4．3 等 比 数 列
4.3.1 等比数列的概念
一、 单项选择题
1 下列各组数成等比数列的是( )
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；
③x，x2，x3，x4; ④a-1，a-2，a-3，a-4.
A. ①② B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
2 (2023重庆荣昌中学月考)已知3，x，27三个数成等比数列，则x的值为( )
A. 9 B. －9
C. 9或－9 D. 0
3 在数列{an}中，an＋1＝－2an，且a2＝1，则an等于( )
A. 2n-2 B. (－2)n-2
C. 2n-1 D. (－2)n-1
4 若－1，a，b，c，－9成等比数列，则下列结论中正确的是( )
A. b＝3，ac＝9 B. b＝－3，ac＝9
C. b＝3，ac＝－9 D. b＝－3，ac＝－9
5 (2023合肥一六八中月考)已知数列{an}是无穷项等比数列，公比为q，则“q>1”是“数列{an}递增”的( )
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6 (2023河南创新发展联盟月考)在正项等比数列{an}中，a3＋a4＋a5＝7，则{an}的公比为( )
A. －2或3 B. 3
C. 2或－3 D. 2
二、 多项选择题
7 下列数列为等比数列的是( )
A. b，b，b，b，…(b为常数，b≠0)
B. 22，42，62，82，…
C. 1，，－，－，…
D. ，，，，…
8 (2023益阳南县一中期末)在递增的等比数列{an}中，a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法中正确的是( )
A. a1＝1
B. 数列是首项为，公比为的等比数列
C. a1×a2×a3×…×a10＝255
D. 数列{lg an}是公差为2的等差数列
三、 填空题
9 若－1，2，a，b成等比数列，则a＋b＝________．
10 在2，x，8，y四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则x－y＝________．
11 (2023杭州高级中学期末)已知数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn.若Sn＝2an＋1－2(n∈N*)，则an＝________．
四、 解答题
12 已知数列{an}是等比数列，且a1＋2a2＝0，a3＋a4＝.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 解关于n的不等式an≥.
13 已知三个实数a，b，c成等差数列，且它们的和为27，又a＋5，b＋3，c＋2成等比数列，求实数a，b，c的值．
【答案解析】
4．3 等 比 数 列
4.3.1 等比数列的概念
1. C ①首项为1，公比为－2，是等比数列；②首项为－，公比为－，是等比数列；③当x＝0时，不是等比数列；④首项为a-1，公比为a-1，是等比数列，所以①②④成等比数列．
2. C 因为3，x，27成等比数列，所以x2＝3×27＝81，解得x＝9或x＝－9.
3. B 因为an＋1＝－2an，a2＝1，所以a1＝－，＝－2，所以{an}是首项为－，公比为－2的等比数列，所以an＝－×(－2)n-1＝(－2)n-2.
4. B 由题意，得b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号，所以ac＝b2＝9.
5. D 若a1<0，q>1，则数列{an}递减，故“q>1”不能推出“数列{an}递增”；若{an}递增，则a1>0，q>1，或a1<0，0
1”，所以“q>1”是“数列{an}递增”的既不充分又不必要条件．
6. D 设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意，得a3＋a3q＋a3q2＝7，即a3(1＋q＋q2)＝7|a3|.由an>0，得1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3(舍去).
7. AD A中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B中，≠，所以该数列不是等比数列；C中，≠，所以该数列不是等比数列；D中的数列是首项为，公比为的等比数列．故选AD.
8. BC 设等比数列{an}的公比为q，因为在递增的等比数列{an}中，a1a4＝32，a2＋a3＝12，所以a2a3＝a1a4＝32，则解得或(舍去)，所以q＝2，a1＝＝2，故A错误；可得an＝2×2n-1＝2n，所以＝＝，当n＝1时，＝，故数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；a1×a2×a3×…×a10＝21×22×23×…×210＝21+2+3+…+10＝255，故C正确；因为an＝2n，所以lg an＝lg 2n＝n lg 2，所以数列{lg an}不是公差为2的等差数列，故D错误．故选BC.
9. 4 根据题意，有＝＝，解得a＝－4，b＝8，所以a＋b＝(－4)＋8＝4.
10. －8或－24 由已知得x2＝16，16＝x＋y，解得或所以x－y＝－8或x－y＝－24.
11. 因为Sn＝2an＋1－2(n∈N*)，所以Sn－1＝2an－2(n≥2，n∈N*)，两式相减，得an＝2an＋1－2an，所以an＋1＝an(n≥2，n∈N*).又因为S1＝2a2－2＝a1，所以a2＝2，当n≥2时，an＝a2qn-2＝2×，当n＝1时，a1＝2不符合上式，所以an＝
12. (1) 因为a1＋2a2＝0，
所以公比q＝＝－.
又因为a3＋a4＝，即a1(q2＋q3)＝，
将q＝－代入上式，得a1＝1，
所以an＝a1qn-1＝ (n∈N*).
(2) 由an≥，得≥，
解得n≤5，且n是奇数，
所以原不等式的解为n＝1或n＝3或n＝5.
13. 设公差为d，因为a＋b＋c＝27，
所以b－d＋b＋b＋d＝27，解得b＝9.
又a＋5，b＋3，c＋2成等比数列，
所以(14－d)(11＋d)＝122，
解得d＝5或d＝－2，
所以或4．3.2 等比数列的通项公式及性质
一、 单项选择题
1 已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a10等于( )
A. 1 B. －1
C. 1或－8 D. －8
2 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( )
A. 32 B. 16
C. 12 D. 8
3 (2023抚顺六校协作体期末)已知{an}为等比数列，且a8＝6，则a6a的值为( )
A. 216 B. 108 C. 72 D. 36
4 (2023扬州宝应期中)已知等差数列{an}满足a1＝－8，a2＝－6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为( )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 无法确定
5 已知{an}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以Tn表示{an}的前n项积，则使得Tn达到最大值的n是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6 (2023湖北期末)设命题p：数列{an}是等比数列，命题q：数列{a2k－1}和{a2k}(k∈N*)均为等比数列，则p是q的( )
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
二、 多项选择题
7 对于任意等比数列{an}，下列说法中一定正确的是( )
A. a1，a3，a5成等比数列
B. a2，a3，a6成等比数列
C. a2，a4，a8成等比数列
D. a3，a6，a9成等比数列
8 (2023邵阳邵东创新实验学校月考)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1<1，a6a7>1，<0，则下列结论中正确的是( )
A. q>1
B. a6a8>1
C. Tn的最大值为T6
D. T13>1
三、 填空题
9 在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
10 已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式为an＝________．
11 (2024牡丹江第二高级中学期末)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝8，anan＋1an＋2＝128，则n＝________．
四、 解答题
12 在等比数列{an}中，若{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求数列{an}的通项公式an.
13 (2023南通月考)已知数列{an}的递推公式为an＝
(1) 求证：数列{an＋1}为等比数列；
(2) 求{an}的通项公式．
【答案解析】
4．3.2 等比数列的通项公式及性质
1. C 设{an}的公比为q，由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，可得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，则a10＝a4q6＝4×＝1或a10＝a4q6＝(－2)×(－2)2＝－8.
2. B 因为＝q3＝＝2，所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2×23＝24＝16.
3. A 设等比数列{an}的公比为q，由题意，得a8＝a1q7＝6，所以a6a＝a1q5(a1q8)2＝(a1q7)3＝63＝216.
4. A 因为a1＝－8，a2＝－6，所以d＝a2－a1＝2，则an＝2n－10，所以a4＝－2，a5＝0.设a1，a4，a5都加上同一个数x，则得到的三个新数依次为x－8，x－2，x，则(x－8)x＝(x－2)2，解得x＝－1.
5. A 因为{an}为等比数列，a1a3a5＝27＝a，a2a4a6＝＝a，所以a3＝3，a4＝，所以q＝＝，a1＝12，a5＝a4·q＝<1，故{an}是一个递减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以Tn表示{an}的前n项积，则使得Tn达到最大值的n是4.
6. A 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则＝q.因为＝＝q2，所以数列{a2k－1}为等比数列．因为＝＝q2，所以数列{a2k}为等比数列，所以p是q的充分条件；若数列an＝明显数列{a2k－1}和{a2k}(k∈N*)均为等比数列，但a1＝1，a2＝4，a3＝4，a1a3≠a，所以数列{an}不是等比数列，故p不是q的必要条件．综上，p是q的充分且不必要条件．
7. AD 设等比数列{an}的公比是q，则an＝a1qn-1.对于A，＝q2＝，故a1，a3，a5成等比数列，故A正确；对于B，＝q，＝q3，当q≠1时，两者不相等，故B错误；对于C，＝q2，＝q4，当q2≠1时，两者不相等，故C错误；对于D，＝q3＝，故a3，a6，a9成等比数列，故D正确．故选AD.
8. ABD 由题意，得a1>0.对于A，因为a6a7＝aq11>1，01，即q>1，故A正确；对于B，因为a6a8＝qa6a7，a6a7>1，q>1，所以a6a8>1，故B正确；对于C，由01，得数列{an}为递增数列，又<0，所以a6－1<0，a7－1>0，即a6<1，a7>1，所以T7＝a7T6>T6，故C错误；对于D，T13＝a1a2…a13＝a>1，故D正确．故选ABD.
9. 8 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
10. 3×2n-3 由已知，得a10＝a3·q7＝3·q7＝384，所以q7＝128＝27，故q＝2，所以an＝a3·qn-3＝3×2n-3.
11. 16 设等比数列{an}的公比为q，因为a1a2a3＝4，所以aq3＝4.因为a4a5a6＝8，所以aq12＝8，所以q9＝2.因为anan＋1an＋2＝128，所以aq3n＝128，可得q3n-3＝32＝q45，解得n＝16.
12. 由a＝a10＝a5·q10-5，且a5≠0，得a5＝q5，即a1q4＝q5，又q≠0，所以a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2an(1＋q2)＝5qan.
因为an≠0，所以2(1＋q2)＝5q，解得q＝或q＝2.
因为a1＝q，且{an}为递增数列，
所以所以an＝2·2n-1＝2n(n∈N*).
13. (1) 因为an＝2an－1＋1(n≥2)，
所以an＋1＝2an－1＋2＝2(an－1＋1)(n≥2).
易证an>0(n≥1)，则an－1＋1>0(n≥2)，
可得＝2(n≥2)，
所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
(2) 由(1)知，an＋1＝2n(n≥1)，
即an＝2n－1(n≥1)，
所以{an}的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*).4．3.3 等比数列的前n项和(1)
一、 单项选择题
1 等比数列1，，，，…的前n项和为( )
A. 2－ B. 1－
C. D. 2－
2 (2023商洛模拟)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝32n+1＋m，则实数m的值为( )
A. 3 B. 9 C. －9 D. －3
3 (2023浙江北斗星盟月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，则其公比q的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若 an＝81，Sn＝121，公比q＝3，则项数n为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5 (2023重庆一中期中)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6 (2023哈尔滨六校联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝9，则S15的值为( )
A. 48 B. 81 C. 93 D. 243
二、 多项选择题
7 (2023淮安涟水一中月考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项和S3＝21，则S5的值可能是( )
A. 35 B. － C. D. 1
8 (2024盐城期末)已知等比数列的公比为q，前n(n∈N*)项和为Sn，若a1＝，S6＝9S3，则下列结论中正确的是( )
A. q＝
B. q＝2
C. Sn＝2an－(n∈N*)
D. Sn＋1＝2Sn＋(n∈N*)
三、 填空题
9 (2023镇江一中月考)已知正项等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 7S2＝4S4，则公比 q 的值为________．
10 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝λ·3n-1－1(λ∈R)，则a7＝________．
11 在数列{an}中，an＋1＝3an，前99项和 S99＝52，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________．
四、 解答题
12 在等比数列{an}中，
(1) 已知a1＝1，公比q＝－2，求前8项和S8；
(2) 已知a1＝－，a4＝96，求前4项和S4；
(3) 已知公比q＝，前5项和S5＝，求a1，a5.
13 (2023东莞万江中学月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2(an－1).
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设bn＝a2n，求数列{bn}的前20项和T20.
【答案解析】
4．3.3 等比数列的前n项和(1)
1. D 设该数列为{an}，数列{an}的公比为q.由题意知，a1＝1，a2＝，所以q＝＝，所以数列{an}的前n项和Sn＝＝2＝2－.
2. D 当n＝1时，a1＝S1＝32+1＋m＝27＋m；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n+1＋m－[32(n-1)+1＋m]＝8×32n-1.又{an}是等比数列，所以a1＝8×32×1-1＝24＝27＋m，解得m＝－3.
3. C 因为a1＋a3＝30，S4＝120，所以q≠1，所以a1＋a3＝a1(1＋q2)＝30，S4＝＝120，则＝＝＝1＋q＝4，解得q＝3.
4. B 因为an＝81，Sn＝121，公比q＝3，所以＝121，解得a1＝1，所以81＝3n-1，解得n＝5.
5. B 因为等比数列{an}有2n＋1项，所以奇数项有n＋1项，偶数项有n项，设其公比为q，则奇数项为1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n-1)＝85，偶数项为q＋q3＋q5＋…＋q2n-1＝42，可得q＝2，所以前2n＋1项和为＝85＋42＝127，解得n＝3.
6. C 设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S3＝3a1＝3，得a1＝1，则S6＝6a1＝6≠9，故q≠1，则＝＝＝1＋q3＝＝3，即q3＝2，所以＝＝＝＝31，所以S15＝31S3＝31×3＝93.
7. AC 设等比数列an＝a1qn-1(q≠0)，则a3＝a1q2＝7，即a1＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝＝21，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.当q＝1时，an＝a3＝7，所以S5＝5×7＝35；当q＝－时，an＝a3qn-3＝7×＝28×，所以a1＝28，S5＝＝＝.故选AC.
8. BC 由S6＝9S3，得q＝1显然不合题意，则＝，解得q＝2，故A错误，B正确；an＝·2n-1＝2n-4，Sn＝＝2n-3－，Sn＋1＝2n-2－，故C正确，D错误．故选BC.
9. 因为{an}是正项等比数列，所以首项a1>0，公比q>0.因为当q＝1时，7S2＝14a1，4S4＝16a1≠14a1，所以q≠1.又因为7S2＝4S4，所以7×＝4×，解得q＝.
10. 1 458 等比数列{an}的前n项和Sn＝λ·3n-1－1(λ∈R)，当n＝1时，a1＝S1＝λ－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2λ·3n-2.因为{an}为等比数列，所以公比q＝＝＝3，则λ＝3，所以an＝2·3n-1，所以a7＝2×36＝1 458.
11. 36 因为an＋1＝3an，所以数列{an}为等比数列，且q＝3.因为前99项和S99＝(a1＋a4＋…＋a97)＋(a2＋a5＋…＋a98)＋(a3＋a6＋…＋a99)＝(＋＋1)(a3＋a6＋a9＋…＋a99)＝(a3＋a6＋a9＋…＋a99)＝52，所以a3＋a6＋a9＋…＋a99＝36.
12. (1) 因为a1＝1，公比q＝－2，
所以前8项和S8＝＝－85.
(2) 设等比数列{an}的公比为q.
因为a1＝－，a4＝96，
所以－q3＝96，解得q＝－4，
所以前4项和S4＝＝.
(3) 因为公比q＝，前5项和S5＝，
所以a1·＝，解得a1＝2，
所以a5＝2×＝.
13. (1) 当n＝1时，S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2；
当n≥2时，由Sn＝2(an－1)，得Sn－1＝2(an－1－1)，
则Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
故{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2×2n-1＝2n.
(2) 由题意，得bn＝a2n＝22n＝4n，
所以bn的前20项和为T20＝4＋42＋…＋420＝＝.4．3.3 等比数列的前n项和(2)
一、 单项选择题
1 若在等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则{an}的前8项和为( )
A. 90 B. 30(＋1)
C. 45(＋1) D. 72
2 已知Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n-1，则Sn的值为( )
A. 2n－1 B. 2n-1－1
C. 2n－n－1 D. 2n+1－n－2
3 (2023山西期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝8，则S16的值为( )
A. 8 B. 26 C. 80 D. 54
4 (2023衡阳二中期末)已知等比数列{an}的公比为－，前n项和为Sn.若S2m＝31，Sm＝32，则m的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
5 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为( )
A. －2 B. 2 C. －3 D. 3
6 (2023上海北虹高级中学期末)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3－2an＋1(n∈N*)，且a1＝2，则ai的值为( )
A. 3－ B. 3－
C. 4－ D. 4－
二、 多项选择题
7 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法中正确的是( )
A. q＝2
B. ＝9
C. S3，S6，S9成等比数列
D. Sn＝2an＋a1
8 (2023沧州吴桥中学月考)已知正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，a4＝2，a6＝8，则下列结论中正确的是( )
A. q＝2
B. a10＝256
C. 数列是递减数列
D. Sn＝2n-1－
三、 填空题
9 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝________．
10 (2023镇江丹阳期中)已知数列{an}共有10项，该数列的前5项成等比数列，后6项成等差数列，且a2＝4，a6＝34，a10＝42，则a8－a3＝________；数列{an}所有项的和为________．
11 (2023盐城一中期中)已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，S4＝10，则2S12－3S8＋S4的最小值为________．
四、 解答题
12 正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S3＝7，S6＝63.
(1) 求公比q；
(2) 求证：数列S3，S6－S3，S9－S6是等比数列．
13 (2023哈尔滨三中期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－2n＋1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若bn＝a，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案解析】
4．3.3 等比数列的前n项和(2)
1. A 因为在等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝12，所以q2＝2，所以a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝24，a7＋a8＝48，所以{an}的前8项和S8＝6＋12＋24＋48＝90.
2. D 因为an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1，所以Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝－n＝2n+1－n－2.
3. C 在等比数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也成等比数列．因为S4＝2，S8＝8，所以S8－S4＝6，所以S12－S8＝18，S16－S12＝54，故S16＝2＋6＋18＋54＝80.
4. C 方法一：因为等比数列{an}的公比q＝－，所以S2m＝＝31，Sm＝＝32，则＝＝＝1＋qm＝1＋＝，解得m＝5.
方法二：根据等比数列前n项和的性质，得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，且公比为qm，即＝qm.又q＝－，所以＝，解得m＝5.
5. B 设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8.因为＝＝qm＝8＝，所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2.
6. B 令n＝1可得a1＝3－2a2，又因为a1＝2，所以a2＝.由Sn＝3－2an＋1(n∈N*)可得Sn－1＝3－2an(n≥2)，两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an＋1，则an＝2an－2an＋1，所以＝.又因为＝＝≠，所以数列{an}是从第二项开始，以为公比的等比数列，所以an＝故ai＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＋a2 024＝2＋＝2＋1－＝3－.
7. AB 对于A，若a6＝8a3，则q3＝＝8，解得q＝2，故A正确；对于B，由q＝2，得＝＝9，故B正确；对于C，由q＝2，得S3＝＝7a1，S6＝＝63a1，S9＝＝511a1，所以S3，S6，S9不是等比数列，故C错误；对于D，由q＝2，得Sn＝＝(2n－1)a1，an＝a1qn-1＝2n-1a1，所以Sn＝2an＋a1不成立，故D错误．故选AB.
8. AC 由正项等比数列{an}的公比为q，得an＝a1qn-1，an>0，q>0.因为a4＝2，a6＝8，所以解得a1＝，q＝2，则an＝×2n-1＝2n-3，故A 正确；对于B，a10＝a1q9＝×29＝128，故B错误；对于C，因为an＝2n-3，所以－＝－＝－<0，即<，故数列是递减数列，故C正确；对于D，Sn＝＝＝2n-2－，故D错误．故选AC.
9. 因为210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，所以210(S30－S20)＝S20－S10，即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20.因为an＞0，所以210q10＝1，解得q＝(负值舍去).
10. 30 252 由已知a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，设其公比为q，a5，a6，a7，a8，a9，a10成等差数列，设其公差为d，所以d＝＝＝2，a5＝a6－d＝34－2＝32，可得q3＝＝＝8，解得q＝2，所以a1＝2，所以a8－a3＝(42－4)－4×2＝30，数列{an}所有项的和为＋＝252.
11. － 由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2.因为S4＝10，所以S12－S8＝＝，所以2S12－3S8＋S4＝2(S12－S8)＋S4－S8＝－S8＋10＝，当且仅当S8＝时取最小值，故所求最小值为－.
12. (1) 因为正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S3＝7，S6＝63，
所以q≠1，故可得q＝2.
(2) 由(1)得＝－1，
所以S9＝(1－q9)＝511，
所以S3＝7，S6－S3＝56，S9－S6＝448.
又7×448＝562，
所以(S6－S3)2＝(S9－S6)·S3，
故数列S3，S6－S3，S9－S6是等比数列．
13. (1) 当n＝1时，2S1＝2a1＝3a1－2×1＋1＝3a1－1，解得a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3an－2n＋1)－[3an－1－2(n－1)＋1]＝an－an－1－1，
化简，得an＝3an－1＋2，
所以an＋1＝3(an－1＋1)，即＝3，
所以数列{an＋1}以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋1＝2×3n-1，即an＝2×3n-1－1.
(2) 因为an＝2×3n-1－1，
所以bn＝a＝(2×3n-1－1)2＝4×9n-1－4×3n-1＋1，
所以Tn＝4(90＋91＋…＋9n-1)－4(30＋31＋…＋3n-1)＋n
＝4×－4×＋n
＝×9n－2×3n＋n＋.4．3.3 等比数列的前n项和(3)
一、 单项选择题
1 (2023福州闽侯一中月考)某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年年底连本带息共有40万元. 如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)，则每年应该存入约(参考数据：1.027≈1.149，1.028≈1.172)( )
A. 5.3万元 B. 4.1万元
C. 7.8万元 D. 6万元
2 (2023西安中学月考)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1 200尺，则打穿墙需要(结果取整数)( )
A. 10天 B. 11天
C. 12天 D. 13天
二、 多项选择题
3 一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下列结论中正确的是( )
A. Sn<500
B. Sn≤500
C. Sn的最小值为
D. Sn的最大值为400
4 (2023武汉东湖中学期中)十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年，他写成的《律学新说》提出了十二平均律的理论，十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则下列说法中正确的是( )
A. 插入的第8个数为
B. 插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C. M >3
D. N<7
三、 填空题
5 (2023淮北树人高级中学期中)小明用数列{an}记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1；当第k天没下过雨时，记ak＝－1(1≤k≤31).他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bn＝1；当预报第k天没有雨时，记bn＝－1.记录完毕后，小明计算出a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为________．
6 德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过n次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为________．(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
四、 解答题
7 若某地区2019年年底人口总数为50万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2020年年初开始到2029年年底，每年人口比上一年增加0.2万人，从2030年年初开始到2039年年底，每年人口为上一年的99%.(注：2019年年底的人口总数即为2020年年初的人口总数，以此类推)
(1) 求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式(注：2020年年底为第1年)；
(2) 若实施新政策后，从2020年年初到2039年年底平均每年的人口总数超过51.5万，则需调整政策，否则无需调整．试判断到2039年年底是否需要调整政策．(0.9910≈0.9)
【答案解析】
4．3.3 等比数列的前n项和(3)
1. A 设每年应该存入x万元，则2021年年初存入的钱到2027年年底的本利和为x(1＋2%)7，2022年年初存入的钱到2027年年底的本利和为x(1＋2%)6，…，2027年年初存入的钱到2027年年底的本利和为x(1＋2%)，则x(1＋2%)＋x(1＋2%)2＋…＋x(1＋2%)7＝40，即＝40，解得 x≈5.3.
2. B 设大鼠和小鼠每天穿墙的尺寸分别构成数列{an}，{bn}，它们都是等比数列，其中a1＝b1＝1，{an}的公比为q1＝2，{bn}的公比为q2＝.设经过n天，大鼠和小鼠穿墙尺寸的和为f(n)，则f(n)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝＋＝2n＋1－.因为y＝2n与y＝－在区间[1，＋∞)上均单调递增，所以f(n)在区间[1，＋∞)上单调递增．因为f(10)＝210＋1－＝1 024＋<1 200，f(11)＝211＋1－＝2 048＋>1 200，所以当1≤n≤10时，f(n)<1 200，当n≥11时，f(n)>1 200，因此需要11天才能打穿．
3. AC 由题意知，第一次着地时，S1＝100；第二次着地时，S2＝100＋200×；第三次着地时，S3＝100＋200×＋200×；…；第n次着地时，Sn＝100＋200×＋200×＋…＋200×，则Sn＝100＋200[＋＝100＋400[1－]，显然 Sn<500，Sn是关于n的增函数，又n≥2，故当n＝2时，Sn有最小值为100＋＝.故选AC.
4. ABC 设该等比数列为{an}，其公比为q.由题意，得a1＝1，a13＝2，所以q12＝2，解得q＝2，所以a9＝a1q8＝2＝，即插入的第8个数为，故A正确；插入的第5个数为a6＝a1q5＝(2)5＝2，插入的第1个数为a2＝a1q＝2，所以插入的第5个数是插入的第1个数的倍，故B正确；M＝＝＝＝－1－，要证M>3，即证－1－>3，即证>4，即证>2，即证>2，而>(1.5)6>2，故C正确；易知N＝M＋3，因为>1.46>1.93>2，所以>2，则>5，所以－1－>4，所以M>4，因此N＝M＋3>7，故D错误．故选ABC.
5. 28 由题意可知，当气象台预报准确时，akbk＝1；当预报不准确时，akbk＝－1.令a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋akbk＝m，设其中有x天准确，即等式左边有x个1，(k－x)个－1，则x－(k－x)＝m，解得x＝，所以该月气象台预报准确的总天数为x＝＝28.
6. 18 由题意，得第n次操作后共保留4n个小正方形，其边长为，所以保留下来的所有小正方形面积之和为4n×＝.由已知有≤，则n≥，即n≥＝＝≈17.09，故至少操作18次．
7. (1) 当1≤n≤10，n∈N*时，a1＝50＋0.2＝50.2，d＝0.2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝50.2＋(n－1)×0.2＝50＋0.2n，
当11≤n≤20，n∈N*时，a10＝50＋0.2×10＝52，q＝0.99，a11＝52×0.99，
所以an＝52×0.99×0.99n-11＝52×0.99n-10，
所以实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为
an＝
(2) 当1≤n≤10，n∈N*时，记前10年的人口总数为S10，
S10＝＝511，
当11≤n≤20，n∈N*时，记后10年的人口总数为T10，
T10＝≈52×0.99×10＝514.8.
因为＝＝51.29<51.5，
所以到2039年年底不需要调整政策．