广东省广东广雅中学(本部校区) 、深圳中学、华南师范大学附属中学、广州天省实验学校2023-2024学年高二下学期期末联考模拟数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 广东省广东广雅中学(本部校区) 、深圳中学、华南师范大学附属中学、广州天省实验学校2023-2024学年高二下学期期末联考模拟数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-10 21:53:20 | ||
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文档简介
2023-2024学年高二（下）华附、深中、省实、广雅联考模拟卷
数学
提醒：本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题（共8题，每题5分，40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）．
A． B． C． D．
3．多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择错误了选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选择了2个选项，则其能得分的概率是（ ）．
A． B． C． D．
4．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋，鞠最早系外包皮革、内实米的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点、满足，则该的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知四边形满足，点满足，若，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
6．已知双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（ ）．
A． B．2 C． D．5
7．已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．已知实数满足，则满足条件的最小正整数为（ ）．
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多项选择题（共3题，每题6分，部分选对得部分分，18分）
9.已知由样本数据点集合（其中）求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为．观察残差图发现：除了数据点和明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为．则下列结论中正确的是（ ）。
A．变量与正相关 B．记，则
C． D．
10．设是抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．可能大于0
C．若点，则
D．若在抛物线上存在唯一一点（异于），使得，则
11．如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形内接于下底面圆，是直径，，过点向上底面作垂线，垂足分别为，点，分别是线段上的动点，点为上底面圆内（含边界）任意一点，则（ ）
A．若平面交线段于点，则
B．若平面过点，则直线过定点
C．的周长为定值
D．当点在上底面圆周上运动时，记直线与下底面所成角分别为，则的取值范围是
三、填空题（共3题，每题5分，15分）
12．已知函数有三个零点，求的取值范围______．
13．设的内角所对边的长分别是，且为边上的中点，且，则______．
14．若数集的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集的超子集．已知集合，记，记的超子集的个数为，当的超子集个数为221个时，______．
四、解答题（共5题，77分）
15．（13分）
智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
智能体温计测温 36.6 36.6 36.5 36.5 36.5 36.4 36.2 36.3 36.5 36.3
水银体温计测温 36.6 36.5 36.7 36.5 36.4 36.4 36.2 36.4 36.5 36.4
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
智能体温计测温 36.3 36.7 36.2 35.4 35.2 35.6 37.2 36.8 36.6 36.7
水银体温计测温 36.2 36.7 36.2 35.4 35.3 35.6 37 36.8 36.6 36.7
（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；
（2）医学上通常认为，人的体温不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
16．（15分）
四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，平面平面．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）
设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
18．（17分）
设数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）解关于的不等式：；
（3）若，求证：数列前项和小于．
19．（17分）
已知函数．
（1）若曲线在处的切线过原点，求的值；
（2）当时，，求的取值范围．
2023-2024学年高二（下）华附、深中、省实、广雅联考模拟卷
数学答案及详解
一、二、三、选择填空题（73分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D C A B C C B ABD ACD AB
12． 13． 14．11
1．解：，则，
故，解得，
所以，
故．
故选：C．
2．，
，
的虚部为．
故选：D．
3．四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．
某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，
基本事件总数，
其中其能得分包含的基本事件个数，
其能得分的概率为．
故选：C．
4．因为，所以可以把四点放到长方体的四个顶点上，
则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．
设该长方体的长、宽、高分别为，
“鞠”的半径为，则．
因为，
所以，所以．
故选：A
5．四边形满足，点满足，
，故点为线段的中点，
．
又，
故．
故选：B
6．由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，焦点，
由作该渐近线的垂线，则根据点到直线的距离公式可得：，
，
由可得：，
可得，则离心率．
故选：C．
7．A．由题得，
，
所以，当时，也满足，
所以，所以该选项错误；
B．，①
，②
①+②得，故B误，
C．，所以该选项正确．
D．由前面得，
所以，也适合，所以．
设，所以函数在单调递减，
所以，所以，所以，，，…，，
所以，所以，所以该选项错误；
故选：C．
8．由实数满足，可化为，即，
构造函数，
当时，单调递增，
即，可以得到，
从而，构造函数，
，令可以得到，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
从而当时，取最小值，即有最小值
故选：B．
9．由回归直线方程，且可得变量与正相关，故A正确；
，且样本点的中心在回归直线上，，故B正确；
当剔除两个数据点后其余各点均密集均匀分布，说明用回归直线方程拟合效果更好，则残差平方和变小，相关指数变大，有，故C错误；
剔除两个数据点后的样本点的中心坐标没变，，故D正确．
故选：ABD．
10．A选项，，所以直线过焦点，所以，A选项说法正确．
设，联立，得，所以，
所以
B选项，，B选项说法错误．
C选项，抛物线的准线方程为，则点到准线的距离为，从而，C选项说法正确．
D选项，设，由，有，即，
代入韦达定理，整理得，
因为点唯一，且异于两点，所以关于的方程有两个相同的实数根．
由，解得，故D选项说法正确．
故选：ACD．
11．A：由题可得面面，故面；
又面面，故面；
面，故面面；
又面，故面；
又面，面面，故可得，故A正确：
B：根据題意，共面，
又分别为上的动点，故直线面；
不妨设直线与平面的交点为，
若要满足与共面，则直线必过点，又为定点，故B正确：
C：设的周长为，
当点与重合时，；
当点与中点重合时，连接：
此时；
显然周长不为定值，故C错误；
D：过作底面垂线，垂足为，且在下底面圆周上，即面，
连接，则分别是直线与下底面所成的角，
，
则，
则，
，底面圆半径为，
若在对应优弧上时，，则，
，当且仅当时，等号成立，此时，
若在对应劣弧上时，，则，
，当且仅当时等号成立，
此时，
综上，
故，故D错误
故选：AB
12． 3实根 ，
在，极小值，极大值
．
13．中，由，可得，
则，则，整理得，
即，又，则．
中，是边上的中点，且，则
，
则有，解之得
则．
14．集合的超子集可以分为两类：
第一类中不含有，这类子集有个，
第二类子集中含有，这类子集为的超子集与的并集，共有个，
，
，
，
故答案为：11
四、解答题（77分）
15．解：（1）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12种情况，
估计所求的概率为，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 4
．
（2）设这三人中至少有1人处于“低热”状态为事件，表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为，由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为，
结论1：，接近于1，由此认定这三人中至少有人处于“低热”状态，
结论2：，有可能这三人都不处于“低热”状态．
16．（1）证明：因为，
由余弦定理，
所以，则，所以，即
又平面平面，平面平面平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，所以，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17．解：（1）抛物线的焦点为，
直线的方程，
由，得，
设，
所以，
所以，
所以，且
所以，
所以抛物线的方程为．
（2）存在，使得为定值，
由題意可得直线的方程，直线的方程为，
联立，得，
设，
所以，
，
所以，
设，
同理可得，
所以，
由，得，
即，而，
所以，
所以存在，使得为定值0．
18．解：（1）由知当，有，
二式相减得，即，
又，解得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）结合（1）知原式，
由于随着的增大而增大，
且，
所以正整数最大可取6，
即原不等式的解集为．
（3）易得，当时，；当时，由累加法得：
．
符合上式，故，此时可以得出：
【法一，放缩法】：
．
【法二，裂项相消】：从第3项看起，可以得到：
由前二项会得到
这样我们可重新加括号得
显然
故得证．
易验证当时．综上
19．解：（1），则，
则，
又曲线在处的切线过原点，
则，即，解之得，
（2）①当时，，则在上单调递减，
又，则时，时，，
故时，不满足当时，不符合题意：
②由，可得，
则，
令，
要证，只需证，
（一）当时，，
由①知，，
（二）当时，，
令，
则在单调递减，在单调递增
．
则，使得，
则当或时，当时，
则在和单调递增，在单调递减，
又由，
可得当时，；当时，，
则在上单调递增：在上单调递减，
又由，可得当时，，
（三）当时，，
则在上单调递增，又由，可得当时，，
综上，当时，在上恒成立，
则的取值范围是，即．
数学
提醒：本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题（共8题，每题5分，40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）．
A． B． C． D．
3．多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择错误了选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选择了2个选项，则其能得分的概率是（ ）．
A． B． C． D．
4．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋，鞠最早系外包皮革、内实米的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点、满足，则该的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知四边形满足，点满足，若，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
6．已知双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（ ）．
A． B．2 C． D．5
7．已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．已知实数满足，则满足条件的最小正整数为（ ）．
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多项选择题（共3题，每题6分，部分选对得部分分，18分）
9.已知由样本数据点集合（其中）求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为．观察残差图发现：除了数据点和明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为．则下列结论中正确的是（ ）。
A．变量与正相关 B．记，则
C． D．
10．设是抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．可能大于0
C．若点，则
D．若在抛物线上存在唯一一点（异于），使得，则
11．如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形内接于下底面圆，是直径，，过点向上底面作垂线，垂足分别为，点，分别是线段上的动点，点为上底面圆内（含边界）任意一点，则（ ）
A．若平面交线段于点，则
B．若平面过点，则直线过定点
C．的周长为定值
D．当点在上底面圆周上运动时，记直线与下底面所成角分别为，则的取值范围是
三、填空题（共3题，每题5分，15分）
12．已知函数有三个零点，求的取值范围______．
13．设的内角所对边的长分别是，且为边上的中点，且，则______．
14．若数集的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集的超子集．已知集合，记，记的超子集的个数为，当的超子集个数为221个时，______．
四、解答题（共5题，77分）
15．（13分）
智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
智能体温计测温 36.6 36.6 36.5 36.5 36.5 36.4 36.2 36.3 36.5 36.3
水银体温计测温 36.6 36.5 36.7 36.5 36.4 36.4 36.2 36.4 36.5 36.4
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
智能体温计测温 36.3 36.7 36.2 35.4 35.2 35.6 37.2 36.8 36.6 36.7
水银体温计测温 36.2 36.7 36.2 35.4 35.3 35.6 37 36.8 36.6 36.7
（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；
（2）医学上通常认为，人的体温不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
16．（15分）
四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，平面平面．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）
设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
18．（17分）
设数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）解关于的不等式：；
（3）若，求证：数列前项和小于．
19．（17分）
已知函数．
（1）若曲线在处的切线过原点，求的值；
（2）当时，，求的取值范围．
2023-2024学年高二（下）华附、深中、省实、广雅联考模拟卷
数学答案及详解
一、二、三、选择填空题（73分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D C A B C C B ABD ACD AB
12． 13． 14．11
1．解：，则，
故，解得，
所以，
故．
故选：C．
2．，
，
的虚部为．
故选：D．
3．四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．
某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，
基本事件总数，
其中其能得分包含的基本事件个数，
其能得分的概率为．
故选：C．
4．因为，所以可以把四点放到长方体的四个顶点上，
则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．
设该长方体的长、宽、高分别为，
“鞠”的半径为，则．
因为，
所以，所以．
故选：A
5．四边形满足，点满足，
，故点为线段的中点，
．
又，
故．
故选：B
6．由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，焦点，
由作该渐近线的垂线，则根据点到直线的距离公式可得：，
，
由可得：，
可得，则离心率．
故选：C．
7．A．由题得，
，
所以，当时，也满足，
所以，所以该选项错误；
B．，①
，②
①+②得，故B误，
C．，所以该选项正确．
D．由前面得，
所以，也适合，所以．
设，所以函数在单调递减，
所以，所以，所以，，，…，，
所以，所以，所以该选项错误；
故选：C．
8．由实数满足，可化为，即，
构造函数，
当时，单调递增，
即，可以得到，
从而，构造函数，
，令可以得到，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
从而当时，取最小值，即有最小值
故选：B．
9．由回归直线方程，且可得变量与正相关，故A正确；
，且样本点的中心在回归直线上，，故B正确；
当剔除两个数据点后其余各点均密集均匀分布，说明用回归直线方程拟合效果更好，则残差平方和变小，相关指数变大，有，故C错误；
剔除两个数据点后的样本点的中心坐标没变，，故D正确．
故选：ABD．
10．A选项，，所以直线过焦点，所以，A选项说法正确．
设，联立，得，所以，
所以
B选项，，B选项说法错误．
C选项，抛物线的准线方程为，则点到准线的距离为，从而，C选项说法正确．
D选项，设，由，有，即，
代入韦达定理，整理得，
因为点唯一，且异于两点，所以关于的方程有两个相同的实数根．
由，解得，故D选项说法正确．
故选：ACD．
11．A：由题可得面面，故面；
又面面，故面；
面，故面面；
又面，故面；
又面，面面，故可得，故A正确：
B：根据題意，共面，
又分别为上的动点，故直线面；
不妨设直线与平面的交点为，
若要满足与共面，则直线必过点，又为定点，故B正确：
C：设的周长为，
当点与重合时，；
当点与中点重合时，连接：
此时；
显然周长不为定值，故C错误；
D：过作底面垂线，垂足为，且在下底面圆周上，即面，
连接，则分别是直线与下底面所成的角，
，
则，
则，
，底面圆半径为，
若在对应优弧上时，，则，
，当且仅当时，等号成立，此时，
若在对应劣弧上时，，则，
，当且仅当时等号成立，
此时，
综上，
故，故D错误
故选：AB
12． 3实根 ，
在，极小值，极大值
．
13．中，由，可得，
则，则，整理得，
即，又，则．
中，是边上的中点，且，则
，
则有，解之得
则．
14．集合的超子集可以分为两类：
第一类中不含有，这类子集有个，
第二类子集中含有，这类子集为的超子集与的并集，共有个，
，
，
，
故答案为：11
四、解答题（77分）
15．解：（1）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12种情况，
估计所求的概率为，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 4
．
（2）设这三人中至少有1人处于“低热”状态为事件，表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为，由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为，
结论1：，接近于1，由此认定这三人中至少有人处于“低热”状态，
结论2：，有可能这三人都不处于“低热”状态．
16．（1）证明：因为，
由余弦定理，
所以，则，所以，即
又平面平面，平面平面平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，所以，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17．解：（1）抛物线的焦点为，
直线的方程，
由，得，
设，
所以，
所以，
所以，且
所以，
所以抛物线的方程为．
（2）存在，使得为定值，
由題意可得直线的方程，直线的方程为，
联立，得，
设，
所以，
，
所以，
设，
同理可得，
所以，
由，得，
即，而，
所以，
所以存在，使得为定值0．
18．解：（1）由知当，有，
二式相减得，即，
又，解得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）结合（1）知原式，
由于随着的增大而增大，
且，
所以正整数最大可取6，
即原不等式的解集为．
（3）易得，当时，；当时，由累加法得：
．
符合上式，故，此时可以得出：
【法一，放缩法】：
．
【法二，裂项相消】：从第3项看起，可以得到：
由前二项会得到
这样我们可重新加括号得
显然
故得证．
易验证当时．综上
19．解：（1），则，
则，
又曲线在处的切线过原点，
则，即，解之得，
（2）①当时，，则在上单调递减，
又，则时，时，，
故时，不满足当时，不符合题意：
②由，可得，
则，
令，
要证，只需证，
（一）当时，，
由①知，，
（二）当时，，
令，
则在单调递减，在单调递增
．
则，使得，
则当或时，当时，
则在和单调递增，在单调递减，
又由，
可得当时，；当时，，
则在上单调递增：在上单调递减，
又由，可得当时，，
（三）当时，，
则在上单调递增，又由，可得当时，，
综上，当时，在上恒成立，
则的取值范围是，即．
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