【北师大版九上同步练习】 2.6 应用一元二次方程（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
2.6应用一元二次方程
一、单选题
1． 12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．=3.2
C． D．
2．有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
3．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（　　）
A．x(x+1)=45 B．=45 C．x(x-1)=45 D．=45
5． 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6． 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 　 　个人．
7．《南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阁与长共六十步，问阔及长各几步？"其大意是：长方形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步？若设宽为步，则根据题意可列方程为　 　.
8．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中AF=a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝　 　．
三、计算题
9．解方程：
10．《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步
四、解答题
11． 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当时，求x的值．
（2）当时，求n的值．
12． 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件，
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
13．在2023年1月初新冠肺炎疫情大爆发期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点、、…分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为　 　，第五个图中y的值为　 　．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为　 　，当时，对应的　 　．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
五、综合题
14．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
15．某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克．
（1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？
（2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？
16．为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．
（1）求AE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当矩形ABCD的面积为600m2时，求BC的长．
六、实践探究题
17．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]
图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
[规律总结]
（1）图4灰砖有 　 　块，白砖有 　 　块；图n灰砖有 　 　块时，白砖有 　 　块；
（2）[问题解决]
是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
18．阅读材料，解决问题：
某数学学习小组在阅读数学史时，发现了一个有趣的故事；古希腊神话中的米诺斯王嫌别人为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍，并说只要将每边扩大一倍就行，这当然是错误的，但这类问题却引出了著名的几何问题：倍立方问题．
此时他们刚好学面几何，所以甲同学提出：“任意给定一个正方形，是否存在另外一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍呢？”，对于这个问题小组成员很快给出了解答：
设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2
∵另一个正方形的周长为2×4a＝8a
∴此时边长为2a，面积为（2a）2＝4a2≠2a2
∴不存在这样的正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．
虽然甲同学的问题得到了很快的解决，但这一问题的提出触发了其他小组成员的积极思考，进一步乙同学提出：“任意给定一个矩形，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”
通过讨论，他们决定先研究：“已知矩形的长和宽分别为m和1，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”，并给出了如下解答过程：
设所求矩形的长为x，则根据题意可表示出所求矩形的宽为2（m+1）﹣x
那么可建立方程：x [2（m+1）﹣x]＝2m
∵判别式△＝4m2+4＞0
∴原方程有解，即结论成立．
根据材料解决下列问题
（1）若已知一个矩形的长和宽分别为3和1，则是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？若存在，请求出此矩形的长和宽；若不存在，请说明理由；
（2）若已知一个矩形的长和宽分别为m和1，且一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的k倍，求k的取值范围（写明解答过程）．
19．阅读材料：各类方程的解法
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．
例如：解方程
解：移项，得
两边平方，得
即
两边再平方，得
即
解这个方程得：
检验：当 时，原方程左边 ，右边
不是原方程的根；
当 时，原方程左边 ，右边
原方程的根
原方程的根是 ．
（1）请仿照上述解法，求出方程 的解；
（2）如图已知矩形草坪 的长 ，宽 ，小华把一根长为 的绳子的一端固定在点 ，从草坪边沿 走到点 处，把长绳 段拉直并固定在点 ，然后沿草坪边沿 走到点 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 ，则 　 　 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
4．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
6．【答案】9
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
7．【答案】
【知识点】列一元二次方程
8．【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
9．【答案】解：两边平方，得x+2=x2，
解得x1＝ 1，x2＝2（不正确，舍）．
【知识点】一元二次方程的其他应用
10．【答案】解：设矩形的长为x步，则宽为（60-x)步，依题意得：
x(60-x)=864，…5分
整理得：x2-60x+864=0
解得：x=36或x=24（不合题意，舍去）
∴60-x=60-36=24（步）
∴36-24=12（步）
答：该矩形的长比宽多12步
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
11．【答案】（1）解：由题意可得：，解得或；
（2）解：由题意得：，
整理得：，解得或，即n=2x+3= -7或5
【知识点】一元二次方程的其他应用
12．【答案】解：任务1：网上毛利润为：元（2分）
实体店毛利润为：元（2分）
任务2：设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：
实体店毛利润为：
总毛利润为：
根据题意得，，
解得，
或56
答：该商品的网上销售价是每件58元或56元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
13．【答案】（1）10；15
（2）；1128
（3）依题意，得：，
化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该班共有20名女生．
【知识点】一元二次方程的其他应用；探索图形规律
14．【答案】（1）26
（2）解：解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25，即x≤15.
根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，
整理得x2-30x+200=0，
解得x1=10，x2=20（舍去），
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
15．【答案】（1）土豆平均亩产量的年增长率为
（2）该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
16．【答案】（1）解：设BE＝am，而
区域①②③的面积相等，
AE＝2am，AB＝3am，
依题意得：2×3a+2a+2x＝120，
∴a＝-x+15，
∴AE＝2a＝-x+30，
∴AE的长为（-x+30）m
（2）解：依题意得：3a x＝600，
即3（-x+15）x＝600，
整理得：x2-60x+800＝0，
解得：x1＝20，x2＝40．
答：BC的长为20m或40m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
17．【答案】（1）16；20；n2；（4n+4）
（2）解：存在，理由如下：根据题意得：n2-（4n+4）＝1，
解得：n＝-1（舍去）或n＝5．
【知识点】列一元二次方程
18．【答案】（1）解：设所求矩形的长为x，则它的宽为（2﹣x）．
由题可得：x（2﹣x）＝ ，
∵△＝﹣8＜0，
∴原方程无解，
∴不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
（2）解：设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（m+1）﹣x，
由题意得：x [k（m+1）﹣x]＝km，
整理得：x2﹣k（m+1）x+km＝0，
△＝k2m2+k2+2k2m﹣4km，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，
∴△≥0，即：k2m2+2k2m﹣4km+k2≥0，
整理得 m2+（2﹣ ）m+1≥0，
令y＝m2+（2﹣ ）m+1，为开口向上的抛物线，
则由y≥0，可得：（2﹣ ）2﹣4≤0，
解得：k≥1，
∴当k≥1时，结论成立，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
19．【答案】（1）解：移项，得
方程两边平方，得 ，即 ，
解方程，得 或
经检验： 是原方程的解
所以原方程的解是 ．
（2）8
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
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