22.2.4. 一元二次方程根的判别式 课件(共17张PPT)初中数学华师大版九年级上册

(共17张PPT)
华东师大版九年级上册
22.2.4. 一元二次方程根的判别式
学习目标：
1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；
2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
学习重点：
根的判别式的正确理解与运用.
学习难点：
含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.
回忆
我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
当 b2 – 4ac ≥ 0时，直接开平方，得
新课导入
（ ）
也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数根.
因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.
观察方程 ，
我们发现有如下三种情况：
（1）当 b2 – 4ac > 0 时，方程 （ ）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：
分析
推进新课
（ ）
（2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （ ）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根：
（3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （ ）的右边是一个负数，而对于任何实数 x，方程左边
，因此方程没有实数根.
概括
这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
解下列方程：
（1）3x2 = 5x – 2；
（3）4(y2 + 4) – y = 0；
例7
解
（1）原方程可变形为 3x2 – 5x + 2 = 0.
因为 Δ = (– 5)2 – 4×3×2 = 25 – 24 = 1 > 0，所以方程有两个不相等的实数根.
计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式.
（2）因为 Δ = _________________________，所以方程________________________.
解下列方程：
（1）3x2 = 5x – 2；
（3）4(y2 + 4) – y = 0；
例7
有两个相等的实数根
（3）原方程可变形为___________________.
因为 Δ =_______________________________，所以方程______________.
解下列方程：
（1）3x2 = 5x – 2；
（3）4(y2 + 4) – y = 0；
例7
4y2 – y + 16 = 0
(– 1)2 – 4×4×16 = 1 – 256 = – 255
没有实数根
试 一 试
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0.
当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？
当 k 取何值时，方程没有实数根？
解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k)
= 16k + 9.
方程有两个相等的实数根.
方程没有实数根.
当16k + 9 < 0，
方程有两个不相等的实数根.
当16k + 9 > 0，
当16k + 9 = 0，
随堂演练
1. 方程 x2 – 4x + 4 = 0 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根
D. 没有实数根
B
2. 已知 x2 + 2x = m – 1 没有实数根，求证：x2 + mx = 1 – 2m 必有两个不相等的实数根.
证明：∵ x2 + 2x +1 – m = 0 没有实数根.
∴Δ = 4 – 4(1 – m) = 4m < 0，∴m < 0.
对于方程 x2 + mx = 1 – 2m，即 x2 + mx + 2m – 1 = 0，Δ = m2 – 8m + 4，
∵ m < 0，∴Δ = m2 – 8m + 4=(m-4)2-12 > 0，
∴ x2 + mx = 1 – 2m 必有两个不相等的实数根.
2.用判别式判定一元二次方程根的情况
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
课堂小结
1.根的判别式 Δ = b2 – 4ac
课后作业
1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.