2023—2024 学年初三年级阶段性测试试卷
数学模拟演练
说明：本试卷全卷共 8 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷 选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1． 2的绝对值是（ ）
2 1 1A．2 B． C． D．
2 2
2．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果.下列花窗图案
中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
3 3
A． 2 3 6 B． 3 5 C 2．5a a3 6a3 D． 3a2 9a45
4．瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌，在商业包装中有着
举足轻重的作用.如图所示，是一件正六棱柱瓦楞纸箱，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点 E， F 分别在直线 AB，CD上， AB CD，G是直线 AB上方一点， FEG 76 ，
CFE 56 ，若 EH 平分 FEG，则 BEH 的度数为（ ）
A．14° B．16° C．18° D．28°
k
6．如图，点 A是反比例函数 y 的图象上的一点，过点 A作 AB x轴，垂足为 B .点C为 y轴上一点，
x
连接 AC，BC .若△ABC的面积为 3，则 k的值是（ ）
A．3 B． 6 C．6 D． 3
7．如图，四边形 ABCD内接于 O，直线 EF 与 O相切于点 A，且 AB AD .若 BAE 35 ，则 BCD
的度数为（ ）
A．35° B．55° C．70° D．80°
1 10
8．化简 2 的结果为（ ）5 x x 25
A． x 5 B． x 5 1 1C． D．
x 5 x 5
9．杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体质量的简易衡器.如图 1所
示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩 A处，提起提纽 B，在秤杆上
移动金属秤锤C（质量为 1.5kg），当秤杆水平时，金属秤锤C所在的位置对应的刻度就是待测物的质量（量
程范围内）.为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用m（单位：kg）表示待测物的质量， l（单
位：cm）表示秤杆水平时秤锤C与提纽 B之间的水平距离，则水平距离 l与待测物质量m之间的关系如图
2所示.
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤C与提纽 B之间的水平距离越小
B．当待测物的质量m为 3kg 时，测得水平距离 l为 8cm
C．若秤锤C在水平距离 l为 15cm的位置，则秤杆在此处的刻度应为 5kg
D．若秤杆长为 80cm，则杆秤的最大称重质量为 40kg
10．如图，在Rt△ABC中， C 90 ， AC 12cm，BC 16 cm，点 P，Q分别从 A，B两点出发沿
AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为 2cm/s.设运动时间为 t s，则当△PCQ的面积是△ABC的
面积的一半时， t的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共有 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．若最简二次根式 a 3与 5是同类二次根式，则 a ___________.
12．黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）
之一“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为 18元，标价为 21元，在春节期间，该超市准备打折
销售，但要保证利润率不低于 5%，则至多可以打___________折.
13．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，过点D作DH AB于点H ，连接OH .若OB 5，
则OH的长为___________.
14．苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物.如图是某小组用小木棒摆
放的苯及其衍生物的结构式，第 1个图形需要 9根小木棒，第 2个图形需要 16根小木棒，第 3个图形需要
23根小木棒.……按此规律，第 n个图形需要__________根小木棒.（用含n的代数式表示）
15．如图，在正方形 ABCD中， F 是 AB边上一点，连接CF ，过点 B作 BE CF于点 E，连接 AE并
延长，交 BC边于点G .若 AF 1， BC 4，则线段CG的长为___________.
三、解答题（本题共有 8 个小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16．（10分）
0
（1）计算： 4 1 5 4 2 4 1；
1 2m m 2
（2）化简： .
m 2 m2 4 m2 2m
17．（7分）如图，在△ABC中， ACB 90 .
（1）实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母.（保留作图痕迹，不写作法）
①作 AC的垂直平分线交 AC于点O，交 BC于点D；
②在线段DO的延长线上截取线段OE，使OE OD，连接 AE，CE， AD .
（2）猜想与证明：试猜想四边形 ADCE的形状，并进行证明.
18．（8分）
“杨花榆荚无才思，惟解漫天作雪飞”，每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，
漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰.某市为了解市民对治理杨絮方法的赞同情
况，随机抽取了部分市民进行问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
调查问卷治理杨絮一一您选哪一项？（单选）
A．减少杨树新增面积，控制每年杨树的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树
C．选育无絮杨树品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
E．其他
解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有__________人，在扇形统计图中，E所对应的扇形圆心角的度数为___________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该市共有 500万人，请估计该市选择”A.减少杨树新增面积，控制每年杨树的栽种量”的人数有多
少万人.
19．（8分）
为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置 A，B两
种奖品.校学生会计划去某超市购买 A，B两种奖品共 300个， A种奖品每个 20元， B种奖品每个 15元，
该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）.
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买 5个 A种奖品赠送 1个 B种奖品.
方案二： A种奖品按原价购买， B种奖品每个打八折.
设校学生会计划购买 x个 A种奖品，且 x是 5的倍数，选择方案一的总费用为 y1元，选择方案二的总费用
为 y2 元.
（1）请分别写出 y1， y2与 x之间的函数关系式；
（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
20．（10分）【项目化学习】
项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻
止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而
变化，“兴趣实践小组”通过实地反复测量实验得出以下具体数据并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图.
成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果请同学们分析成果展示并完成任务：
项目主题 遮阳伞下的影子
我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角 参照表：
时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00
太阳光线与地面的夹角 （度） 90 80 65 50 35 20
项目素材
参考数据： sin 65 0.91，cos65 0.42， sin50 0.77， cos50 0.64，
sin15 0.26， cos15 0.97， 2 1.4， 3 1.7 .
示意图
如图，某款遮阳伞的立柱 AC垂直于地面 AB，P为立柱上的滑动调节点，CF为悬托支杆，
F 为 PD的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为△PDE，
测量数据
DP、DE为伞体支架，且DP DE，测量得到 AC 2.8米， PD 2米，CF 1米，
DPE 15 .
项目结果 “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组”
中午 12：00时，太阳光线与地
下午 14：00时，调整点 P的
面垂直时，将点 P的位置进行
位置及伞体倾斜度，当太阳
下午 17:00时，…
适当调整，使 PE AB，遮阳 光线与PE垂直时，遮阳效果
最佳.
效果最佳.
项目反思 …
任务一：填空：如图 2，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆CF 与伞
体支架DE的关系是__________；
任务二：请你参照“创新小组”的项目结果进行计算（注意：计算结果均精确到 0.1米）
①如图 3，求立柱上的滑动调节点 P离地面 AB的距离约多少米；
②如图 4，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子 BQ的长.
21．（8分）
阅读材料，并解决下列问题：
在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方
法来探索无理数的近似值.我们知道，面积为 2的正方形的边长为 2，易知 2 1 .因此可设 2 1 x .
2
如图 1所示构造边长为1 x的正方形，则它的面积为 2 2，
2
根据图中面积关系，得 x 2x 1 2，
2
略去 x ，得 2x 1 2，解得： x 0.5， 2 1 x 1.5，
2
易知 2 1.5，因此可设 2 1.5 x .如图 2所示构造边长为1.5 x的正方形，则它的面积为 2 2，
（1）上述的分析过程中，主要运用的数学思想是___________.（填序号即可）
A.数形结合 B.统计 C.分类讨论 D.转化
（2）把上述内容补充完整，使 2的近似值更加准确.（结果精确到 0.001）
22．（本题 12分）综合与探究
y ax2如图，二次函数 bx 2的图象与 x轴交于 A 1,0 ，B 4,0 两点，与 y轴交于点C，连接 AC，
BC . P是抛物线上第一象限内的一个动点，过点 P作 PD x轴于点D，交 BC于点 E，过点 P作直线
PF AC，交 y轴于点 F ，交 BC于点G，连接DF，过点C作CH PD于点H .
（1）求二次函数的表达式，并直接写出直线 BC的函数表达式.
（2）求线段GE的最大值.
（3）在点 P运动的过程中，是否存在点 F ，使△DOF≌△CHE？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若
不存在，请说明理由.
23．（本题 12分）综合与实践
问题情境：如图 1，正方形纸片 ABCD和 EFGB有公共顶点 B，其中 AB 4 5，BE 4，将正方形 EBGF
绕点 B按顺时针方向旋转 .
观察发现：（1）如图 2，当 90 时，连接 AE，CG，小组成员发现 AE与CG存在一定的关系，其数
量关系是___________，位置关系是___________.
探索研究：（2）当 A， E， F 三点共线时，请在图 3中画出图形，并直接写出此时DE的长度.
拓展延伸：（3）猜想图 3中CF与FG的数量关系并证明.2023——2024 学年初三年级阶段性测试试卷
数学模拟演练参考答案
（考试时间：上午 7：30——9：30）
一、选择题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D A B C B C C B B
二、填空题（本大题共有 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．2 12．九 13．5 14． 7n 2 （说明：不加括号不得分）
16
15．
13
三、解答题（本大题共有 8 个小题，满分 75 分）
16．解：（每小题 5分，共 10分）
（1）原式 3 1 16 1 ， 2分
4
4 4 . 4分
0 . 5分
2
1 2m m 2
（ ）原式
1分
m 2 m2 4 m2 2m
m 2 2m m m 2
2分
m 2 m 2 m 2 m
2 m 2
m 2 2m m m 2
3分
m 2 m 2 m 2
m 2 m
4分
m 2 m 2
m
. 5分
m 2
17．（本题 7分）
解：（1）按照要求，如图所示，即为所求作的图形.
3分
（2）猜想：四边形 ADCE为菱形. 4分
证明： DE为 AC的垂直平分线，
OA OC， 5分
OD OE，
四边形 ADCE为平行四边形， 6分
又 DE AC，
四边形 ADCE为菱形. 7分
18．（本题 8分）
（1）2000， 28.8 ；（每空 1分，共 2分） 2分
（2）D选项的人数为 2000 25% 500（人） 3分
补全条形统计图如图：
5分
（3）500 15% 75（万人）， 7分
答：估计该市选择“A.减少杨树新增面积，控制每年杨树的栽种量”的人数有 75万人. 8分
19．（8分）
x
解：（1 ）根据题意，得 y1 20x 15 300 x 2x 4500， 1分
5
y2 20x 15 80% 300 x 8x 3600 . 3分
（2）由 y1 y2 ，得 2x 4500 8x 3600 .
解得： x 150；
购买 A种奖品少于 150个时，方案一支付费用少. 4分
由 y1 y2 ，得 2x 4500 8x 3600 .
解得 x 150；
购买 A种奖品 150个时，方案一和方案二支付费用一样多； 5分
由 y1 y2 ，得 2x 4500 8x 3600 .
解得： x 150 .
购买 A种奖品超过 150个时，方案二支付费用少； 6分
答：当校学生会购买少于 150个 A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买 150个 A种奖
品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于 150个且少于 300个 A种奖品时，选择方案一
支付的费用较少. 8分
20．（10分）
1
（1）任务一：CF DE，CF DE； 2分
2
（2）任务二：①如图 2所示，过点 P作 PH AB交 BE于H ，过点 F 作 FG AC于G， 3分
由题意得 ABE 65 ， PEH 90 ，
PH AB，
EHP ABE 65 ，
EPH 25 .
由任务一可知 CPH 90 ，CF PF 1米，
又 DPE 15 ，
FPC 50 ； 4分
CF PF 1米， FG AC，
PC 2PG，
在Rt△PFG中， PG PF cos FPG 1 cos50 0.64（米），
PC 2PG 1.28米， 5分
PA AC PC 1.5米，
立柱上的滑动调节点 P离地面 AB的距离约 1.5米； 6分
②如图 3所示，过点P作 PH AB交BE于H ，过点D作DK PE于K， 7分
DP DE，
PE 2PK ，
在Rt△DPK中， PK PD cos DPK 2 cos15 1.94（米），
PE 2PK 3.88米，
在Rt PHE PH PE 3.88△ 中， 4.3（米）， 8分
sin PHE sin 65
PQ BH ， PH BQ，
四边形 PQBH 是平行四边形， 9分
BQ PH 4.3米，
伞体在地面上留下的影子 BQ的长为 4.3米. 10分
21．（8分）
（1）A. 3分
2 2 2（ ）根据图中面积关系，得1.5 x 2x 1.5 x 2， 4分
整理得 x2 3x 2.25 2， 5分
略去 x2，得 3x 2.25 2，解得 x 0.0833， 7分
2 1.5 x 1.5 0.0833 1.417 . 8分
22．（12分）
解：（1）由题意得： y a x 1 x 4 a x2 3x 4 ax2 bx 2，
1
则 a ，
2
1 3
则抛物线的表达式为： y x2 x 2， 2分
2 2
则点C 0,2 ，
由点 B 1、C的坐标得，直线 BC的表达式为： y x 2； 4分
2
2 P （ ）设点 m,
1 3 1
m2 m 2 E ，则点 m, m 2
，H m, 2 ， 5分
2 2 2
过点 E作ME x轴交过点G和 y轴的平行线于点M ，则 GEM CBA，
1
由直线BC的表达式知， tan CBA tan GEM ，
2
则 cos GEM 2 ，
5
则CE ME 5 ME， 6分
cos GEM 2
由点 A、C的坐标得，直线 AC的表达式为： y 2x 2，
PF AC ，
PF y 2 x m 1 3则直线 的表达式为： m2 m 2，
2 2
联立上式和直线BC 1 1的表达式为： x 2 2 x m m2 3 m 2，
2 2 2
1
解得： x 2G m m ，5
ME x x m 1 m2 m 1 4则 E G m2 m， 7分5 5 5
1 0，
5
4
当m 2时，ME有最大值为 ，
5
则CE 2 5的最大值为： ； 8分
5
（3） F 5 1点坐标为 0, 1 或 0, 12分
2
评分说明：答出一个坐标得 2分，共 4分。
23．（12分）
（1） AE CG； AE CG 2分
（2）如图 2，
当点 E在 AF 上时，
四边形 EFGB是正方形，
FEB 90 ，
AEB 90 ， 3分
作EM AB于M ，作 EN AD于N ，
AME BEM ANE AFB 90 ，
四边形 AMEN 是矩形， 4分
cos ABE BM BE ，
BE AB
BM 4
，
4 4 5
BM 4 5 ，
5
2
2 2 2 4 5 8 5 EM BE BM 4 5
，
5
AM AB BM 4 5 4 5 16 5 ，
5 5
AN EM 8 5 ， 5分
5
DN AD AN 4 5 8 5 12 5 ，
5 5
2 2
DE DN 2 EN 2 12 5 16 5 4 5， 6分
5 5
如图 3，
当E在 AF 的延长线上时，
8 5 16 5
由上知： EM ，EN ，
5 5
DN AD AN 8 5 28 5 4 5 ，
5 5
2 2
DE 16 5
28 5
5
4 13， 8分
5
综上所述：DE 4 5或 4 13；
（3）如图 2和图 3中，
2
AE AB 2 BE 2 4 5 42 8， 9分
由（1）得CG AE 8，
图 2中，CF FG，
图 3中，CF 3FG，
综上所述：CF FG或CF 3FG . 12分
评分时根据以上评分标准进行赋分，开放性试题答案合理即可。
