【北师大版九上同步练习】2.5 一元二次方程的根与系数的关系（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
2.5一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．小华在解一元二次方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是（　　）
A． B．=3 C． D．
2．设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（　　）
A．1 B． C．0 D．3
3．若，是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．5 B． C．1 D．
4．关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B．3 C．5 D．7
二、填空题
6．已知关于的方程的两个实数根的平方和7，则　 　．
7．已知关于x的方程有两个实数根，此方程两根分别为α，β，且，则　 　．
8．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为　 　．
三、计算题
9．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）方程的两个实数根，满足，求实数的值．
10．解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x -8x-4=0。
（2）已知一元二次方程2x -mx-m=0的一个根是 。求m的值和方程的另一个根。
四、解答题
11．设是关于x的一元二次方程的两个根，求下列各式的值：
（1）
（2）．
12．已知．
（1）化简T；
（2）若a、b是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，求T的值．
13．已知关于x的方程(k-1)x2-2kx+k+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
五、综合题
14．不解方程，求下列方程的两根 的和与积．
（1）
（2）
15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求m的值．
16．已知关于x的方程x2＋(2k+1)x＋k2＋1＝0有两个实数根x1，x2.
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2.满足｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2求实数k的值．
六、实践探究题
17．阅读材料并回答问题：
（1）方程的根为，，，．方程的根为，，，．程的根为，，　 　，　 　．
（2）从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是　 　．
（3）用你发现的规律解答下列问题：
①不解方程，直接计算：方程的两根分别是、，则 ▲ ， ▲ ；
②方程的两根分别是、，则 ▲ ．
③已知一元二次方程的一个根为6，求及方程的另一个根．
18．阅读与思考：
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为，则　 　，　 　；
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
（3）思维拓展：已知实数满足，且，求的值．
19．阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2= ．
材料2：已知实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求 的值．
解：由题知m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1．
∴ ．
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1、x2，则x1+x2=4，x1x2=　 　；
（2）已知实数m，n满足 ， ，且m≠n，求m2n+mn2
的值；
（3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
6．【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
7．【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
8．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
9．【答案】（1）且
（2）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
10．【答案】（1）解： x -8x-4=0
x -8x+16=16+4
（x-4）2=20
x-4=±25
（2）解：把x=-12代入 2x -mx-m=0
m=1
则 2x -x-1=0
则
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
11．【答案】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴；
（2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
12．【答案】（1）解：
故答案为：.
（2）解：∵a，b是方程x2-7x+12=0的两个根，
∴
∴
故答案为：.
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系
13．【答案】（1）解：当k-1=0，即k=1时，方程为-2x+3=0，x= ，即方程有实数根；当k-1≠0时，b2-4ac=(-2k)2-4(k-1) ·(k+2)≥0，方程有实数根，即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．
（2）解：存在，x1 ，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的两个实数根，
∴(k-1)x12-2kx1+k+2=0 ①，
x1+x2= ，，
∵(k-1)x12-2kx1+k+2=4x1x2， ∴(k-1)x12+2k(-x1)+k+2=， 即(k-1)x12 -2kx1 +k+2+=②，
把①代人②得，解得k=2或h=-1．
由(1)可知k≤2且k≠1，∴k=2或-1．存在实数k，k=2或-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
14．【答案】（1）根据根与系数的关系可得： ， .
（2）根据根与系数的关系可得： ， ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
15．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
16．【答案】（1）解：由题意得：△=(2k+1)2-4(k2＋1)，=4k2+4k+1-4k2-4，=4k-3≥0，解得k≥.
（2）解： ∵｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2 ，∴ x12＋x22+2｜x1x2｜＝x12x22,(x1+x2)2-2x1x2+2｜x1x2｜＝x12x22,∵x1x2= k2＋1 >0, x1+x2=2k+1,∴(x1+x2)2＝x12x22,(2k+1)2=( k2＋1 )2,∴2k+1= k2＋1 ,解得k=0（舍去），k=2,2k+1=-( k2＋1) ,即k2＋2k+2=0,（k+1）2+1=0,无解综上k=2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
17．【答案】（1）；
（2），
（3）①2，-1；②7；
③∵一个根为6，x1+x2
∴另一根为x2＝3﹣6＝﹣3；
∵x1 x2
∴6×（﹣3）＝﹣3a，
解得a＝6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；探索数与式的规律
18．【答案】（1）；
（2）一元二次方程的两个实数根分别为，
，
；
（3）实数满足，且，
是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
19．【答案】（1）-3
（2）解：∵m、n满足 ， ，
∴m、n可看作方程 的两实数解，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：设 ，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，
则p与t（即2q）为方程 的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
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