数学人教A版（2019）必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式 课件（共41张ppt）

(共41张PPT)
2.3 二次函数与一元二次
方程、不等式
回顾从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，三者之间的内在联系.




回顾从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，三者之间的内在联系.
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
他们的联系又是怎样的呢？

情境导学
问题　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．
由题意，得:（１２－x）x＞２０，
其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝． 整理得
x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝． ①
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
一元二次不等式的定义：
或ax2+bx+c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.
概念解析
一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0 (a≠0)
思考：一元二次不等式x2-12x+20<0与二次函数
y=x2-12x+20间有何关系 ？
分析：当y＝0时，即方程 x2－12x＋20＝0的解为
x1＝2，x2＝10，
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数 x叫做二次函数的零点．
则二次函数y=x2-12x+20 的两个零点是x1＝2，x2＝10 ．
【注意】零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标，是实数
二次函数y=x2-12x+20 的两个
零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．
当x＜2 或x＞10时，y＞０，
即x2-12x+20>0；
当2即x2-12x+20<0；
故一元二次不等式x2－12x＋20＜0
的解集是{x|2＜x＜10}.



{x|2＜x＜10} {x|0＜x＜12}.
因此当围成的矩形的一条边长x满足2＜x＜10的时候，围成的矩形区域的面积大于20㎡
因为
对于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与相应的函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）之间具有类似的关系？请你完成下表．
求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）和ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集，因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像与X轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根
ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集
ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集
有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
{x|x＜x1，或x＞x2}
{x|x≠－ }
R
{x|x1＜x＜x2}


（a＞0）
一元二次不等式的解法
归纳小结
解：对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ＞0，
例1　求不等式x2－5x＋6＞0 的解集.
例题讲解
所以它有两个实数根，解得x1＝2，x2＝3，
画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象，
结合图象得不等式x2－5x＋6＞0的解集
为{x|x＜2，或x＞3}．



例2　求不等式9x2－6x＋1＞0 的解集.
例题讲解
解：对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象，
所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝ ，
结合图象得不等式9x2－6x＋1＞0的解集为 ．
例3　求不等式－x2＋2x－3＞0的解集.
例题讲解
解：不等式可化为x2－2x＋3＜0，因为 Δ ＝－8＜0，
所以方程x2－2x＋3＝0无实数根，画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象，结合图象得不等式x2－2x＋3＜0的解集为 ．因此原不等式的解集为 ．
　对于二次项系数是负（即a<0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
(1)化为标准形式；
(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；
(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；
(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外)．
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0)的步骤：
归纳总结
当堂达标
2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
√
∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥ 或x≤ .
当堂达标
二次函数
一元二次方程的根
一元二次不等式的解
图象
2.一元二次不等式解法的步骤：
1.“三个二次”的关系
一、知识上我收获了什么？
二、方法上我收获了什么？
课堂小结
(1)将二次项系数化为正数(a>0)
(2)(看能否因式分解，不能分解的计算判别式△)
求相应方程的实数根
(3)（结合函数图象）写出不等式的解集.
2.3.2 二次函数与一元二次
方程、不等式
2.一元二次不等式解法的步骤：
1.“三个二次”的关系
复习
(1)将二次项系数化为正数(a>0)
(2)(看能否因式分解，不能分解的计算判别式△)
求相应方程的实数根
(3)（结合函数图象）写出不等式的解集.
典例解析
例1　一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：y＝－２x２＋２２00x．
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收６0000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
方程有两个实数根x１＝５０，x２＝６０．
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用
这条流水线生产x辆摩托车，
根据题意，
得－２x２＋２２０x＞６0000．
移项整理，得x２ －１１０x＋３０００＜０．
对于方程x２ －１１０x＋３０００＝０，
Δ＝１００＞０，
因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在５１～５９辆时，这家工厂能够获得６0000元以上的收益．
画出二次函数y＝x２ －110x＋3000的图象
结合图象得不等式x２ －110x＋3000＜0
的解集为｛x｜５０＜x＜６０｝，
从而原不等式的解集为｛x｜５０＜x＜６０｝．

典例解析

归纳总结
【三个“二次”的关系】


【三个“二次”的关系】





[分析]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程
ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．
3.若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
补充知识
练习
练习
类型二 不等式恒成立的问题
2.
解：
练习
【不等式在R恒成立的问题】
1.解含参数的一元二次不等式(注意分类讨论）
2.三个“二次”的关系（韦达定理）
3.分式不等式的解法
4.不等式在R恒成立的问题
小结