第2章 直线和圆的方程 测评 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024重庆沙坪坝高一]直线x-y+1=0的倾斜角是(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.圆心为(5,12)且过(0,0)的圆的方程是(　　)
A.x2+y2=13
B.x2+y2=169
C.(x-5)2+(y-12)2=169
D.(x+5)2+(y+12)2=169
3.已知圆E:x2-ax+y2-2y-2=0关于直线l:x-y=0对称,则a=(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
4.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A.2 B.3
C.3 D.4
5.[2024浙江嘉兴高二统考期末]已知圆C1:(x-1)2+(y+2)2=r2(r>0)与圆C2:(x-4)2+(y-2)2=16有公共点,则r的取值范围为(　　)
A.(0,1] B.[1,5]
C.[1,9] D.[5,9]
6.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A.x2-=1(x≤-1) B.-y2=1
C.x2+=1 D.=1
7.两圆x2+y2=1与x2+y2-2x-2y+a+b=4有且只有一条公切线,那么的最小值为(　　)
A.1 B.3+2
C.5 D.4
8.已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=3(a,b∈R)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则下列结论错误的是(　　)
A.是定值 B.四边形OAMB的面积是定值
C.a+b的最小值为- D.a·b的最大值为2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024广西南宁高二统考开学考试]下列说法错误的是(　　)
A.直线2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0必过定点(1,3)
B.过点A(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=-5
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.已知直线kx-y-k-1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交,则实数k的取值范围为
10.已知实数x,y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是(　　)
A.x2+y2的最大值为2+ B.(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+12
C.x+y的最大值为3+2 D.4x-3y的最大值为8
11.已知圆C:(x-2)2+y2=1,点P是直线l:x+y=0上一动点,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别是A和B,下列说法正确的为(　　)
A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B.切线长PA的最小值为1
C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点(,-)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024上海浦东新区校级期末]若直线l经过点A(1,3),且与圆C:x2+y2=10相切,则直线l的方程是　　　　　.
13.[2024青海海东模拟]写出一个被直线x-y=0平分且与直线x+y=0相切的圆的方程:　　　　　　　　　　　.
14.[2024天津武清校级模拟]已知点A(1,0),B(2,0),经过点B作圆(x-3)2+(y-2)2=5的切线与y轴交于点P,则|AP|=　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024江苏扬州高二统考开学考试]已知直线l:3x+4y+5=0,求:
(1)过点A(1,1)且与直线l平行的直线的方程;
(2)过点A(1,1)且与直线l垂直的直线的方程.
16.(15分)[2024重庆沙坪坝重庆一中期末]在平面直角坐标系中,圆C过点A(4,0),B(2,2),且圆心C在x+y-2=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)若已知点P(4,2),过点P作圆C的切线,求切线的方程.
17.(15分)[2024广东云浮高二校考期末]已知圆A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,圆B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0.
(1)判断圆A与圆B是否相交,若相交,求过两交点的直线方程及两交点间的距离;若不相交,请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
18.(17分)[2024上海静安期末]如图是一座圆拱桥示意图,该圆弧中AB长度为500 m,圆拱的最高点H离水面AB的高度为100 m,桥面CD离水面AB的高度为50 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求圆拱所在圆的方程;
(2)求桥面在圆拱内CD的长度.(≈2.45,最终结果精确到0.1 m)
19.(17分)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足=2,记T点的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程.
(2)过点A(0,3)且斜率为k的直线l与曲线Γ交于M,N两点,试探究:
①设O为坐标原点,是否存在满足=26的直线l 若存在,求出|MN|;若不存在,说明理由.
②求线段MN的中点D的轨迹方程.
答案：
1.A　因为x-y+1=0的斜率k=,所以其倾斜角为30°.故选A.
2.C　由题意,设圆的方程为(x-5)2+(y-12)2=r2,
∵过点(0,0),
∴r2=169.
∴所求圆的方程为(x-5)2+(y-12)2=169.
故选C.
3.C　由于圆E:x2-ax+y2-2y-2=0关于直线l:x-y=0对称,
故圆心(,1)在直线l:x-y=0上,
∴-1=0,a=2.
4.C　由题意,知点M的轨迹为平行于直线l1,l2,且到l1,l2距离相等的直线l,
故其方程为x+y-6=0,
所以点M到原点的距离的最小值为d==3.
5.C　由题知,圆C1的圆心为C1(1,-2),半径r1=r,圆C2的圆心为C2(4,2),
半径r2=4,|C1C2|==5.
因为圆C1和C2有公共点,
所以|r-4|≤|C1C2|≤r+4,
解得1≤r≤9.
故选C.
6.A　设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,
则由题意可得|MC1|=r+1,|MC2|=r+3,相减可得|MC2|-|MC1|=2<|C1C2|,
故点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支.
由题意可得2a=2,c=3,
∴b==2,
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
故选A.
7.B　根据题意,圆x2+y2=1,其圆心为(0,0),半径r=1,
圆x2+y2-2x-2y+a+b=4,即(x-)2+(y-)2=4,其圆心为(),半径为2,若两圆有且只有一条公切线,则两圆内切,则有=2-1=1,变形可得a+b=1,
则=()(a+b)=3+,
又a>0,b>0,则≥2=2,当且仅当b=a时,等号成立,故≥3+2,
即的最小值为3+2.
8.C　圆M的圆心M(a,b),半径r=,
则△MAB为边长为的等边三角形.
对于A,∵=||·||·cos 60°=,∴A正确;
对于B,∵|OA|=|OB|=1,|AB|=,易得△OAB的边AB上的高h=,
∴S△ABO=,
∵S△MAB=×()2=,
∴S四边形OAMB=,∴B正确;
对于C,由B知S四边形OAMB=×|OM|×|AB|,
∴|OM|==2,即=2,
∴a2+b2=4,
∵2(a2+b2)≥(a+b)2,
∴(a+b)2≤8,
∴-2≤a+b≤2,当且仅当a=b时,等号成立,∴a+b的最小值为-2,∴C错误;
对于D,由C得,∵a2+b2=4≥2ab,∴ab≤2,
当且仅当a=b时,等号成立,∴ab的最大值为2,
∴D正确.故选C.
9.BCD　直线方程变形为(2x+y-5)m+2x-3y+7=0,令解得即直线必过定点(1,3),故A正确;
当直线l过原点时,满足在两坐标轴上的截距相等,此时直线l的方程为3x-2y=0,故B不正确;
当θ=时,tan θ无意义,故C不正确;
由题可得,直线kx-y-k-1=0经过定点(1,-1).当直线经过点M时,斜率为k==-;当直线经过点N时,斜率为k=.由于线段MN与y轴相交,故实数k的取值范围为,故D不正确.
故选BCD.
10.BCD　由x2+y2-2x-4y+1=0,知(x-1)2+(y-2)2=4,
表示圆心为M(1,2),半径为r=2的圆.
对于A,x2+y2的几何意义为圆上的点与原点距离的平方,其最大值为(|OM|+r)2=(2+)2,故A错误;
对于B,(x+2)2+(y+1)2的几何意义为圆上的点与点(-2,-1)距离的平方,其最大值为(2+3)2=22+12,故B正确;
对于C,设x+y=k,则直线x+y-k=0与圆有公共点,所以≤2,解得3-2≤k≤3+2,
所以x+y的最大值为3+2,故C正确;
对于D,设4x-3y=t,则直线4x-3y-t=0与圆有公共点,
所以≤2,
解得-12≤t≤8.
所以4x-3y的最大值为8,故D正确.
故选BCD.
11.BD　对于A,∵圆C:(x-2)2+y2=1,
∴圆心C(2,0),半径r=1,∴圆心C到直线l:x+y=0的距离为,而-1<+1,故A错误;
对于B,由圆的性质,切线长|PA|=,当|PC|最小时,|PA|有最小值,
又|PC|min=,则|PA|min=1,故B正确;
对于C,四边形ACBP的面积为|PA||CA|=|PA|,故四边形ACBP的面积最小值为1,故C错误;
对于D,设P(t,-t),
由题意知A,B在以PC为直径的圆上,
又C(2,0),
∴以PC为直径的圆的方程为(x-t)(x-2)+(y+t)(y-0)=0,
即x2+y2-(t+2)x+ty+2t=0,
又圆C:(x-2)2+y2=1,即x2+y2-4x+3=0,故直线AB的方程为(2-t)x+ty-3+2t=0,
即2x-3-t(x-y-2)=0,
由解得
即直线AB恒过定点(,-),故D正确.
故选BD.
12.x+3y-10=0　由题可得点A(1,3)在圆C:x2+y2=10上,
则kAC==3.
∵直线AC与切线垂直,
∴切线的斜率为-,则切线方程为y-3=-(x-1),即x+3y-10=0.
13.(x-1)2+(y-1)2=2　由题意可知,圆心过直线x-y=0.
不妨设圆心坐标为(1,1),圆的半径为r,圆心(1,1)到直线x+y=0的距离d==r,
即符合题意的一个圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
14.　如图所示,设圆心为C,则C(3,2).
又(2-3)2+(0-2)2=5,
则点B在圆上,且kBC==2.
由直线PB与圆相切可得,kPB·kBC=-1,
则kPB=-,故tan∠OPB=2.
∵|OB|=2,则|OP|=1,故P(0,1),
则|AP|=.
15.解 (1)因为直线l:3x+4y+5=0的斜率为-,
所以与直线l平行的直线的斜率为-.
又所求直线过A(1,1),
所以所求直线方程为y-1=-(x-1),
即3x+4y-7=0.
(2)因为直线l:3x+4y+5=0的斜率为-,
所以与直线l垂直的直线的斜率为.
又所求直线过A(1,1),
所以所求直线方程为y-1=(x-1),即4x-3y-1=0.
16.解 (1)因为圆C过A(4,0),B(2,2),则线段AB的中垂线过圆心C.
设AB的中点为M,则M(3,1).
因为kAB==-1,
所以线段AB的中垂线的斜率为1,且方程为y-1=x-3,整理得y=x-2.
因为圆心在直线x+y-2=0上,
联立解得
因此圆心C(2,0),半径r=2,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
(2)因为(4-2)2+(2)2>4,所以P(4,2)在圆C外.
过点P(4,2)作圆C的切线,
当切线斜率不存在时,则切线方程为x=4,满足与圆C相切;
当切线斜率存在时,设切线方程为y-2=k(x-4),即kx-y-4k+2=0,
则=2,解得k=,
所以切线方程为x-y-4×+2=0,即x-y+2=0.
综上,切线方程为x=4或x-y+2=0.
17.解 (1)由题可得圆A:(x-1)2+(y-1)2=9的圆心为A(1,1),
圆B:(x+1)2+(y+1)2=4的圆心为B(-1,-1),
则圆心距|AB|==2.
∵3-2<|AB|<3+2,∴两圆相交,
将两圆方程左、右两边分别对应相减得4x+4y+5=0,
此方程即为过两圆交点的直线方程.
设两交点分别为C,D,则直线AB垂直平分线段CD,
∵点A到直线CD的距离d=,
∴|CD|=2.
(2)设公切线l切圆A,圆B的切点分别为E,F,则四边形AEFB是直角梯形.
∴|EF|2=|AB|2-(rA-rB)2=7,
∴|EF|=.
18.解 (1)以线段AB所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
则B(250,0),H(0,100),D(a,50),0则圆心在y轴上,设圆心为E(0,h),
设圆的方程为x2+(y-h)2=r2,
把点B、点H的坐标代入,得
解得
故要求的圆的方程为x2+=2502+.
(2)把点D的坐标代入圆的方程,得a2+=2502+,
得a==75≈75×2.45=183.75 m,
故CD的长度为2a=367.5 m.
19.解 (1)设r(x0,y0),则(x0-1)2+(y0-3)2=9,
设T(x,y),
因为=2,所以
则(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9,
即曲线Γ的方程为(x-3)2+(y-3)2=1.
(2)易知直线l的方程为y=kx+3,设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立可得(1+k2)x2-6x+8=0,则Δ=36-32(1+k2)>0,解得k2<,且有x1+x2=,x1x2=,
所以y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=.
①不存在.理由如下,
=x1x2+y1y2==26,解得k=1,与k2<不符,
故不存在这样的直线l,使得=26.
②MN的中点坐标为(),
则+3,
即点D的坐标为(+3).
又因为=k,
所以xD=,
整理可得(xD-)2+(yD-3)2=,即点D的轨迹方程为(x-)2+(y-3)2=.
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