苏科版数学八年级下册期末复习 第10章分式6大题型归纳总结与跟踪训练 （含解析）

第10章分式6大题型归纳总结与跟踪训练-数学八年级下册苏科版
6大题型归纳总结
题型1：分式有意义的条件
题型2：分式的基本性质
题型3：分式的加减
题型4：分式的乘除
题型5：解分式方程
题型6：分式方程的实际应用
6大题型跟踪训练
题型1：分式有意义的条件
1．在式子、、、、、中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B．7 C．7或 D．49
3．分式中，当时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零
4．若，则（　　）
A．2 B． C．或 D．
题型2：分式的基本性质
5．如果，则＝ ．
6．化简的结果是 ．
7．已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ．
8．分式与的最简公分母为 ．
题型3：分式的加减
9．计算：．
10．计算：．
11．已知：，，求下列各式的值.
(1)；
(2).
12．计算并化简：
(1)；
(2)．
题型4：分式的乘除
13．化简：．
14．化简求值：，其中．
15．先化简，再求值： ，从中任选一个代入求值．
16．下面是数学老师在批改作业时看到的甲、乙两位同学对某分式进行的化简过程，请你认真观察并完成相应的填空．
甲同学：解：原式 第一步
第二步
第三步
……
乙同学：解：原式 第一步
……
(1)甲同学的第 步是分式的通分，通分的依据是 ；乙同学用到的运算律是 ．
(2)请你帮其中一位同学完成化简．
题型5：解分式方程
17．解方程：．
18．解分式方程：
(1)
(2)
19．解方程
(1)
(2)
20．解下列分式方程：
(1)
(2)
题型6：分式方程的实际应用
21．河南省为加快高速公路建设，需要有甲、乙两个工程队共同完成某段高速公路的修建．已知甲工程队单独完成此项工程比乙队单独完成此项工程多用15天，且甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同．
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若施工方案是甲队先单独施工x天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，已知甲队的施工费用为每天3.5万元，乙队的施工费用为每天6.5万元，求施工总费用y（万元）关于x 的函数解析式．
(3)在（2）的条件下，若要求在27天内完成该项工程，如何制定施工方案可使总费用最少，最少费用为多少万元？
22．端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
23．2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元．用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)学校决定购买甲，乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗．
24．年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
【详解】解：、、是整式，
、、时分式．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式的值为0，要求分子为0，分母不等于0，即可求解．
【详解】∵分式的值为0，
∴且，
解得：，
故选：A
3．D
【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零．
根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果．
【详解】当时，
，
即，
解得： ，
当，时，分式的值为零
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了分式值为零的条件以及绝对值的意义，由题意知，，解得，要是分式方程有意义，则，解得，，进而可求x的值．
【详解】解：由题意知，，解得，
又∵，
解得，，
∴．
故选：B．
5．
【分析】根据的关系，可以求出．解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待．本题考查了分式的通分．
【详解】解：，
，
．
故答案为．
6．
【分析】本题考查分式的约分，将分子，分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，进行约分化简即可．
【详解】解：；
故答案为：．
7．6
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质成为解题的关键．
根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：6．
8．
【分析】本题主要考查了最简公分母的确定，熟练掌握最简公分母的定义是解题关键．先将各分母分解因式，最简公分母是各分母的所有因式的高次幂的乘积．
【详解】解：∵，
∴分式与的最简公分母是．
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先把两个分式通分，然后约分化简即可得到答案．
【详解】解：
．
10．
【分析】本题主要考查异分母分数的加减法，掌握异分母分数的加减法是解题的关键．
【详解】解：．
11．(1)3
(2)8
【分析】本题主要考查了分式的加法运算、代数式求值、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键.
（1）先根据分式的加法运算计算，然后将、整体代入即可解答；
（2）先根据分式的加法运算可得，然后再结合完全平方公式可得，最后将、整体代入即可解答.
【详解】（1）解：.
（2）解：.
12．(1)3
(2)
【分析】本题考查了分式加减法，解题关键是掌握分式加减法则，准确进行计算；
（1）变成同分母直接相加，然后约分即可；
（2）先通分，再相加，然后约分即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
．
13．
【分析】本题考查了分式化简，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简求解．
【详解】解：原式

．
14．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把代入计算．
【详解】解：
当时，
原式
15．；当时，原式
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，，
故，，
当时，
原始．
16．(1)一，分式的基本性质：乘法分配律
(2)，过程见解析
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据题意，完成分式的化简；
【详解】（1）甲同学的第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；乙同学用到的运算律是乘法分配律
（2）甲同学：解：
乙同学：解：原式
17．
【分析】本题主要考查分式方程及一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程及一元二次方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
经检验：当时，，
当时，，
∴原分式方程的解为．
18．(1)
(2)无解
【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）∵,
去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验，当时，，
故是原方程的根．
（2）∵，
即，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
系数化为1，得
检验，当时，，
∴不是原分式方程的解，原分式方程无解．
19．(1)
(2)原方程无解．
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，把方程化为整式方程，再检验即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再检验即可；
【详解】（1）解：，
去分母得：，
整理得：，
∴，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的解为：；
（2），
∴，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是方程的增根，
∴原方程无解．
20．(1)
(2)原方程无解
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
检验，当时，，
∴不是原方程的解；
∴原方程无解．
21．(1)甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天
(2)
(3)甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元
【分析】此题主要考查分式方程的应用和解法，一次函数的性质等知识，正确的列出分式方程、求出费用与时间之间的函数关系式是解决问题的关键．
（1）设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同，列出方程即可求解；
（2）设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，根据题意得到p与x的关系，根据题意即可写出y与x的关系式；
（3）根据施工期定为天内完成得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求出y的最小值．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据题意得
解得，
经检验，是原分式方程的根
答：甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天；
（2）解：设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，则

；
（3）解：由题意得
解得
且，
∴ y随 x 的增大而减小，
∴当时，y 最小，最小值为172.5，
则（天），
答：甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元．
22．(1)商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：该商场节后每千克粽子的进价是10元；
（2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，
由题意得：，
解得：，
设总利润为元，
由题意得：，
，
随着的增大而增大，
当时，取得最大值，
答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
23．(1)甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元
(2)33棵
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或不等式．
（1）设乙种树苗每棵的价格是元、则甲种树苗每棵的价格是元，根据用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同，列出方程，解方程即可；
（2）设可购买棵甲种树苗，根据学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设乙种树苗每棵的价格是元、则甲种树苗每棵的价格是元，根据题意，可列方程组：
，
解得：．
经检验，是原方程的根，
，
答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元；
（2）解：设可购买棵甲种树苗，根据题意，可列不等式：
．
解这个不等式得：，
为正整数，
的最大值为33，
答：最多可购买33棵甲种树苗．
24．(1)B款文化衫每件元，A款文化衫每件元
(2)购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元
【分析】（1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可．
【详解】（1）解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，
∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；
（2）解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，
依题意得，，
解得，，
由题意知，，
∵，
∴当时，费用最低为（元），
∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页