4．2 等 差 数 列
4.2.1 等差数列的概念及通项公式
一、 单项选择题
1 已知等差数列{an}的通项公式为an＝7－3n，则下列说法中正确的是( )
A. 公差d＝3 B. 公差d＝－3
C. 公差d＝7 D. 公差d＝－7
2 若x，9，y构成等差数列，则下列说法中正确的是( )
A. x＋y＝9 B. x＋y＝18
C. x＋y＝27 D. x＋y＝20
3 (2023泰安二中月考)首项为－12的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A. B. (－∞，3)
C. D.
4 (2023大连八中月考)在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则数列{an}是( )
A. 公差为1的等差数列
B. 公差为的等差数列
C. 公差为2的等差数列
D. 不是等差数列
5 (2023沈阳市郊联体期中)在数列{an}中，a4＝25，＝＋2，则a6的值为( )
A. 121 B. 100
C. 81 D. 64
6 已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，a7＋a5＝12，且a7＝7，则a8的值为( )
A. 6 B. 12
C. 10 D. 8
二、 多项选择题
7 已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d的值为( )
A. 0 B.
C. 1 D. 2
8 (2023漳州华安一中月考)在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列{bn}，则下列结论中正确的是( )
A. b1＝7
B. b2＝－27
C. b3＝－47
D. b2 022＝a8 087
三、 填空题
9 已知等差数列{an}递减，若a1＝40，a10＞0，则公差d的一个整数取值可以是 ________．
10 已知在等差数列{an}中，a3＝3，a8＝33，则数列{an}的公差为________．
11 (2023南通如皋月考)已知数列{an}的首项a1＝，a3＝，且对任意n∈N*，＋＝恒成立，则a10＝________．
四、 解答题
12 在等差数列{an}中，
(1) 已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2) 已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9；
(3) 已知a2＝5，a5＋a9＝30，求an.
13 在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1) 数列{}是否为等差数列？说明理由；
(2) 求数列{an}的通项公式．
【答案解析】
4．2 等 差 数 列
4.2.1 等差数列的概念及通项公式
1. B 方法一：因为an＋1－an＝7－3(n＋1)－(7－3n)＝－3，所以公差d＝－3.
方法二：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d，对比an＝－3n＋7可知公差d＝－3.
2. B 因为x，9，y构成等差数列，所以x＋y＝9×2＝18.
3. D 设等差数列的首项为a1＝－12，公差为d.因为从第10项起开始为正数，所以即解得
4. B 由2an＋1＝2an＋1，得an＋1＝an＋，即an＋1－an＝.又a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列，故选B.
5. C 因为＝＋2，所以－＝2，所以数列{}是公差为2的等差数列．因为a4＝25，所以＝＋2×2＝5＋4＝9，故a6＝81.
6. D 由题意，得数列{an}为等差数列，所以a7＋a5＝2a6＝12，即a6＝6.又a7＝7，所以d＝a7－a6＝1，则a8＝a7＋d＝7＋1＝8.
7. AB 由a4＋a8＝a，得a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.又因为a1＝2，所以4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝或d＝0.故选AB.
8. BCD 因为a1＝3，d＝－5，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×(－5)＝－5n＋8.因为数列{an}中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27，b3＝a11＝－47，故A错误，B，C正确；设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第k项，则m＝3＋4(k－1)＝4k－1，所以当k＝2 022时，m＝4×2 022－1＝8 087，则b2 022＝a8 087，故D正确．故选BCD.
9. －4(也可以是－3，－2，－1中的一个) 因为等差数列{an}递减，且a1＝40，a10＞0，所以d<0，40＋9d＞0，可得－＜d＜0，所以d的整数取值可以是－4，－3，－2，－1.
10. 6 由题意，得公差d＝＝＝6.
11. 依题意可得＋＝，解得a2＝.因为＋＝，所以－＝－，则－＝－＝…＝－＝1，可得数列是以＝2为首项，d＝1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，即an＝，故 a10＝.
12. (1) 由题意，知解得
(2) 由题意，知解得
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以a9＝2×9－1＝17.
(3) 由题意，知解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
13. (1) 数列{}是等差数列，理由如下：
因为an＋1－＝an＋，
所以an＋1－an＝＋，
所以(＋)·(－)＝＋，且数列{an}是正项数列，
即＋≠0，
则－＝1，
所以数列{}为等差数列，首项为1，公差为1.
(2) 由(1)知，＝＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＝n2.4．2.2 等差数列的通项公式
一、 单项选择题
1 (2023河北金科大联考)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝30，则a2＋a6的值为( )
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
2 (2023莆田二十五中期中)在等差数列{an}中，a1＝3，a100＝36，则a2＋a3＋a98＋a99的值为( )
A. 39 B. 76 C. 78 D. 117
3 已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为( )
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
4 (2023潮州期末)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3.若an＝2 023，则n的值为( )
A. 673 B. 674 C. 675 D. 676
5 (2023厦门一中期中)已知等差数列{an}满足a1＝12，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是{an}中的一项，则d的可能取值有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 6个
6 (2023盐城射阳中学期中)已知数列{an}对任意k∈N*都满足ak＋1＋ak＝4k＋3，则a1＋a2 020的值为( )
A. 4 040 B. 4 043 C. 4 046 D. 4 049
二、 多项选择题
7 (2023佛山荣山中学期中)在7和21之间插入n(n∈N*)个数，使这n＋2个数成等差数列，则该等差数列的公差可以是( )
A. B. 7 C. 5 D. 3
8 设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则下列结论中正确的是( )
A. a2a9的最大值为10
B. a2＋a9的最大值为2
C. ＋的最大值为
D. a＋a的最小值为200
三、 填空题
9 已知等差数列{an}的前3项分别为a－1，2a＋1，a＋7，则此数列的通项公式为an＝________．
10 (2023宿迁青华中学期中)已知{an}为等差数列，a2＝8，a6＝20，则a10＝________．
11 (2023临沧凤庆一中期中)已知数列{an}中，a1＝1，an－an＋1＝an＋1·an(n∈N*).若8am＝1，则正整数m的值为________．
四、 解答题
12 已知三个数成等差数列，且是递增数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
13 (2023汕头潮阳实验学校月考)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝3，令bn＝.
(1) 证明：数列{bn}是等差数列；
(2) 求数列{an}的通项公式．
【答案解析】
4．2.2 等差数列的通项公式
1. A 在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝3a4＝30，则a4＝10，因此a2＋a6＝2a4＝20.
2. C 在等差数列{an}中，a1＝3，a100＝36，则a2＋a3＋a98＋a99＝(a2＋a99)＋(a3＋a98)＝2(a1＋a100)＝2×(3＋36)＝78.
3. D 因为{an}，{bn}为等差数列，所以{2an－3bn}为等差数列，设其公差为d，则d＝2an＋1－3bn＋1－2an＋3bn＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.
4. C 由题意可得 an＋1－an＝3，所以数列{an}为等差数列，则an＝1＋3(n－1)＝3n－2.令3n－2＝2 023，解得n＝675.
5. D 设等差数列{an}的公差为d，am＋an＝at，则a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝a1＋(t－1)d，可得a1＝(1＋t－m－n)d，所以d是a1的正因数，故d∈{1，2，3，4，6，12}，共有6个可能取值．
6. B 由ak＋1＋ak＝4k＋3，得ak＋2＋ak＋1＝4(k＋1)＋3，两式相减，得ak＋2－ak＝4，所以相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，且公差为4，所以a2 020＝a2＋×4＝4 036＋a2，即a1＋a2 020＝a1＋a2＋4 036.当k＝1时，a2＋a1＝4＋3＝7，因此a1＋a2 020＝7＋4 036＝4 043.
7. AB 由题意，这个等差数列的公差d＝＝，n∈N*.当n＝1时，d＝7，故B正确；当n＝3时，d＝，故A正确；显然不存在正整数n，使得d取5和取3，故C，D错误．故选AB.
8. ABD 因为正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20＝(a2＋a9)2，所以a＋a＝20，所以a2a9≤(a＋a)＝10，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，故A正确；因为≤(a＋a)＝10，所以≤，即a2＋a9≤2，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，故B正确；＋＝＝≥＝＝，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，所以＋的最小值为，故C错误；a＋a＝(a＋a)2－2aa≥400－2×102＝200，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，故D正确．故选ABD.
9. 4n－3 由题意，得a－1＋a＋7＝2(2a＋1)，所以a＝2，所以{an}的前3项分别为1，5，9，公差为4，故an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
10. 32 设等差数列的公差为d，所以d＝＝＝3，所以a10＝a6＋4d＝20＋4×3＝32.
11. 8 因为an－an＋1＝anan＋1(n∈N*)，所以an＋1(1＋an)＝an.因为a1＝1，所以a2(1＋a1)＝a1，即2a2＝1，可得a2＝.对任意n∈N*，an>0，所以an＋1＝，等式两边取倒数，得＝＝＋1，则－＝1，所以数列为等差数列，首项为＝1，公差为1，所以＝1＋n－1＝n(n∈N*)，故an＝(n∈N*).由8am＝＝1，得m＝8.
12. 方法一：设这三个数依次为a，b，c，
则解得
故这三个数依次为4，6，8.
方法二：设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
由已知，得
由①，得a＝6，代入②，得d＝±2.
因为该数列是递增数列，所以d＝2，
所以这三个数依次为4，6，8.
13. (1) 因为bn＋1－bn＝－
＝－
＝－
＝－
＝＝，
又b1＝＝，
所以{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2) 由(1)知，bn＝＋(n－1)＝，
即an－1＝，
所以an＝1＋，n∈N*.4．2.3 等差数列的前n项和(1)
一、 单项选择题
1 (2023广东期末)已知在等差数列{an}中，a2＋a7＝18，则数列{an}的前8项和S8等于( )
A. 42 B. 50 C. 72 D. 90
2 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝25，S6＝57，则{an}的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8的值为( )
A. 15 B. 16 C. 19 D. 20
4 (2023天津咸水沽一中月考)在数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋…＋|a30|等于( )
A. 445 B. 765
C. 1 080 D. 3 105
5 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a8<0，且a9>|a8|，则使Sn>0成立的正整数n的最小值为( )
A. 15 B. 16
C. 17 D. 18
6 (2023榆林五校联考)已知等差数列{an}的项数为2m＋1(m∈N*)，其中奇数项之和为140, 偶数项之和为 120，则m的值为( )
A. 6 B. 7 C. 12 D. 13
二、 多项选择题
7 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则下列等式中正确的是( )
A. Sn＝n(a1＋an)
B. 2Sn＝n(a1＋an)
C. Sn＝nan＋
D. Sn＝nan－
8 (2023咸阳中学月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知a3＝12，S12>0，a7<0，则下列结论中正确的是( )
A. a6>0
B. －4C. 当Sn<0时，n的最小值为 13
D. 当Sn最大时，n＝7
三、 填空题
9 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝36，则公差d＝________．
10 在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝________．
11 已知一个等差数列{an}的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为77，则项数n的值为________．
四、 解答题
12 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若Sn＝20，求n的值．
13 (2023聊城临清实验高级中学月考)已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，在数列{bn}中，bn＝.
(1) 求公差d的值；
(2) 若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值．
【答案解析】
4．2.3 等差数列的前n项和(1)
1. C 因为在等差数列{an}中，a2＋a7＝18，所以 S8＝＝＝＝72.
2. C 设等差数列{an}的公差为d.因为a4＋a5＝25，S6＝57，所以2a1＋7d＝25，6a1＋d＝57，解得 a1＝2，d＝3，则{an}的公差为3.
3. B 设等差数列的公差为d，所以解得所以a8＝－5＋3×7＝16.
4. B 由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3，所以数列{an}是以a1＝－60为首项，d＝3为公差的等差数列，可得an＝a1＋(n－1)d＝3n－63，所以当n≤21时，an≤0，当n>21时，an>0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋a22＋…＋a30＝－×(a1＋a21)＋×(a22＋a30)＝－(－60＋0)＋(3＋27)＝765.
5. B 因为a9>|a8|，a8<0，所以a9>－a8，即a8＋a9>0，所以S16＝＝8(a8＋a9)>0.又S15＝＝15a8<0，所以使得Sn>0成立的最小正整数n的值为16.
6. A 在项数为2m＋1的等差数列{an}中，奇数项共有(m＋1)项，其和为＝＝(m＋1)am＋1＝140，偶数项共有m项，其和为＝＝mam＋1＝120，所以＝＝，解得m＝6.
7. BD 因为等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝＝na1＋，故A错误，B正确；又a1＝an－(n－1)d，而2Sn＝n(a1＋an)，故Sn＝nan－，故C错误，D正确．故选BD.
8. AC 对于A，由S12>0，得S12＝＝＝6(a6＋a7)>0，又因为a7<0，所以a6>0，故A正确；对于B，因为a3＝12，所以解得－0，所以当Sn<0时，n的最小值为13，故C正确；对于D，当1≤n≤6时，an>0，当n≥7时，an<0，所以当Sn最大时，n＝6，故D错误．故选AC.
9. 2 由题意可知解得
10. 设数列{an}的公差为d.由题意，得10a1＋d＝4，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，所以10a1＝5d，所以＝.
11. 7 因为等差数列{an}的前四项和为21，末四项和为67，所以a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝21＋67，所以4(a1＋an)＝88，所以a1＋an＝22.因为等差数列{an}的前n项和为77，所以＝＝77，解得n＝7.
12. (1) 设数列{an}的公差为d，
所以d＝＝2，
故an＝a4＋(n－4)d＝2n.
(2) 由(1)，得Sn＝＝＝n2＋n，
所以n2＋n＝20，
解得n＝4或n＝－5(舍去).
故n的值为4.
13. (1) 在等差数列{an}中，由S4＝2S2＋4，
得4a1＋6d＝2(2a1＋d)＋4，
解得d＝1.
(2) 由(1)知，d＝1，
则an＝a1＋(n－1)d＝n－.
由bn＝，得bn＝1＋＝1＋.
显然当n≤3时，bn<0，且数列{bn}为递减数列；
当n≥4时，bn>0，且数列{bn}为递减数列，
因此当n＝3时，bn取得最小值b3＝－1；
当n＝4时，bn取得最大值b4＝3，
所以数列{bn}中的最大项和最小项的值分别为3和－1.4．2.3 等差数列的前n项和(2)
一、 单项选择题
1 已知等差数列{an}满足a1>0，3a5＝5a8，则当数列{an}的前n项和Sn取最大值时，n的值为( )
A. 12 B. 13
C. 14 D. 15
2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋2a3＝－1，S4＝0，则Sn的最小值为( )
A. －4 B. －3
C. －2 D. －1
3 已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n的值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4 (2023江苏期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋3n，则数列{an}( )
A. 有最大项，有最小项
B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项
D. 无最大项，无最小项
5 (2023长春二中期末)已知公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S2 000＝S2 024，则下列结论中正确的是( )
A. S2 012＝0
B. S4 024＝0
C. S2 012是Sn中的最大值
D. S2 012是Sn中的最小值
6 (2023泰安新泰一中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23>0，S24<0，则Sn取得最大值时，n的值是( )
A. 23 B. 13
C. 14 D. 12
二、 多项选择题
7 设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且 S5S8，则下列结论中正确的是( )
A. d>0
B. a7＝0
C. S9>S5
D. S6与S7均为Sn的最大值
8 (2023济南莱芜一中月考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知－＝－1，S1＝12，则下列说法中正确的是( )
A. {an}是等差数列
B. 当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值
C. 数列{|an|}的前10项和是30
D. S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，且公差为－32
三、 填空题
9 (2023济宁一中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝4，则a9＋a10＋a11＋a12＝________．
10 在等差数列{an}中，若S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________．
11 (2023武汉三中月考)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对任意n∈N*，都有＝，则的值为________．
四、 解答题
12 已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，现从①a3＝－1；②d＝2；③d＝－2，这三个条件中选择一个作为已知，并完成下面问题．
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 求Sn的最小值．
13 (2023泰安新泰一中月考)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1＝1，2Sn＝n(an＋1－1)，n∈N*.
(1) 求a2，a3的值；
(2) 求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
【答案解析】
4．2.3 等差数列的前n项和(2)
1. A 设{an}的公差为d.因为3a5＝5a8，所以3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，即2a1＋23d＝0，得 d＝－a1，所以Sn＝na1－a1＝－[(n－12)2－144].因为a1>0，所以当n＝12时，Sn取最大值．
2. A 设等差数列{an}的公差为d.因为在等差数列{an}中，a1＋2a3＝－1，S4＝0，所以解得所以a2＝－1，a3＝1，且当n≥3时，an>0，所以Sn的最小值为S2＝a1＋a2＝－4.
3. C 因为{an}为等差数列，a1＝1，a3＝5，所以公差d＝＝＝2.又Sn＝64，所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去).
4. C 由Sn＝2n2＋3n，得显然当n＝1时，a1＝4×1＋1＝5，所以an＝4n＋1.因为an－an－1＝4，所以数列{an}为等差数列，首项a1＝5，公差d＝4>0，所以等差数列{an}为递增数列，有最小项a1，无最大项．
5. B 因为S2 024－S2 000＝a2 001＋a2 002＋…＋a2 024＝12(a2 012＋a2 013)＝0，即a2 012＝－a2 013，所以S4 024＝＝2 012(a2 012＋a2 013)＝0，故B正确；当d>0时，可得a10，此时S2 012<0，S2 012是Sn中的最小值；当d<0时，可得a1>a2>…>a2 011>a2 012＝－a2 013>a2 013，所以a2 013<0，此时S2 012>0，S2 012是Sn中的最大值，故ACD错误．
6. D 因为{an}是等差数列，且S23>0，S24<0，所以＝23a12>0，＝12(a12＋a13)<0，即a12＋a13<0，所以a12>0，a13<0.因为 d＝a13－a12<0，所以等差数列{an}是递减数列，所以当n＝12时，Sn取得最大值．
7. BD 根据题意，设等差数列{an}的公差为d.因为{an}是等差数列，若S6＝S7，则S7－S6＝a7＝0，故B正确；由S50，则有d＝a7－a6<0，故A错误；对于C，若S9>S5，则a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0.由a7＝0且d<0，得a8<0，必有a7＋a8<0，显然C错误；因为S5S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确．故选BD.
8. ABD 由－＝－1，S1＝12，可得数列是以＝12为首项，d＝－1为公差的等差数列，所以＝12－(n－1)＝13－n，即Sn＝n(13－n).因为开口向下的二次函数y＝x(13－x)＝－x2＋13x图象的对称轴为直线x＝，所以当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值，故B正确；由Sn＝n(13－n)，得a1＝S1＝12，Sn－1＝(n－1)(14－n)(n≥2，n∈N*)，所以an＝Sn－Sn－1＝n(13－n)－(n－1)(14－n)＝14－2n(n≥2，n∈N*)，而a1＝14－2×1＝12，所以an＝14－2n(n∈N*)，则an＋1－an＝(12－2n)－(14－2n)＝－2，所以{an}是等差数列，故A正确；由an＝14－2n，得数列{|an|}的前10项和是12＋10＋8＋6＋4＋2＋0＋2＋4＋6＝54，故C错误；由Sn＝n(13－n)，得S4＝36，S8－S4＝40－36＝4，S12－S8＝12－40＝－28，所以S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，公差为－32，故D正确．故选ABD.
9. 5 因为{an}是等差数列，所以S4，S8－S4，S12－S8也成等差数列，所以2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝2(S8－S4)－S4＝5.
10. 2 由得所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
11. 因为在等差数列{an}，{bn}中，有＝，所以可设Sn＝an(2n＋3)，Tn＝an(4n－3)，所以＝＝＝＝.
12. (1) 若选①：根据题意，得a5－a3＝2d，
即1－(－1)＝2d，解得d＝1，
故an＝a5＋(n－5)d＝1＋(n－5)×1＝n－4.
若选②：根据题意，得a1＝a5－4d＝1－4×2＝－7，
故an＝a1＋(n－1)d＝－7＋(n－1)×2＝2n－9.
若选③：根据题意，得a1＝a5－4d＝1－4×(－2)＝9，
故an＝a1＋(n－1)d＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11.
(2) 若选①：由(1)可得Sn＝na1＋＝n×(－3)＋＝，
所以当n＝3或n＝4时，(Sn)min＝－6.
若选②：由(1)可得Sn＝na1＋＝n×(－7)＋＝n2－8n，
所以当n＝4时，(Sn)min＝－16.
若选③：由(1)可得Sn＝na1＋＝n×9－×2＝－n2＋10n，
所以Sn没有最小值．
13. (1) 因为2Sn＝n(an＋1－1)，且a1＝1.
当n＝1时，2a1＝a2－1，所以a2＝3；
当n＝2时，2(a1＋a2)＝2(a3－1)，所以a3＝5.
(2) 由2Sn＝n(an＋1－1)，得2Sn－1＝(n－1)(an－1)，n≥2，
所以2an＝n(an＋1－1)－(n－1)(an－1)，
化简，得nan＋1－(n＋1)an＝1，
所以－＝＝－，
即＋＝＋(n≥2).
由(1)得＋＝＋＝2，
又＋1＝＋1＝2，
所以数列为常数列，
所以＋＝2，即an＝2n－1，
所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
故数列{an}的前n项和为Sn＝＝n2.4．2.3 等差数列的前n项和(3)
一、 单项选择题
1 (2023邢台质检联盟月考)某中学的募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到了5 000元．他们第1天只收到了20元，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，这次募捐活动一共进行了( )
A. 20天 B. 25天 C. 30天 D. 35天
2 (2023宜春期末)下列给出的图形中，每个图案均由若干个星星组成，记第n个图案中星星的个数是f(n).由f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝6，f(4)＝10，可推出f(30)的值为( )
A. 463 B. 464 C. 465 D. 466
3 (2023昆明西山期末)一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15min发出一辆车. 假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息．每辆车行驶的速度都是80km/h，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2 660 km，则该车队发出车的总辆数为( )
A. 14 B. 14或19
C. 15 D. 15或16
4 (2023白山期末)南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中讨论了一些高阶等差数列的求和方法，高阶等差数列中后一项与前一项之差并不相等，但是后一项与前一项之差或者高阶差成等差数列，如数列2，4，7，11，后一项与前一项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，一般称为“垛积术”．现有一个高阶等差数列，其前5项分别为2，6，12，22，38，则该数列的第10项为( )
A. 96 B. 142 C. 202 D. 278
二、 多项选择题
5 《周髀算经》是中国古老的天文和数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千五百二十岁．”已知有n个人，他们的年龄之和恰好为十部(即760岁)，其中年龄最小的25岁，年龄最大的m(m≤120)岁，且除了年龄最大的以外，其余n－1人的年龄依次相差2岁，则n的值可以是( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
6 (2023鹤岗一中开学考试)如图，北京天坛圆丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，且a2＝18，a4＋a6＝90，则下列结论中正确的是( )
A. a1＝9 B. {an}的公差为9
C. a6＝3a3 D. S9＝405
三、 填空题
7 (2023遂宁一模)《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积，则第十日所织几何？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积，则第10天的织布尺数为________．
8 中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日共走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________．(“里”为长度单位)
四、 解答题
9 如图，某报告厅的座位是这样的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．
(1) 求第六排的座位数；
(2) 如果要求同排的两个人要间隔一个座位就座，(每一排从左到右都按第一、三、五、七、九、…的座位就座，其余的座位不能坐)，那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？
10 (2023上海七宝中学期中)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图1，2，3，4为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多越漂亮，按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1) 求f(6)的值；
(2) 求出f(n)的表达式．
图1 图2 图3 图4
【答案解析】
4．2.3 等差数列的前n项和(3)
1. B 由题意可知，每一天收到的捐款金额成等差数列，首项为20，公差为15.设这次募捐活动一共进行了n天，则20n＋×15＝5 000，解得n＝25(负值舍去).
2. C 由题意，得f(n＋1)－f(n)＝n＋1(n≥1，n∈N)，所以f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，f(4)－f(3)＝4，…，f(30)－f(29)＝30，将上述等式累加，得f(30)－f(1)＝2＋3＋4＋…＋30，所以f(30)＝1＋2＋3＋4＋…＋30＝＝465.
3. A 设共发出n辆车，第n辆车的行驶时间为an，其中n∈N*，an>0.由第一辆车于早上8时出发，以后每隔15 min发出一辆车，得a1＝4，an＋1－an＝－，即{an}为等差数列．设{an}的前n项和为Sn，则80Sn＝2 660，可得Sn＝4n－＝，整理，得 n2－33n＋226＝(n－14)(n－19)＝0.又a14＝4－>0，a19＝4－<0，所以n＝14.
4. D 设该高阶等差数列为{an}，其前5项分别为2，6，12，22，38，设bn＝an＋1－an，其前4项分别为4，6，10，16.由题意，得bn＋1－bn＝2n，当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝4＋2＋4＋…＋2n－2＝4＋＝n2－n＋4，且b1＝4符合上式，所以bn＝n2－n＋4，即an＋1－an＝n2－n＋4，则a10＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a10－a9)＝2＋4＋6＋10＋16＋24＋34＋46＋60＋76＝278，所以该数列的第10项为278.
5. CD 设n个人的年龄从小到大构成数列{an}，其前n项和为Sn.由题意可知其前n－1项是首项a1＝25，公差d＝2的等差数列，且an－1120，故A错误；若n＝16，则a16＝S16－S15＝760－(25×15＋×2)＝175>120，故B错误；若n＝17，则a17＝S17－S16＝760－＝120≤120.又a16＝25＋15×2＝55<120，故C正确；若n＝18，则a18＝S18－S17＝760－＝63≤120，又a17＝a16＋2＝57≤63，故D正确．故选CD.
6. ABD 设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝18，a4＋a6＝90，所以a1＋d＝18，2a1＋8d＝90，解得a1＝9，d＝9，故A，B正确；可得an＝9＋9(n－1)＝9n，则a6＝9×6＝54，3a3＝3×9×3＝81，所以a6≠3a3，故C错误，S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405，故D正确．故选ABD.
7. 21 由题意可知，每天的织布尺数为等差数列，设为{an}，公差为d，则an>0.因为S4＝24，a7＝a1a2，所以解得故a10＝a1＋9d＝21.
8. 120 由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列，设这个等差数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn.根据题意可知S9＝1 260，即S9＝＝9a5＝1 260，所以a5＝140.因为a1＋a4＋a7＝3a4＝390，所以a4＝130，所以d＝a5－a4＝10，所以a3＝a4－d＝120.
9. (1) 由题意知，每排的座位数构成等差数列{an}，其中首项是a1＝9，公差为d＝2，
所以第六排的座位数是a6＝a1＋(6－1)d＝9＋5×2＝19.
(2) 因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，
第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7人，…，
所以每排就座的人数构成等差数列{bn}，且首项是b1＝5，公差是d′＝1，
所以该数列的前10项和为S10＝10b1＋d′＝10×5＋45×1＝95，
即该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．
10. (1) 由题意，得f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
则f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，
依此类推可得f(5)－f(4)＝4×4，f(6)－f(5)＝4×5，则f(5)＝41，
所以f(6)＝61.
(2) 由(1)，得f(1)＝1，f(n＋1)－f(n)＝4n，
当n≥2时，f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)
＝4(n－1)＋4(n－2)＋…＋4＋1
＝＋1
＝2n2－2n＋1，
显然当n＝1时，f(1)＝1符合上式，
所以f(n)＝2n2－2n＋1.