22.2.5. 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共17张PPT)初中数学华师大版九年级上册

(共17张PPT)
华东师大版九年级上册
22.2.5. 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：
1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；
2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
学习重点：
根的判别式的正确理解与运用.
学习难点：
含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数有什么关系？
新课导入
试 一 试
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
x2 + 3x – 4 = 0
二次项系数为 1
一次项系数
常数项
相反数
相等
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？
探索
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）.
由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
推进新课
所以
概括
二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1、x2，那么
x1 + x2 = – p ，x1·x2 = q.
不解方程，求出方程的两根之和和两根之积：
（1）x2 + 3x – 5 = 0；
（2）2x2 – 3x – 5 = 0；
例8
解
（1）设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x1 + x2 = – 3 ，x1·x2 = – 5 .
（2）方程两边同除以 2 ，得
设两根为 x1、x2 ，可得
试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系.
例9
解
方程两边同除以 a ，得
由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系.
前面概括的结论是它的特例（二次项系数为1）.
随堂演练
1. 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
（1）(x + 1)(x – 2) = 0；
（2）3x2 + 7x = 6.
（1）x1 + x2 = 1，x1·x2 = – 2 .
x2 – x – 2 = 0
3x2 + 7x – 6 = 0
2. 两根均为负数的一元二次方程是（ ）
A. 7x2 – 12x + 5 = 0
B. 6x2 – 13x – 5 = 0
C. 4x2 + 21x + 5 = 0
D. x2 + 15x – 8 = 0
C
x1 + x2 < 0，x1·x2 > 0.
3.已知 α，β 是方程 x2 – 3x – 5 = 0的两根，不解方程，求下列代数式的值.
（2） α2 + β2 （3） α – β
（2）α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ = 32 – 2× (–5) = 19；
（3）(α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ = 29，
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
课后作业
1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.