A.2x-y-4=0 B.2x+y-4=0
C.2x-y+4=0 D.2x+y+4=0
4.[探究点二]已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为( )
A.18 B.24
C.36 D.48
5.[探究点一][2024四川德阳模拟]设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若P恰为线段AB的中点,则|AF|+|BF|= .
6.[探究点二][2024四川内江高二校考阶段练习]已知抛物线y2=2px(p>0),其焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若O为坐标原点,斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A,B两点,求△AOB的面积.
7.[探究点二、三][人教B版教材习题]已知直线l:y=x-3与抛物线C:x2=-8y相交于A,B两点,且O为坐标原点.
(1)求弦长|AB|以及线段AB的中点坐标;
(2)判断是否成立,并说明理由.
B级 关键能力提升练
8.已知抛物线y2=16x与直线y=kx+1有且仅有一个交点,则k=( )
A.4 B.2
C.0或4 D.8
9.[2024河北石家庄期末]已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作准线l的垂线,垂足为A.若∠FPA=,则|PF|=( )
A.1 B.
C. D.2
10.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标是( )
A.(2,±2) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,2)
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2=6x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=x
12.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为过点A,点B向l作垂线得到的垂足,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
13.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .
14.[2024湖北孝感高二校联考阶段练习]已知M是抛物线y2=6x上一点,则点M到直线3x-4y+12=0的最短距离为 .
15.[2024四川达州高二统考期末]已知抛物线E:y2=2px(p>0)上任意一点M到焦点F的距离比到y轴的距离大1.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)l1∩l2=F,l1⊥l2,l1交抛物线E于A,C两点,l2交抛物线E于B,D两点,求四边形ABCD的面积的最小值.
16.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值;
(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.
C级 学科素养创新练
17.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为 .
答案：
1.A 由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,
则P(3,±2),
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2.B 由抛物线y2=2x得,其准线方程为x=-,
∵AB垂直于x轴,|AB|=2,
∴点A到x轴的距离为,假设点A在y轴上侧,即yA=,
代入抛物线y2=2x,求得xA=1,
点A到抛物线的准线的距离d=1+.故选B.
3.A 易知直线l的斜率存在,设直线的斜率为k,直线l交抛物线于M,N两点,设M(x1,y1),N(x2,y2),易知x1≠x2,y1+y2=4,则两式相减得=8(x1-x2),整理得,所以k==2,所以直线l的方程为y-2=2(x-3),即2x-y-4=0.故选A.
4.C 不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),
依题意,l⊥x轴,且焦点F(,0),
∵当x=时,|y|=p,
∴|AB|=2p=12,
∴p=6.
又点P到直线AB的距离为=p=6,
故S△ABP=|AB|·p=×12×6=36.
5.8 过点A,B,P分别作抛物线的准线y=-3的垂线,垂足分别为C,D,Q,图略,
根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|PQ|=8.
6.解 (1)由焦点F到准线的距离为2,得p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0),则直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0,
代入抛物线方程可得x2-3x+1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,x1x2=1,
所以|AB|=·|x1-x2|==5.
又因为点O到直线l的距离d=,
所以S△OAB=|AB|d=.
7.解 (1)由得x2+8x-24=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-8,x1x2=-24,
故|AB|===8.
由上可得中点坐标为(-4,-7).
(2)不成立.理由如下:
由(1)=(x1,y1),=(x2,y2),
所以=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-3)(x2-3)=2x1x2-3(x1+x2)+9=-48+24+9=-15<0,
不满足垂直条件,故不垂直.
8.C 联立得k2x2+(2k-16)x+1=0,
当k=0时,交点为(,1),满足题意;
当k≠0时,由Δ=(2k-16)2-4k2=0,解得k=4.
综上可知,k=0或k=4.故选C.
9.D 由题意得F(,0),准线方程为x=-,过点F作FK⊥PA,垂足为K,如图,
设P(xP,yP),故|KA|=1.
∵∠FPA=,
∴|PF|=2|PK|=|PA|,即+xP=2(xP-),解得xP=,
∴|PF|=|AP|=+xP==2.故选D.
10.B 由题意知F(1,0),设A,则,
由=-4得y0=±2,
∴点A的坐标为(1,±2).
11.B 设M(x1,y1),则由|MF|=4|OF|得x1+=4×,即x1=p,则=3p2,则|y1|=p,
则S△OMF=p=4,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.
12.AC 由y2=4x,得2p=4,即p=2,
∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.
设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-4my-4=0,
∴y1+y2=4m,y1·y2=-4.
从而x1+x2=4m2+2,①
x1·x2=1.②
又|AF|=3|BF|,
∴x1+=3(x2+),即x1=3x2+2.③
将③代入①得,x2=m2.将③代入②得3+2x2-1=0,解得x2=或x2=-1(舍去).
∴m2=,∴m=±,即直线AB的斜率为±,故C正确;
C(-1,y1),D(-1,y2),∴=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,故A正确;
M(2m2+1,2m),∴=4(m2+1)2+4m2-2m·(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=,
结合图形知△CMD不是直角三角形,故B错误;
S△AOB=|OF||y1-y2|=,故D错误.故选AC.
13.2 设A(x1,y1),B(x2,y2).
∵|OA|=|OB|,
∴.
又=2px1,=2px2,
∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
又x1,x2与p同号,
∴x1+x2+2p≠0.
∴x2-x1=0,即x1=x2.
根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,
由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=x,
由解得B(6p,2p),
∴|OB|==4p.
∵△OAB的面积为48,
∴(4p)2=48,解得p2=4,
∴p=2.
14. 设M(,y0),则点M到直线3x-4y+12=0的距离d=,
当且仅当y0=4时,等号成立.
15.解 (1)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线为x=-.
∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比到y轴的距离大1,
根据抛物线的定义可知,-=-1,解得p=2,
∴抛物线E的标准方程为y2=4x.
(2)由题可知l1,l2均有斜率且斜率不为零,且过焦点F(1,0),设l1:x=ky+1,l2:x=-y+1,k≠0,
设A(x1,y1),C(x2,y2),由消去x可得y2-4ky-4=0,
∴Δ=(-4k)2-4×(-4)=16k2+16>0,y1+y2=4k,
∴x1+x2=k(y1+y2)+2=4k2+2,
∴|AC|=x1+x2+p=4k2+4=4(k2+1),同理可得|BD|=4(+1),
∴S四边形ABCD=|AC|·|BD|=8(k2+1)(+1)=8(2+k2+)≥8(2+2)=32,
当且仅当k=±1时,等号成立,
∴四边形ABCD的面积的最小值为32.
16.(1)解 依题意,设AB的方程为x=my+2,
代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)证明 设M(x3,y3),N(x4,y4),,
设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,
同理y2y4=-4,,由(1)知y1y2=-8,所以=2为定值.
17.y2=3x 由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F.
当直线PQ的斜率不存在时,易得|PQ|=2p;
当直线PQ的斜率存在时,设PQ的方程为y=k,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得k2(x2-px+)=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x2=p+,x1x2=.
所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p.
综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,
又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,
所以抛物线的方程为y2=3x.
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