第三章圆锥曲线的方程 综合训练 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 第三章圆锥曲线的方程 综合训练 同步练（含解析） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 381.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-10 21:41:45 | ||
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文档简介
第三章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,4)
C.(2,0) D.(4,0)
2.[2024四川成都模拟]已知直线y=x是双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(2,2)在双曲线C上,则双曲线C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.[2023北京]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若点M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( )
A.7 B.6
C.5 D.4
4.[2024四川资阳高二统考期末]已知双曲线C:x2-=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过F2且与C的右支相交于A,B两点.若|AB|=2,则△ABF1的周长为( )
A.6 B.8
C.10 D.12
5.[2024湖北昌江二模]中国古代桥梁的建筑艺术,有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为( )
A.2 m B.4 m
C.4 m D.12 m
6.设P是双曲线=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是焦点,双曲线的离心率是,且∠F1PF2 =90°,△F1PF2的面积是7,则a+b=( )
A.3+ B.9+
C.10 D.16
7.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2= B.a2=13
C.b2= D.b2=2
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.当α∈时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是( )
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为=1的是( )
A.离心率为
B.双曲线过点
C.渐近线方程为3x±4y=0
D.实轴长为4
11.[2024江西彭泽校级期末]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线与x轴相交于点M,经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列结论正确的有( )
A.x1x2=4
B.y1y2=8
C.k的取值范围是(-1,1)
D.当k=时,以AB为直径的圆经过点F
12.如图是由半圆和半椭圆组成,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列结论正确的是( )
A.椭圆的离心率是
B.点F关于直线y=x的对称点在半圆上
C.△ABF面积的最大值是+1)
D.线段AB长度的取值范围是(0,3+3)
三、填空题
13.[2024云南大理月考]双曲线=1的两条渐近线的夹角等于 .
14.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p= .
15.已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,那么在C上满足=0的点有 个.
16.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=3,则直线AB的方程为 ,|AB|= .
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.[2024上海宝山校级期末]已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(2,0).
(1)求抛物线C的方程;
(2)斜率为1的直线过点F,且与抛物线C交于A,B两点,求线段AB的长.
18.已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,且过点P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若=3,求直线l的方程.
19.已知F1,F2分别是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.
20.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线上,且点A的横坐标为4,|AF|=5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.已知双曲线C的渐近线为4x±3y=0,右焦点为F(5,0),右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M,N两点(与点A不重合),当=0时,求直线l的方程.
22.[2023全国乙]已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
答案：
1.C 因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).
故选C.
2.C 由双曲线C:=1,则其渐近线方程为y=±x,
由题意可得,整理可得b=a.
将点(2,2)代入双曲线方程可得=1,解得a2=6,b2=12,
所以双曲线C:=1.故选C.
3.D 如图所示,因为点M到直线x=-3的距离|MR|=5,
∴点M到直线x=-2的距离|MN|=4.
由方程y2=8x可知,x=-2是抛物线的准线,
又抛物线上的点M到准线x=-2的距离和到焦点F的距离相等,所以|MF|=|MN|=4.故选D.
4.B 双曲线x2-=1(m>0)的实半轴长a=1,
由双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,所以|AF1|=2+|AF2|,|BF1|=2+|BF2|,则△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF2|+|BF2|+6=|AB|+6=8.故选B.
5.B 建立如图所示的平面直角坐标系,
设该抛物线的方程为x2=-2py,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m,即点(4,-2)和(-4,-2)在抛物线上,则有16=-2p·(-2),解得p=4,故抛物线的方程为x2=-8y.
若水面下降1 m,即y=-3,则有x2=24,解得x=±2,
此时水面宽度为2-(-2)=4(m).故选B.
6.A 由题意,不妨设点P是双曲线右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,
则解得∴b=.
∴a+b=3+.故选A.
7.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.
由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
所以x1x2=4.①
根据抛物线的定义得,
|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+2.
因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,②
由①②得x2=1(x2=-2舍去),
所以B(1,2),代入y=k(x+2)得k=.
8.C 由题意,知a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,
所以直线截椭圆的弦长d=×2a,解得a2=,b2=.
9.ACD 当α∈时,sin α∈,cos α∈,可得方程x2sin α+y2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0),也可以是双曲线(sin α>0,cos α<0),也可以是两条直线(sin α=1,cos α=0).故选ACD.
10.ABC 由双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5.如果离心率为,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为=1,故A正确;
如果双曲线过点,可得解得
所以双曲线C的方程为=1,故B正确;
如果渐近线方程为3x±4y=0,可得,a2+b2=25,解得a=4,b=3,
所以双曲线C的方程为=1,故C正确;
如果实轴长为4,可得a=2,b=,双曲线C的方程为=1,故D错误.故选ABC.
11.AD 抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,则M(-2,0),
经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则可设直线l的方程为y=k(x+2),联立
消去y得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,可得解得-1x1+x2=-,x1x2==4,故A正确;
=8x1·8x2=64x1x2=64×4=256,
易知y1,y2同号,所以y1y2=16,故B错误;
因为=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=4-2×(-)+4+16=32-,
当k=时,=0,
此时∠AFB为直角,即以AB为直径的圆经过点F,故D正确.故选AD.
12.ACD 由题意得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0),
设椭圆的方程为=1(a>b>0,x≥0),
则b=c=3,∴a2=18,a=3,
∴椭圆的方程为=1(x≥0).
对于A,椭圆的离心率是e=,故A正确;
对于B,设F(3,0)关于直线y=x的对称点为(m,n),m≠3,
可得=-2且n=,解得m=,n=,即对称点为,
又半圆的方程为x2+y2=9(x≤0),
∴对称点不在半圆上,故B错误;
对于C,由题得△ABF的面积S=×|AB|t,
设A(x1,t),∴+t2=9,∴x1=-(0设B(x2,t),∴=1,∴x2=(0∴|AB|=,
∴S=×()t=×t=+1),
当且仅当t=时,等号成立,故C正确;
对于D,当t→0时,|AB|→3+3;当t→3时,|AB|→0.
∴线段AB长度的取值范围是(0,3+3),故D正确.
故选ACD.
13.60° 在双曲线=1中,a2=3,b2=9,则其渐近线方程为y=±x,直线y=x的倾斜角为60°,直线y=-x的倾斜角为120°,则双曲线=1的两条渐近线的夹角为60°.
14.2 依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),则|QF|=x0+的最小值是=1,则p=2.
15.2 不妨设F1(0,-2),F2(0,2),P(x,y),则=x2+y2-8=0,所以点P的轨迹方程为x2+y2=8,轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆.
而在椭圆C:=1中,a=4,b=c=2,故点P的轨迹与椭圆交于短轴顶点,所以在C上满足=0的点有2个.
16.y=(x-1) 抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,m),B(a,b),
∵=3,∴(-2,m)=3(a-1,b)=(3a-3,3b),
则3a-3=-2,m=3b,即a=,此时b2=4×,得b=-=-,即m=-2,则C(-1,-2),则AB的斜率k=,则直线AB的方程为y=(x-1),代入y2=4x得3x2-10x+3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,即|AB|=x1+x2+2=+2=.
17.解 (1)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(2,0),所以=2,解得p=4,则抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由(1)知抛物线的方程为y2=8x.
由题知直线AB的方程为y=x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
消去y并整理得x2-12x+4=0,
由根与系数的关系得x1+x2=12,则弦长|AB|=x1+x2+p=12+4=16.
18.解 (1)由题意得c=,设左焦点为F1,
则F1(-,0),F2(,0),2a=|PF1|+|PF2|==4,
∴a=2,b==1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=my+(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+2my-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=,①
y1y2=,②
由=3得y1=-3y2,③
由①②③可得m=.
故直线l的方程为y=x-.
19.解 (1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
则点F2到渐近线距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.
又因为a2+b2=c2,解得b=a,
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.
(2)因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2.①
又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,
平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2,②
由①②式相减得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.
根据三角形的面积公式得|PF1|·|PF2|sin 60°=·4b2=b2=48,得b2=48.
再由(1)得a2=b2=27,故所求双曲线方程是=1.
20.(1)解 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线方程为x=-,
由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x.
(2)证明 设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2==16,即有x1x2+y1y2=0,则,则以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.解 (1)双曲线C的渐近线4x±3y=0可化为=0,
设双曲线C的方程为=λ(λ>0),即=1.
又双曲线C的右焦点为F(5,0),则9λ+16λ=52,解得λ=1,
∴双曲线C的标准方程为=1.
(2)由(1)知,A(3,0),设直线l的方程为y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2),显然m≠-3,
联立得7x2-18mx-(9m2+144)=0,
显然Δ>0,x1+x2=,x1x2=-.
而=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),
则=(x1-3)(x2-3)+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+(m-3)(x1+x2)+m2+9
=+m2+9=0,
化简得7m2-54m-225=0,即(7m-75)(m+3)=0,而m≠-3,解得m=,
∴直线l的方程为y=x+,即7x-7y+75=0.
22.(1)解 由题意,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(-2,0),
∴解得
∴椭圆的方程为=1.
(2)证明 根据题意,直线PQ的斜率存在,设MN的中点为T,直线PQ的方程为y=k(x+2)+3(k<0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立
则(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0,
∴
∵直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点,且过A(-2,0),
∴设直线AP的方程为y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,
设直线AQ的方程为y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,
∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).
又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,∴k1=,k2=,
∴k1+k2==2k+3
=2k+3=2k+3=2k+(-2k+3)=3,
∴T(0,3).
综上,线段MN的中点为定点(0,3).
7
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,4)
C.(2,0) D.(4,0)
2.[2024四川成都模拟]已知直线y=x是双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(2,2)在双曲线C上,则双曲线C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.[2023北京]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若点M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( )
A.7 B.6
C.5 D.4
4.[2024四川资阳高二统考期末]已知双曲线C:x2-=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过F2且与C的右支相交于A,B两点.若|AB|=2,则△ABF1的周长为( )
A.6 B.8
C.10 D.12
5.[2024湖北昌江二模]中国古代桥梁的建筑艺术,有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为( )
A.2 m B.4 m
C.4 m D.12 m
6.设P是双曲线=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是焦点,双曲线的离心率是,且∠F1PF2 =90°,△F1PF2的面积是7,则a+b=( )
A.3+ B.9+
C.10 D.16
7.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2= B.a2=13
C.b2= D.b2=2
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.当α∈时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是( )
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为=1的是( )
A.离心率为
B.双曲线过点
C.渐近线方程为3x±4y=0
D.实轴长为4
11.[2024江西彭泽校级期末]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线与x轴相交于点M,经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列结论正确的有( )
A.x1x2=4
B.y1y2=8
C.k的取值范围是(-1,1)
D.当k=时,以AB为直径的圆经过点F
12.如图是由半圆和半椭圆组成,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列结论正确的是( )
A.椭圆的离心率是
B.点F关于直线y=x的对称点在半圆上
C.△ABF面积的最大值是+1)
D.线段AB长度的取值范围是(0,3+3)
三、填空题
13.[2024云南大理月考]双曲线=1的两条渐近线的夹角等于 .
14.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p= .
15.已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,那么在C上满足=0的点有 个.
16.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=3,则直线AB的方程为 ,|AB|= .
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.[2024上海宝山校级期末]已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(2,0).
(1)求抛物线C的方程;
(2)斜率为1的直线过点F,且与抛物线C交于A,B两点,求线段AB的长.
18.已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,且过点P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若=3,求直线l的方程.
19.已知F1,F2分别是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.
20.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线上,且点A的横坐标为4,|AF|=5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.已知双曲线C的渐近线为4x±3y=0,右焦点为F(5,0),右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M,N两点(与点A不重合),当=0时,求直线l的方程.
22.[2023全国乙]已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
答案：
1.C 因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).
故选C.
2.C 由双曲线C:=1,则其渐近线方程为y=±x,
由题意可得,整理可得b=a.
将点(2,2)代入双曲线方程可得=1,解得a2=6,b2=12,
所以双曲线C:=1.故选C.
3.D 如图所示,因为点M到直线x=-3的距离|MR|=5,
∴点M到直线x=-2的距离|MN|=4.
由方程y2=8x可知,x=-2是抛物线的准线,
又抛物线上的点M到准线x=-2的距离和到焦点F的距离相等,所以|MF|=|MN|=4.故选D.
4.B 双曲线x2-=1(m>0)的实半轴长a=1,
由双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,所以|AF1|=2+|AF2|,|BF1|=2+|BF2|,则△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF2|+|BF2|+6=|AB|+6=8.故选B.
5.B 建立如图所示的平面直角坐标系,
设该抛物线的方程为x2=-2py,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m,即点(4,-2)和(-4,-2)在抛物线上,则有16=-2p·(-2),解得p=4,故抛物线的方程为x2=-8y.
若水面下降1 m,即y=-3,则有x2=24,解得x=±2,
此时水面宽度为2-(-2)=4(m).故选B.
6.A 由题意,不妨设点P是双曲线右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,
则解得∴b=.
∴a+b=3+.故选A.
7.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.
由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
所以x1x2=4.①
根据抛物线的定义得,
|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+2.
因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,②
由①②得x2=1(x2=-2舍去),
所以B(1,2),代入y=k(x+2)得k=.
8.C 由题意,知a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,
所以直线截椭圆的弦长d=×2a,解得a2=,b2=.
9.ACD 当α∈时,sin α∈,cos α∈,可得方程x2sin α+y2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0),也可以是双曲线(sin α>0,cos α<0),也可以是两条直线(sin α=1,cos α=0).故选ACD.
10.ABC 由双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5.如果离心率为,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为=1,故A正确;
如果双曲线过点,可得解得
所以双曲线C的方程为=1,故B正确;
如果渐近线方程为3x±4y=0,可得,a2+b2=25,解得a=4,b=3,
所以双曲线C的方程为=1,故C正确;
如果实轴长为4,可得a=2,b=,双曲线C的方程为=1,故D错误.故选ABC.
11.AD 抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,则M(-2,0),
经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则可设直线l的方程为y=k(x+2),联立
消去y得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,可得解得-1
=8x1·8x2=64x1x2=64×4=256,
易知y1,y2同号,所以y1y2=16,故B错误;
因为=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=4-2×(-)+4+16=32-,
当k=时,=0,
此时∠AFB为直角,即以AB为直径的圆经过点F,故D正确.故选AD.
12.ACD 由题意得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0),
设椭圆的方程为=1(a>b>0,x≥0),
则b=c=3,∴a2=18,a=3,
∴椭圆的方程为=1(x≥0).
对于A,椭圆的离心率是e=,故A正确;
对于B,设F(3,0)关于直线y=x的对称点为(m,n),m≠3,
可得=-2且n=,解得m=,n=,即对称点为,
又半圆的方程为x2+y2=9(x≤0),
∴对称点不在半圆上,故B错误;
对于C,由题得△ABF的面积S=×|AB|t,
设A(x1,t),∴+t2=9,∴x1=-(0
∴S=×()t=×t=+1),
当且仅当t=时,等号成立,故C正确;
对于D,当t→0时,|AB|→3+3;当t→3时,|AB|→0.
∴线段AB长度的取值范围是(0,3+3),故D正确.
故选ACD.
13.60° 在双曲线=1中,a2=3,b2=9,则其渐近线方程为y=±x,直线y=x的倾斜角为60°,直线y=-x的倾斜角为120°,则双曲线=1的两条渐近线的夹角为60°.
14.2 依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),则|QF|=x0+的最小值是=1,则p=2.
15.2 不妨设F1(0,-2),F2(0,2),P(x,y),则=x2+y2-8=0,所以点P的轨迹方程为x2+y2=8,轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆.
而在椭圆C:=1中,a=4,b=c=2,故点P的轨迹与椭圆交于短轴顶点,所以在C上满足=0的点有2个.
16.y=(x-1) 抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,m),B(a,b),
∵=3,∴(-2,m)=3(a-1,b)=(3a-3,3b),
则3a-3=-2,m=3b,即a=,此时b2=4×,得b=-=-,即m=-2,则C(-1,-2),则AB的斜率k=,则直线AB的方程为y=(x-1),代入y2=4x得3x2-10x+3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,即|AB|=x1+x2+2=+2=.
17.解 (1)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(2,0),所以=2,解得p=4,则抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由(1)知抛物线的方程为y2=8x.
由题知直线AB的方程为y=x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
消去y并整理得x2-12x+4=0,
由根与系数的关系得x1+x2=12,则弦长|AB|=x1+x2+p=12+4=16.
18.解 (1)由题意得c=,设左焦点为F1,
则F1(-,0),F2(,0),2a=|PF1|+|PF2|==4,
∴a=2,b==1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=my+(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+2my-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=,①
y1y2=,②
由=3得y1=-3y2,③
由①②③可得m=.
故直线l的方程为y=x-.
19.解 (1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
则点F2到渐近线距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.
又因为a2+b2=c2,解得b=a,
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.
(2)因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2.①
又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,
平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2,②
由①②式相减得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.
根据三角形的面积公式得|PF1|·|PF2|sin 60°=·4b2=b2=48,得b2=48.
再由(1)得a2=b2=27,故所求双曲线方程是=1.
20.(1)解 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线方程为x=-,
由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x.
(2)证明 设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2==16,即有x1x2+y1y2=0,则,则以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.解 (1)双曲线C的渐近线4x±3y=0可化为=0,
设双曲线C的方程为=λ(λ>0),即=1.
又双曲线C的右焦点为F(5,0),则9λ+16λ=52,解得λ=1,
∴双曲线C的标准方程为=1.
(2)由(1)知,A(3,0),设直线l的方程为y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2),显然m≠-3,
联立得7x2-18mx-(9m2+144)=0,
显然Δ>0,x1+x2=,x1x2=-.
而=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),
则=(x1-3)(x2-3)+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+(m-3)(x1+x2)+m2+9
=+m2+9=0,
化简得7m2-54m-225=0,即(7m-75)(m+3)=0,而m≠-3,解得m=,
∴直线l的方程为y=x+,即7x-7y+75=0.
22.(1)解 由题意,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(-2,0),
∴解得
∴椭圆的方程为=1.
(2)证明 根据题意,直线PQ的斜率存在,设MN的中点为T,直线PQ的方程为y=k(x+2)+3(k<0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立
则(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0,
∴
∵直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点,且过A(-2,0),
∴设直线AP的方程为y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,
设直线AQ的方程为y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,
∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).
又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,∴k1=,k2=,
∴k1+k2==2k+3
=2k+3=2k+3=2k+(-2k+3)=3,
∴T(0,3).
综上,线段MN的中点为定点(0,3).
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