第二章 直线和圆的方程 综合训练 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列直线在y轴上的截距为2的是(　　)
A.y=-2(x-2) B.=1
C.y=-3x-2 D.y=-(x-2)
2.[2024江苏高邮开学考试]直线l1:mx-3y-1=0,l2:(3m-2)x-my+2=0,若l1⊥l2,则实数m的值为(　　)
A.0 B.3
C.0或- D.0或3
3.[2024广东白云校级期末]圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是(　　)
A.外离 B.外切
C.相交 D.内切
4.已知点M(1,)在圆C:x2+y2=m上,过点M作圆C的切线l,则l的倾斜角为(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
5.“圆”是中国文化的一个重要元素,在中式建筑中有着广泛的运用,最具代表性的便是园林中的洞门.如图,某园林中的圆弧形洞门高为2.5 m,地面宽为1 m,则该洞门的半径为(　　)
A.1.1 m B.1.2 m
C.1.3 m D.1.5 m
6.已知直线l1:xcos2α+y+2=0,若l1⊥l2,则l2倾斜角的取值范围是(　　)
A.[) B.[0,]
C.[] D.[]
7.若直线ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则的最小值为(　　)
A.4 B.6
C.8 D.10
8.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为(　　)
A.+1 B.+2
C.2+1 D.2+2
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),则(　　)
A.直线x-y=0与线段AB有公共点
B.直线AB的倾斜角大于135°
C.△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为y=2
D.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0
10.[2024甘肃华池校级期末]点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则下列说法正确的有(　　)
A.|PQ|的最小值为2
B.|PQ|的最大值为7
C.两个圆心所在的直线斜率为-
D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0
11.[2024湖南高三期中]已知直线l:(m+1)x+2y+2m-2=0与圆C:x2+y2-2y-8=0,则下列说法正确的有(　　)
A.直线l与圆C一定相交
B.直线l过定点(-2,2)
C.圆心C到直线l的距离的最大值是2
D.使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有2条
12.已知点P为圆C:(x-2)2+(y-3)2=1(C为圆心)上的动点,点Q为直线l:kx-y-3k+5=0上的动点,则下列说法正确的是(　　)
A.若直线l:kx-y-3k+5=0平分圆C的周长,则k=2
B.点C到直线l的最大距离为5
C.若圆C上至少有三个点到直线l的距离为,则D.若k=-1,过点Q作圆C的两条切线,切点为A,B,当|QC|·|AB|最小时,点Q的坐标为
三、填空题
13.[2024重庆沙坪坝校考期末]若两条平行直线l1:3x-4y-4=0与l2:3x-4y+C=0间的距离为2,则C=　　　　　.
14.过点(1,2)可作圆x2+y2+2x-4y+k-2=0的两条切线,则实数k的取值范围是　　　　　.
15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为　 .
16.[2024湖北高三统考阶段练习]过直线x+2y-4=0上一点P作圆x2+y2=1的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则|AB|的最小值为　　　　　.
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.求满足下列条件的直线的方程:
(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;
(2)直线过(0,1)点且与直线3x+y+1=0垂直.
18.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.
(1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标.
19.已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.
(1)求直线AB的一般式方程;
(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.
20.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.
(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若直线l与圆C2的相交弦长为2且过点(2,1),求直线l的方程.
21.[2024重庆长寿高二统考期末]已知圆O经过点A(0,1),B(1,4),且　　　　　.从下列三个条件中选取一个,补充在上面的横线处,并解答.
①过直线x-5y-5=0与直线x-2y-8=0的交点C;
②圆O恒被直线l:(m+1)x+(m-3)y-6m-2=0(m∈R)平分;
③与y轴相切.
(1)求圆O的方程;
(2)求过点P(10,11)的圆O的切线方程.
22.[2024安徽芜湖高二月考]已知点A(0,0),B(2,0),曲线C上任意一点P满足|PB|=|PA|.
(1)求曲线C的方程.
(2)设直线x-y+m=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数m,使得以AB为直径的圆过原点 若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
答案：
1.D　分别令x=0,选项A中得y=4,选项B中得y=-2,选项C中得y=-2,只有选项D中,y=2,故选D.
2.C　因为l1:mx-3y-1=0,l2:(3m-2)x-my+2=0,l1⊥l2,所以m(3m-2)+(-3)×(-m)=0,
即3m2+m=0,解得m=0或m=-.故选C.
3.B　根据题意,圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0,即(x+2)2+(y-2)2=1,其圆心为C1(-2,2),半径R=1,圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16,其圆心为C2(2,5),半径r=4,两圆的圆心距|C1C2|==5,有|C1C2|=R+r,则两圆外切.故选B.
4.D　圆C:x2+y2=m,则圆C的圆心为C(0,0),直线CM的斜率kCM=.
过点M作圆C的切线l,则切线l的斜率kl=-=-,故l的倾斜角为150°.故选D.
5.C　设圆的半径为r,
由题意可知,DF= m,EF=2.5 m,
在Rt△OFD中,OF=,r+OF=2.5,
所以+r=2.5,解得r=1.3.
故选C.
6.C　因为l1:xcos2α+y+2=0的斜率k1=-∈[-,0],当cos α=0,即k1=0时,k2不存在,此时l2倾斜角为,由l1⊥l2,k1≠0时,可知直线l2的斜率k2=-,此时倾斜角的取值范围为[),综上可得l2倾斜角的取值范围为[].故选C.
7.A　由题意圆心坐标为(-2,-1),半径r=1,所以圆心到直线的距离为d=,
所以2=2,整理可得2a+b=2,a>0,b>0,
所以=··(2a+b)=(2+2+)≥(4+2)=4,当且仅当b=2a且2a+b=2,即b=1,a=时,等号成立,所以最小值为4.故选A.
8.A　(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,
联立解得
所以直线l过定点Q(0,2).
因为OP⊥l,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1,
因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=,
所以P到直线x-y+3=0的距离的最大值为+1.故选A.
9.BD　由于点A(1,2),B(-3,4)均在直线x-y=0的同侧,则直线x-y=0与线段AB没有公共点,故A错误;
由于直线AB的斜率k==->-1,故直线AB的倾斜角大于135°,故B正确;
由于直线BC的斜率为=-4,则边BC上的中垂线的斜率为,BC的中点为(-,2),
故中垂线所在直线的方程为y-2=(x+),故C错误;
由于边BC上的高线的斜率为,则其所在直线的方程为y-2=(x-1),即x-4y+7=0,故D正确.
10.BC　由已知圆C1的圆心为C1(0,0),半径为r=1,圆C2的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=1,故圆心为C2(3,-4),半径为R=1,
∴圆心距|C1C2|==5.
又点P在圆C1上,点Q在圆C2上,
∴|PQ|的最小值|PQ|min=|C1C2|-R-r=3,最大值|PQ|max=|C1C2|+R+r=7,故A错误,B正确;
两圆的圆心所在的直线斜率为=-,故C正确;
∵|C1C2|>R+r,
∴两圆外离,无相交弦,故D错误.
故选BC.
11.AB　(m+1)x+2y+2m-2=0可化为(x+2)m+x+2y-2=0,x2+y2-2y-8=0可化为x2+(y-1)2=9,所以圆心C的坐标为(0,1),半径为3.
对于B,令解得则直线l过定点A(-2,2),故B正确;
对于A,(-2)2+(2-1)2=5<9,则点A在圆C内,从而直线l与圆C一定相交,故A正确;
对于C,设圆心C到直线l的距离为d,则d≤|AC|=,故C错误;
对于D,因为圆心C到直线l的距离为2,所以=2,解得m=-,
所以使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有且仅有1条,故D错误.
故选AB.
12.AD　由圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,知圆心C(2,3),半径r=1,
对于A,直线l:kx-y-3k+5=0平分圆C的周长,则直线过圆心C,
∴2k-3-3k+5=0,解得k=2,故A正确;
对于B,∵直线l:kx-y-3k+5=0恒过定点F(3,5),
∴点C到直线l的最大距离为|FC|=,故B错误;
对于C,若圆C上至少有三个点到直线l的距离为,则圆心到直线的距离d≤,
∴,解得≤k≤,故C错误;
对于D,∵四边形QACB的面积S=2S△QAC=|QA|·|AC|=|QA|=,
∴要使|QC|·|AB|最小,则需|QC|最小,此时QC与直线l垂直,
则kCQ=1,直线CQ的方程为y=x+1,联立求得Q,故D正确.
故选AD.
13.6或-14　由题意可得=2,解得C=6或C=-14.
14.(3,7)　把圆的方程化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=7-k,
∴圆心坐标为(-1,2),半径r=,
则点(1,2)到圆心的距离d=2.
由题意,可知点(1,2)在圆外,
∴d>r,即<2,且7-k>0,
解得315.4　直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,
由得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).
∵C,D分别为OA,OB的中点,
∴|CD|=|OB|=,当OP⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2×=2,
∴|AB|·|CD|=|AB|≥×2=4.
16.　设P(m,n),则有m+2n-4=0. ①
又圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),直线PA,PB是圆的两条切线,A,B为切点,则PA⊥OA,PB⊥OB,
所以点A,B均在以PO为直径的圆上,
则该圆的方程为,
化简得x(x-m)+y(y-n)=0.
直线AB即为两圆的公共弦,所以对于x2+y2=1和x(x-m)+y(y-n)=0,
两式相减可得直线AB的方程,为xm+yn=1,
由①可得,x(4-2n)+ny=1,整理得n(y-2x)+4x-1=0,
由
故直线AB过定点Q.因为|OQ|=<1,
说明点Q在圆x2+y2=1内,当AB⊥OQ时,|AB|取最小值,为2×.
17.解 (1)设所求直线的方程为x+y+m=0,
∵点(-1,2)在直线上,∴-1+2+m=0,∴m=-1,
故所求直线的方程为x+y-1=0.
(2)设所求直线的方程为x-3y+m=0,
∵点(0,1)在直线x-3y+m=0上,
∴0-3+m=0,解得m=3.
故所求直线的方程为x-3y+3=0.
18.解 (1)直线AC的斜率为kAC==-,所以直线l的斜率为k1=2,直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.
(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点.
由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为=1,
即x-2y-10=0,联立解得
所以点P的坐标为(,-).
19.解 (1)∵直线l:y-1=a(x-3),
∴直线l恒过定点P(3,1).
由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).
由圆的性质可知AB⊥PC,
∵直线PC的斜率kPC=,
∴直线AB的斜率kAB=-2,
∴直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.
(2)由题意知|PC|=.
∵PA⊥AC,PB⊥BC,
∴四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为(2,),
∴四边形PACB的外接圆为(x-2)2+(y-)2=.
20.解 (1)圆C1:x2+y2=1,则圆心C1(0,0),半径r1=1,
由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,则圆心C2(3,0),半径r2=.
∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,
∴3=1+,解得m=5.
(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,则C2(3,0),r2=2,
由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,
当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;
当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),
化为一般形式为kx-y-2k+1=0,
则圆心(3,0)到直线l的距离d==1,
解得k=0,得直线方程为y=1.
综上,直线l的方程为x=2或y=1.
21.解 (1)选择①:联立解得
所以C(10,1).
设圆O的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
因为A,B,C三点均在圆上,
所以解得
所以圆O的方程为x2+y2-10x-2y+1=0,即(x-5)2+(y-1)2=25.
选择②:直线l的方程可化为m(x+y-6)+(x-3y-2)=0,
因为m∈R,上式恒成立,所以解得
所以直线l恒过定点(5,1),且(5,1)为圆心O.
所以圆O的半径r=|OA|==5,
所以圆O的方程为(x-5)2+(y-1)2=25.
选择③:设圆O的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由题可得解得
故圆O的方程为(x-5)2+(y-1)2=25.
(2)因为(10-5)2+(11-1)2=125>25,所以点P在圆O外.
①若切线的斜率不存在,则方程为x=10,圆心O(5,1)到直线x=10的距离为5,满足题意;
②当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y-11=k(x-10),即kx-y-10k+11=0,因为直线与圆O相切,所以圆心O到直线的距离d==5,
所以k=,所以直线的方程为3x-4y+14=0.
综上可得,过点P(10,11)的圆O的切线方程为x=10或3x-4y+14=0.
22.解 (1)设P(x,y),因为|PB|=|PA|,故,
即(x-2)2+y2=2x2+2y2,整理可得x2+y2+4x-4=0.
所以曲线C的方程为x2+y2+4x-4=0.
(2)存在m=1±满足题意.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
整理得2x2+2(m+2)x+m2-4=0,
由Δ=4(m+2)2-8(m2-4)>0,得-2根据根与系数的关系得x1+x2=-m-2,x1x2=.
假设存在实数m使以AB为直径的圆过原点O,则可得到=0,
所以=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)
=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-4-m(m+2)+m2=m2-2m-4=0.解得m=1±,满足①式.
所以存在实数m=1±,使得以AB为直径的圆过原点.
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