山西省晋中市2024届高三下学期5月模拟数学试题（含答案）

山西省晋中市2024届高三下学期5月模拟数学试题
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足方程（为虚数单位），则复数的共轭复数对应的点在（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1：3：6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（　　）
A．30 B．40 C．60 D．80
3．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围（　　）
A． B． C． D．
4． 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（　　）
A．若，则“”是“”的必要条件
B．若，，则“”是“”的充分条件
C．若，则“”是“”的充要条件
D．若，则“”是“”的既不充分也不必要条件
5．已知满足，且在上单调，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知正四棱台的上 下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为（　　）
A． B． C． D．
7． 对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（　　）
A．7 B．9 C．11 D．13
8． 已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为（　　）
A．32 B．16 C． D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下面命题正确的是（　　）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集为
C．不等式在是恒成立，则实数的取值范围为
D．函数在区间内有一个零点，则实数的范围为
10．如图，已知正方体，点、、分别为棱、、的中点，下列结论正确的有（　　）
A．与共面 B．平面平面
C． D．平面
11． 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则直线的斜率为
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为　 　
13．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为　 　．
14．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．中的内角、、的对边分别是、、，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
16．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求证：．
17． 甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：
甲：93 95 81 72 80 82 92
乙：85 82 77 80 94 86 92 84 85
经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.
（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；
（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差为，个数据的方差为，且．若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若的临界值采用下表中的数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
1 161 200 216 225 230 234 237 239
2 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4
3 10.1 9.55 928 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04
5 6.61 5.79 5.41 6.19 5.05 4.95 4.88 4.82
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44
例如：对应的临界值为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.
18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面平面BCE，O为BC的中点，M为CE的中点，，．
（1）求证：平面ABE；
（2）求平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值．
19． 已知曲线由半圆和半椭圆组成，点在半椭圆上，，．
（1）求的值；
（2）在曲线上，若（是原点）．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）如图，点在半圆上时，将轴左侧半圆沿轴折起，使点到，使点到，且满足，求的最大值．
答案解析部分
1．C
2．B
3．A
4．A
5．B
6．B
7．D
8．C
9．A,C
10．A,B
11．A,C
12．2
13．
14．
15．（1）解：因为，所以，
由正弦定理得：，又因为，，所以.
（2）解：由，，根据余弦定理，
可得，即，解得或（舍），
因为，所以，因为，所以，
故.
16．（1）解：设等差数列的公差为d，由，，得，而，解得，，
所以的通项公式．
（2）证明：由（1）知，，
所以．
17．（1）依题意：，，
所以，，
.
（2）由于，则，，，，
则，
查表得对应的临界值为3.58，则，
所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.
18．（1）证明：取BE的中点N，连接AN，MN，
则且，
又且，所以且，
所以四边形ANMD为平行四边形，所以．
又平面ABE，平面ABE，
所以平面ABE．
（2）解：取AD的中点F，连接OF，
因为四边形ABCD为等腰梯形，所以，
又平面平面BCE，平面平面，平面ABCD，
所以平面BCE．
过点O作直线BC的垂线交BC于点G，
以O为坐标原点，分别以OG，OC，OF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为BC为直径，所以，
所以，，．
在等腰梯形ABCD中，，，
所以，
所以，，，，，
所以，，，
设平面DCE的法向量为，则，
所以，
令，则，，
所以．
设平面ABE的法向量为，则，
取．
设平面ABE与平面DCE的夹角为，则，
所以平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值为．
19．（1）由题意知，是椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义知：．
（2）（ⅰ）由题意知，，则，
当为半椭圆右顶点时，，
当不为半椭圆右顶点时，设直线方程为，联立，
解得，，故，
①若点在半圆上，则，
所以，
所以，所以，
②若点在半椭圆上，因为，
设直线的方程为，同理可得，
所以，令，
则，
因为，故，所以，所以，
综上所述，所以．
（ⅱ）
过作垂直轴，垂足为，设，则，
，所以，
即，
，则半圆所在平面与半椭圆所在平面垂直，两平面交线轴，
则有，
所以，
令，，
当且仅当，时，取得最大值．
综上所述的最大值为．