4.1 数列 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

4．1　数　　列
4.1.1　数　　列(1)
一、 单项选择题
1 下列有关数列的说法中，正确的是(　　)
A. 同一数列的任意两项均不可能相同
B. 数列－1，0，1与数列0，1，－1是同一个数列
C. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
D. 数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
2 数列1，3，7，15，…的一个通项公式是(　　)
A. an＝2n B. an＝2n＋1
C. an＝2n+1 D. an＝2n－1
3 (2023淮阴中学月考)若数列为，，，，…，则7是该数列中的(　　)
A. 第17项 B. 第18项
C. 第19项 D. 第20项
4 (2023咸阳中学月考)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…每项被 4 除所得的余数构成数列an，则a2 023的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
5 (2023武汉外国语学校月考)根据下面的图形及相应的点数，则下列点数构成的数列的第5项为(　　)
A. 32 B. 35
C. 36 D. 42
6 (2023南通崇川期末)在数列{an}中，若 an＝则a4＋a5的值为(　　)
A. 17 B. 23 C. 25 D. 41
二、 多项选择题
7 (2023河北金科大联考)已知数列1，＋1，＋，2＋，…，＋，…，则下列说法中正确的是(　　)
A. 3＋2是它的第3项
B. 4＋是它的第4项
C. 3＋2是它的第9项
D. 4＋是它的第16项
8 下列有关数列的说法中，正确的是(　　)
A. 数列－2 021，0，4与数列4，0，－2 021 是同一个数列
B. 数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，则110是该数列的第10项
C. 在数列1，，，2，，…中，第8个数是2
D. 数列3，5，9，17，33，…的通项公式为an＝2n＋1
三、 填空题
9 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，则33是这个数列的第________项．
10 由数列1，10，100，1 000，…猜测该数列的第n项可能是________．
11 (2023重庆黔江中学月考)已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为________．
四、 解答题
12 (2023江苏月考)写出下列数列的一个通项公式：
(1) 0，3，8，15，24，…；
(2) 1，－3，5，－7，9，…；
(3) 0，，，，…；
(4) 1，11，111，1 111，….
13 已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－kn＋3.
(1) 如果a2＝5，求k的值，并写出这个数列的首项；
(2) 若an≥a5对任意n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．
4．1.2　数　　列(2)
一、 单项选择题
1 设数列{an}满足a1＝1，an＝3an－1＋1(n>1)，则a2的值为(　　)
A. 0 B. 4 C. 5 D. 8
2 (2023烟台招远二中期末)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝－1，则a2 024的值为(　　)
A. －1 B. C. 2 D. 1
3 已知数列{an}的通项公式是an＝，则数列{an}(　　)
A. 不是单调数列 B. 是递减数列
C. 是递增数列 D. 是常数列
4 (2023河南青桐鸣联考)已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为a1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为a2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为a3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若a4＝12，则a1的值为(　　)
A. 18 B. C. D.
5 已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则的值为(　　)
A. B. C. D.
6 (2023莆田哲理中学月考)已知数列{an}的通项公式为an＝若对任意n∈N*，都有an＋1>an，则实数t的取值范围是(　　)
A. [3，＋∞) B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2023枣庄滕州一中月考)已知在数列{an}中，an＝n2－5n＋4，则数列{an}的最小项是(　　)
A. 第1项 B. 第2项
C. 第3项 D. 第4项
8 (2023鹤壁月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n>1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. a2＝1
B. ＝(n≥2)
C. an＝
D. an＝
三、 填空题
9 (2023上海复旦附中月考)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝则数列的第2 023项为________．
10 (2023重庆八中月考)已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋λn，且{an}为递减数列，则实数λ的取值范围是________．
11 已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________；猜想其通项公式是an＝________．
四、 解答题
12 (2023江苏月考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1) 写出数列{an}的前5项；
(2) 猜想数列{an}的通项公式；
(3) 画出数列{an}的图象．
13 已知在数列{an}中，an＝n2－pn＋q，a1＝0，a2＝－4.
(1) 求a5的值；
(2) 判断66是不是该数列中的项？若是，是第几项？
(3) 当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【答案解析】
4．1　数　　列
4.1.1　数　　列(1)
1. D　对于A，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；对于B，数列－1，0，1与数列0，1，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；对于C，{1，3，5，7}是一个集合，故C错误；对于D，根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，故D正确．
2. D　经过观察，1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，故推测an＝2n－1.
3. D　根据题意，数列 ，，，，…，则其通项可以为an＝，若＝7，解得n＝20，即7是第20项．
4. A　由斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…每项被 4 除所得的余数构成数列an，可得数列{an}的各项分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即数列{an}中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，所以a2 023＝a337×6＋1＝a1＝1.
5. B　由题意，得a1＝1，a2＝5，a3＝12，a4＝22，所以a2－a1＝4，a3－a2＝7，a4－a3＝10，根据规律可得a5－a4＝13，所以a5＝13＋22＝35.
6. A　由题意，得a4＋a5＝23＋(2×5－1)＝17.
7. CD　当n＝9时，＋＝3＋＝3＋2，故C正确，A错误；当n＝16时，＋＝4＋，故D正确，B错误．故选CD.
8. BCD　对于A，数列－2 021，0，4与4，0，－2 021中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，故A不正确；对于B，令an＝n2＋n＝110，解得n＝10或n＝－11(舍去)，故B正确；对于C，原数列可以写成，，，，，…，则第8个数为，即2，故C正确；对于D，由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知通项公式为an＝2n＋1，故D正确．故选BCD.
9. 5　令33＝2n＋1，解得n＝5.故33是这个数列的第5项．
10. 10n-1　此数列可写为100，101，102，103，104，…，故该数列的第n项可能是10n-1.
11. 7　由题意可知，按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n中，1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个．因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7.
12. (1) 观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，
所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
(2) 数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1(2n－1).
(3) 因为5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，
所以数列的一个通项公式为an＝.
(4) 原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为10n－1，
所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
13. (1) 令a2＝2×22－2k＋3＝5，解得k＝3，
所以a1＝2×12－3×1＋3＝2.
(2) an≥a5对任意n∈N*恒成立，
即2n2－kn＋3≥53－5k对任意n∈N*恒成立，
所以(n－5)k≤2n2－50对任意n∈N*恒成立．
若n＞5，则k≤2(n＋5)，
所以k≤22；
若0所以k≥18；
若n＝5，显然成立，
所以18≤k≤22，
故实数k的取值范围是[18，22].
4．1.2　数　　列(2)
1. B　由题意，得a2＝3a1＋1＝4.
2. B　因为an＋1＝，且a1＝－1，所以a2＝＝，a3＝＝2，a4＝＝－1，a5＝＝，a6＝＝2，…，由此不难发现，数列{an}具有周期性，且最小正周期为3，故a2 024＝a3×674＋2＝a2＝.
3. C　因为an＋1－an＝－＝>0，所以{an}是递增数列．
4. C　由题意，得a2＝a1＝a1，a3＝a2＝a2＝×a1＝a1，a4＝a3＝a3＝×a1＝a1＝12，所以a1＝12×＝.
5. B　由题意，得a2a1＝a1＋(－1)2，又a1＝1，所以a2＝2.易得a3a2＝a2＋(－1)3，则a3＝.同理，a4＝3，a5＝，故＝.
6. C　当n∈{1，2，3，4，5，6}时，an＋1－an＝3(n＋1)2－2t(n＋1)＋2－3n2＋2tn－2＝6n＋3－2t>0恒成立，所以2t<6n＋3对n∈{1，2，3，4，5，6}恒成立，故2t<9，即t<；当n>7，n∈N时，an＝4n＋94为递增数列，故要使对任意n∈N*，都有an＋1>an，则a8>a7，即4×8＋94>3×72－14t＋2，解得t>.综上，实数t的取值范围是.
7. BC　因为函数y＝x2－5x＋4的开口向上，图象的对称轴为直线x＝，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取得最小值．故选BC.
8. AD　因为数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n>1)，所以当n＝2时，a2＝a1＝1，此时＝1，故A正确，B错误；因为an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n∈N*，n≥2)，所以an＋1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，两式相减可得an＋1－an＝an，可化为＝.当n＝2时，a2＝a1＝1，所以＝…＝＝(n∈N*，n≥2)，所以an＝(n∈N*，n≥2)，所以an＝故C错误，D正确．故选AD.
9. 　由已知可得a2＝2×－1＝，a3＝2×＝，a4＝2×＝，a5＝2×－1＝，…，所以数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 023＝a505×4＋3＝a3＝.
10. (－∞，3)　因为{an}为递减数列，所以an＋1－an＝－(n＋1)2＋λ(n＋1)－(－n2＋λn)＝－2n－1＋λ<0对n∈N*恒成立，即λ<2n＋1对n∈N*恒成立，所以λ<3，即实数λ的取值范围是(－∞，3).
11. 　　因为数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，所以a2＝＝，同理可得a3＝，a4＝.猜想其通项公式是an＝.
12. (1) a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，a5＝×＝.
(2) 猜想an＝，证明如下：
因为an＋1＝an，显然an≠0，
所以＝，
则＝，＝，＝，…，＝(n≥2)，
累乘得＝(n≥2)，所以an＝(n≥2).
又n＝1时，a1＝1也满足上式，
故an＝.
(3) 数列{an}的图象如下：
13. (1) 由题意可知a1＝1－p＋q＝0，a2＝4－2p＋q＝－4，
所以p＝7，q＝6，
所以an＝n2－7n＋6，所以a5＝－4.
(2) 设数列{an}的第n项为66，则an＝n2－7n＋6＝66，即n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，
所以66是数列{an}的第12项．
(3) 因为an＝n2－7n＋6＝－，
所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝－6，故当n＝3或n＝4时，an有最小值，最小值为－6.