江苏省南通市启东中学2023-2024学年高二年级下学期第二次月考数学试题（含答案）

江苏省启东中学2023-2024学年度第二学期第二次月考
高二数学试题
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．设函数在处可导，且，则=(　　)
A. B． C．1 D．－1
2．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
3．已知点 在平面 内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则的值是( )
A． B． C． D．
4．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（ ）
附:
A．3413 B．1587 C．8413 D．6826
6.的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
0 1
7．已知随机变量的分布列如右图：
若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
8．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分)
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则
B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．对具有线性相关关系的变量x，y，且线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
10．已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角的正弦值为
B．若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为
C．若，则的最小值为
D．若点在上，点在上，则的长度最小值为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的方差为__________．
13．已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是 .
14．如图，经过边长为1的正方体的三个顶点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 ．
四、解答题(本大题共6小题，共77分)
15．本小题13分
在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
16．本小题15分某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
年收入（千元） 59 61 64 68 73
(1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过计算残差平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式：，.
设，则，.
17．本小题15分如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形.
(1)求证：平面PAC；
(2)若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.
18.本小题17分已知函数，
讨论的单调性;
证明：当时，
19．本小题17分现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行。两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态，并在区域二中一直保持此运动状态.
求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率;
若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率;
将一个“旋转”运动状态的粒子经过2原创号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为
求Y的数学期望用n表示
江苏省启东中学2023-2024学年度第二学期第二次月考
高二数学试题答案
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
B D D C C B C B
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9 10 11
ACD BD BCD
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 13. 14.
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（1）由题意知，
解得或（舍去），
所以.
若是常数项，则，即，
显然无整数解，故展开式中没有常数项；
（2）若是有理项，则为整数，
又因为，所以或，
故展开式中有两个有理项，分别为.
16.（1），
设，则，
所以，
则，
，
所以回归方程为；
（2）将x值代入可得59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为，
因为，所以回归方程符合要求.
17.（1）因为点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，
所以，
又因为平面平面ABC，平面平面ABC=AC，
所以平面PAC.
（2）取AC的中点G，连接PG,OG,EF，
因为O,G为中点，所以，
又因为，所以，
因为△PAC是边长为2的正三角形，且G是AC中点，
所以，
又因为平面平面ABC，平面平面ABC=AC，
平面PAC，
所以平面ABC，
又平面ABC，
所以，
所以以G为坐标原点，GA,GO,GP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则，
由题可知，设，
则，
所以，
设平面AEF法向量，
，令，则，
设直线PQ与平面AEF所成角为，
，
因为，所以，
所以，
所以.
18.（1）定义域，
，
记，则
令，则，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以，
所以，
又因为在上恒成立，
所以在上恒大于0，
所以在上单调递增.
（2）要证，
即证，
即证，
即证，
记，则，
令，则，
所以时，单调递增，时，单调递减，
所以，
又，所以，
易知，
所以，
即可得证.
19.（1）记事件A：两个粒子经过1号门后旋转，：两个粒子经过2号门后状态不变，
则，，所以；
（2）记事件：两个粒子经过1号门后均旋转，则，
（3），，
，，
……
，
，
，
两式相减可得，
所以.