第3章 圆锥曲线的方程 测评 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则实数a的值为(　　)
A.8 B.-4
C.-8 D.-16
2.若双曲线=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则a=(　　)
A. B.
C. D.
3.已知点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹为(　　)
A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.不存在
4.[2024四川仁寿校级月考]O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为抛物线C上一点,若|MF|=6,则△MOF的面积为(　　)
A.4 B.2
C.4 D.8
5.[2023新高考Ⅰ,5]设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　)
A. B.
C. D.
6.[2024陕西武功校级模拟]已知过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作x轴的垂线与两条渐近线交于A,B,△OAB的面积为,则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.2 D.
7.在实际生活中,常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下:如图2,用一个与圆柱底面所成角为45°的平面截圆柱,将圆柱截成两段,再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆,若将圆柱被截开的一段(如图3)的侧面沿着圆柱的一条母线剪开,并展开成平面图形,则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象(如图4).记该正弦型函数的最小正周期为T,截口椭圆的离心率为e.若圆柱的底面直径为2,则(　　)
A.T=2π,e= B.T=2π,e=
C.T=4π,e= D.T=4π,e=
8.[2023全国甲,理12]设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024安徽金安校级期末]已知方程=1表示曲线C,则下列四个结论中正确的是(　　)
A.当1B.当t>4或t<1时,曲线C是双曲线
C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t>4
10.[2024湖南月考]已知点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C位于第一象限内一点,若=0,||=2||,则下列结论正确的是(　　)
A.△PF1F2的面积为a2
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0
D.若双曲线C的焦距为2,则双曲线C的方程为x2-=1
11.[2024云南昆明期末]已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,A为抛物线E上一点,则下列结论正确的是(　　)
A.若直线AF与x轴垂直,则|AF|=2
B.若点A的横坐标为2,则|AF|=3
C.以|AF|为直径的圆与y轴相切
D.|AF|的最小值为2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024北京]已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为,则C的方程为　 .
13.设椭圆=1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s,则当s取得最大值时,点P的坐标是　　　　　　　　.
14.如图所示,已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,点A在抛物线C上,且在x轴的上方,过点A作AB⊥l于点B,|AK|=|AF|,则△AFK的面积为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)求满足下列条件的曲线的标准方程:
(1)两焦点分别为F1(-,0),F2(,0),且经过点P(1,)的椭圆;
(2)与双曲线=1有相同渐近线,且焦距为2的双曲线.
16.(15分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为8,离心率e=.
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线l与双曲线C相交于P,Q两点,弦PQ的中点为A(8,3),求直线l的方程.
17.(15分)[2024辽宁沈阳高二校联考期末]已知双曲线C:=1(a,b>0)经过点M(2,3),双曲线的左焦点为F1,且F1到其渐近线的距离是.
(1)求C的方程;
(2)过点M的直线l交C左支于一点N,且直线l的斜率是,求|MN|的长.
18.(17分)[北师大版教材习题]已知直线l:x-my-1=0与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,以弦AB为直径的圆恰好过原点O,求此时直线l的方程.
19.(17分)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,=0,求△MNF面积的最小值.
答案：
1.D　因为抛物线x2=ay(a≠0)的焦点F在直线y=2x-4上,所以=-4,即a=-16.
2.A　双曲线=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,即2x±ay=0.
因为双曲线=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,所以=1,解得a=.
3.C　 ∵a+≥2×3=6=|F1F2|(a>0),当且仅当a=3时,等号成立,
∴当a+=6时,点P的轨迹为线段;
当a+>6时,由椭圆的定义得,点P的轨迹为椭圆.
故选C.
4.C　由抛物线的方程可得F(2,0),设点M(x0,y0),
由抛物线的性质可得|MF|=x0+2=6,得x0=4,
则|y0|=4,
所以△MOF的面积S=|OF||y0|=×2×4=4.故选C.
5.A　由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=,
∴e1=.
在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=,
∴e2=.
∵e2=e1,
∴,
解得a=.故选A.
6.A　联立可得y=,
∴△OAB的面积为×c×2,
∴,则,
即,
∴e2=.
又e>1,∴e=.故选A.
7.B　由圆柱的底面直径为2,
得圆柱的底面周长为2π,
则该正弦型函数的最小正周期T=2π.
由已知可得截口椭圆的短轴长2b=2,
截口椭圆的长轴长2a==2,
即a=,b=1,
则c==1,
即截口椭圆的离心率e=.故选B.
8.B　由题意,不妨设F1,F2分别为左、右两焦点.
在椭圆C:=1中,a==3,b=,c=,
∴|PF1|+|PF2|=2a=6(椭圆的定义),
即|PF2|=6-|PF1|.
在△PF1F2中,|F1F2|=2c=2,cos∠F1PF2=,
由余弦定理得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,
解得|PF1|=3+,
∴|PF2|=6-|PF1|=3-.
∵),
∴||=|=
=.
∴|PO|=.故选B.
9.BCD　当曲线C:=1是椭圆时,
则
解得1当曲线C:=1是双曲线时,
则(4-t)(t-1)<0,
解得t<1或t>4,故B正确;
若曲线C:=1是焦点在x轴上的椭圆,
则
解得1若曲线C:=1是焦点在y轴上的双曲线,
则
解得t>4,故D正确.故选BCD.
10.BD　对于A,由定义可得|PF1|-|PF2|=2a.
∵|PF1|=2|PF2|,
∴|PF1|=4a,|PF2|=2a.
已知∠F1PF2=90°,可得△PF1F2的面积为
|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2,故A错误;
对于B,由勾股定理得(2a)2+(4a)2=(2c)2,
即5a2=c2,
∴e=,故B正确;
对于C,∵b2=c2-a2=4a2,
∴=4,即=2,
∴双曲线的渐近线方程为2x±y=0,故C错误;
对于D,由双曲线C的焦距为2,得c=,则a2=1,b2=4,∴双曲线C的方程为x2-=1,故D正确.故选BD.
11.ABC　对于A,若直线AF与x轴垂直,且F(1,0),所以A(1,±2),所以|AF|=2,故A正确;
对于B,若点A的横坐标为2,由|AF|=2+1=3,故B正确;
对于C,如图,C为线段AF中点,由点A向准线作垂线,分别交y轴和准线于点A2,A1,由点C向准线作垂线,分别交y轴和准线于点C2,C1,设以|AF|为直径的圆半径为r,
则2r=|AF|=|AA1|=|AA2|+1.
又由梯形中位线得,|CC2|=(|AA2|+1)=r,
所以以|AF|为直径的圆与y轴相切,故C正确;
对于D,设点A(,y),则|AF|=(y2+4),
当y=0时,|AF|的最小值为1,故D错误.故选ABC.
12.=1　根据题意可设所求方程为=1,a>0,b>0,
则
解得
故所求方程为=1.
13.(0,3)或(0,-3)　设椭圆=1的焦点为F1,F2,
由椭圆定义,可得|PF1|+|PF2|=2a=10,
则s=|PF1|·|PF2|≤=a2=25,
当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,
即点P(0,3)或(0,-3)时,s取得最大值25.
14.8　由题意知抛物线的焦点为F(2,0),
准线l的方程为x=-2,
∴点K(-2,0).
设点A(x0,y0)(y0>0),
∵过点A作AB⊥l于点B,
∴点B(-2,y0),
∴|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,|BK|2=|AK|2-|AB|2,∴x0=2,
∴y0=4,即点A(2,4),
∴△AFK的面积为|KF|·|y0|=×4×4=8.
15.解 (1)设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),
∵两焦点分别为F1(-,0),F2(,0),
∴c=.
又椭圆过点P(1,),
∴=1.
又a2=b2+2,
∴a2=3,b2=1,
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)设与双曲线=1有相同渐近线的双曲线方程为=λ(λ≠0),
∵焦距为2,
∴c=,
∴|4λ|+|6λ|=5,
∴λ=±,
∴双曲线的标准方程为=1或=1.
16.解 (1)∵实轴长为8,离心率e=,
∴2a=8,e=.
又a2+b2=c2,
∴a=4,c=5,b=3,
故双曲线C的方程为=1.
(2)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
∵线段PQ的中点为A(8,3),
∴x1+x2=16,y1+y2=6.
∵=1,=1,
∴=0,
整理得,即直线l的斜率为,
∴直线l的方程为y-3=(x-8),
即3x-2y-18=0.
17.解 (1)双曲线的左焦点为F1(-c,0),渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,
则F1到渐近线的距离为=b=.
将M(2,3)代入双曲线方程,得=1,
所以a2=1,
故双曲线方程为x2-=1.
(2)由题意可得,直线l的方程为y-3=(x-2),
即y=x+2,
联立
整理得11x2-8x-28=0,
解得x=2或x=-.
因为直线交双曲线C左支于一点,
所以N点横坐标为xN=-,所以|MN|=|xM-xN|=.
18.解 由
得(m2+4)y2+2my-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=,①
y1y2=.②
因为以弦AB为直径的圆经过原点O,
则OA⊥OB,
所以=0,
即(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=0.
因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l上,
即x1=my1+1,x2=my2+1,
所以(my1+1)(my2+1)+y1y2=0,
即m2y1y2+m(y1+y2)+y1y2+1=0.
将①②代入,得+1=0.
解得m=±.
所以直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0.
19.解 (1)联立
整理得y2-4py+2p=0,
则Δ=16p2-8p>0,
又p>0,∴p>.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4p,y1y2=2p.
|AB|=|y1-y2|==4,
解得p=-(舍)或p=2.
∴p=2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).
设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
由得y2-4my-4n=0,
则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n.
=(x3-1)(x4-1)+y3y4
=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4
=(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2
=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0,
∴4m2=n2-6n+1≥0,
又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,
∴n≠1,
∴n≥3+2,或n≤3-2.
∴S△MNF=|FM|·|FN|=(x3+1)(x4+1)
=(my3+n+1)(my4+n+1)
=[m2(-4n)+(mn+m)·4m+(n+1)2]=n2-2n+1=(n-1)2,
∴当n=3-2时,S△MNF=12-8为最小值.
∴△MNF面积的最小值为12-8.
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