11.4 三角形三条重要线段专项练习（含解析）

11.4 三角形三条重要线段 专项练习
一、单选题
1．（2024七年级下·全国·专题练习）下列各图中，作边边上的高，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D是中点，点P是线段上一个动点，若 则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列说法中错误的是（ ）．
A．等边三角形是等腰三角形
B．三角形的高、中线、角平分线都是线段
C．等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合
D．钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点
5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（ ）

A．2 B． C． D．
6．（23-24七年级下·北京·期中）共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行．
A．69 B．64 C．59 D．52
7．（23-24七年级下·天津河西·期中）三角形三个顶点的坐标分别为，则三角形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（ ）

A． B． C． D．
9．（2024八年级·全国·竞赛）已知的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，其中有两边上的高是和，则第三边上的高最长为（ ）．
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·天津南开·期中）设的面积为1．如图①，分别是的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是的4等分点，，相交于点，与的面积差记为…，依此类推，则的值为（ ）

A． B． C． D．
11．（21-22七年级下·河南开封·期中）如图中，，，，，是的角平分线，是边的中线，于点E，下列结论正确的有（　　）个
①为中边上的高
②线段、、中，线段的长度最短
③若，则
④D到的距离为．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（20-21七年级下·广西南宁·期末）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC中，M是BC上一点，则有，如图②，△ABC中，M是BC上一点，且BM＝BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是1，则△ADN的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高．
14．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，，，则点到边距离为 ．
15．（14-15七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于D，若，，，则 ．
16．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，为的中线，，．若的周长，则的周长为 ．
17．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，是的中线，点在中线上且，若的面积为，则的面积为 ．
18．（21-22八年级上·山东临沂·期中）如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为
19．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，是角平分线，为中线，如果cm，则 ；如果，则 ．
20．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）（2016育才月考）育才中学内有一块直角三角形空地△ABC，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ADC区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB=10m，AC=4m，则一串红与鸡冠花两种花草各种植的面积分别为 ．

21．（22-23七年级下·辽宁阜新·期中）的面积为1．延长的边到点，使，延长边到点，使，延长边到点，使．连接，，．像这样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到，此时，我们称向外扩展了第一次．按这种方式扩展第二次得到…，则的面积 ．

22．（22-23七年级上·浙江金华·期末）一个长方形被分成四个部分的面积分别为，，，．
（1）如图1，若被两条直线分成四个长方形，，，，则 ；
（2）如图2，若被条线段分成四个三角形，在①和，②和，③和，④和中，已知 则可以求出长方形的面积（填序号）．
23．（21-22七年级下·江苏镇江·期末）一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是 ．
24．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知，，三个点，下列四个命题：
①若轴，则；
②若轴，则；
③若，则，，三点在同一条直线上；
④若，三角形的面积等于8，则点的坐标为．
其中真命题有 ．（填序号）
三、解答题
25．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高．
26．（23-24七年级下·广西防城港·阶段练习）如图，直线，直线与a， b分别相交于点A， B， 交直线b于点C．
（1）若， 求的度数；
（2）若， 求直线a与b的距离．
27．（23-24七年级下·江苏·周测）如图，在中，，是边上的中线，和的周长之差为，且与的和为．
（1）求、的长；
（2）若，是的中点，求的面积．
28．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．试说明：平分．
29．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，是等腰直角三角形，，为的中点，，则________；
（2）如图2，是直角三角形，，为的中点，，，则________；
（3）如图3，在中，为的中点，，，则________．
30．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
【问题思考】
（1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）；
（2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）；
【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整：
∵，
∴_________（由问题2的结论得）
∴_________，
即_________，
∵是的中点，
∴_________（由问题1的结论得）
∴平分的面积，即平分四边形的面积．
【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线．
请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握高的定义是解题的关键；
过顶点B向边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高．
【详解】A、图中不是边边上的高，本选项不符合题意；
B、图中不是边边上的高，本选项不符合题意；
C、图中不是边边上的高，本选项不符合题意；
D、图中是边边上的高，本选项符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．根据上述知识逐项进行判断即可．
【详解】解：∵是的中线，
，A说法正确，不符合题意；
是高，
，
，B说法正确，不符合题意；
是角平分线，
，而与不一定相等，C说法错误，符合题意；
，
，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了垂线段最短，求三角形的高，先由线段中点的定义得到，再根据垂线段最短可得当时有最小值，据此利用面积法求解即可．
【详解】解：∵点D是中点，
∴，
∵点P是线段上一个动点，
∴当时有最小值，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义，熟知相关知识是解题的关键．根据三角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、等边三角形是等腰三角形，原说法正确，不符合题意；
B、三角形的高、中线、角平分线都是线段，原说法正确，不符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，原说法错误，符合题意；
D、钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查的是三角形的重心的概念、三角形的中线性质．根据三角形的重心的概念得到点为的中点，根据三角形中线的性质解答即可．
【详解】解：∵点是的重心，
∴点为的中点，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的定义，由题意可得，可得出，即可求出，由角平分线的定义可得出，即可得出当时，与平行．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴当时，与平行．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查坐标与图形，三角形的面积．根据点的坐标，用割补法求解即可．
【详解】解：如图，
．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了梯形、三角形的面积公式，平行线之间的距离处处相等，理解梯形、三角形的面积公式计算是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是梯形，
∴，
∴三角形边上的高三角形边上的高（平行线之间的距离处处相等），
又∵三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，
∴，
∵梯形的面积为，的长为5，
∴梯形的高，
∴和之间的距离，即三角形边上的高，
∴三角形的面积，
故选：A．
9．B
【分析】此题考查三角形三边关系．注意利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键；
首先设高为4和12的两边长分别为a，b，第三边为c，根据，得，，根据三角形的任意两边之和一定要大于第三边，求出c边的高范围．
【详解】
设，，，
，
，，
，
，
，
即高为3到6之间，
或5
的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，
高不能为4，
第三边上的高最长为，
故选：B
10．D
【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出，由题意求得，根据点分别是的中点，得到，，从而得出，同理可得：，，，…，归纳出，代入数值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
，
点分别是的中点，
，，
，
同理可得：，，，…，
，
，
故选：D．
11．B
【分析】由三角形的高的含义可判断①，由垂线段最短可判断②，由平行线的性质结合三角形的角平分线的含义可判断③，由等面积法可判断④，从而可得答案．
【详解】解：不是中边上的高．故①不符合题意；
线段、、中，线段的长度最短，理由垂线段最短．故②符合题意；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．故③不符合题意；
如图作于H．
由，
∵是边的中线，
∴，
∵，，，
∴，
解得，故④符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的角平分线，中线，高的含义，垂线段最短，熟记概念并灵活运用是解本题的关键．
12．B
【分析】连接CD，有中线的性质得S△ADN＝S△CDN，同理S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝a，则S△ABN＝S△CBN＝，再求出S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，然后由面积关系求出a的值，即可解决问题．
【详解】解：连接CD，如图：
∵N是AC的中点，
∴＝＝1，
∴S△ADN＝S△CDN，
同理：S△ABN＝S△CBN，
设S△ADN＝S△CDN＝a，
∵△ABC的面积是1，
∴S△ABN＝S△CBN＝，
∴S△BCD＝S△ABD＝﹣a，
∵BM＝BC，
∴＝，
∴＝＝，＝＝，
∴S△CDM＝3S△BDM，S△ACM＝3S△ABM，
∴S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，
∵S△ACM＝S四边形CMDN+S△ADN＝S△CDM+S△CDN+S△ADN，
即：＝﹣a+a+a，
解得：a＝，
∴S△ADN＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了中线的性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
13．/
【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．
根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可．
【详解】解：∵，
∴线段是中边上的高，
故答案为：．
14．//
【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得是直角三角形，设点到边距离为h，由三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：在中，，
是直角三角形，
设点到边距离为h，
，即，
，
故答案为：．
15．32
【分析】本题考查了坐标与图形性质，关键是根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积是解题关键．作三角形的高线，根据坐标求出、、的长，利用面积法可以得出．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，
，
．
，
．
，
．
，
，
．
，
，
，
故答案为：．
16．/31厘米
【分析】本题考查了三角形的中线，以及线段的和差，找出线段之间的数量是解题关键．由题意可知，，进而得出，即可求出的周长．
【详解】解：为的中线，
，
，的周长，
，
的周长，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了三角形中线、三等分线分三角形的面积，利用三角形中线分成的两个三角形面积相等以及三等分线分的三个三角形面积相等作答即可．
【详解】解：是的中线，的面积为，
的面积为：，
点在中线上且，
，
和同高，设高为，
，
，
；
故答案为：．
18．
【分析】根据三角形的重心性质得，过点B作交AD的延长线与点G，则BG是和的高，根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题可知，点O是的重心，
∴，
如图所示，过点B作交AD的延长线与点G，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点．
19．
【分析】利用三角形的中线和角平分线定义可得答案．
【详解】解：∵BE为中线，，
∴；
∵是角平分线，，
∴；
故答案为：；．
【点睛】本题考查三角形的中线、角平线的定义；理解定义是解题的关键．
20．
【分析】根据题意，过点分别向两边作垂线，垂足为，由角平分线的性质定理可以得到，那么：=：=2：5，所以求出的面积便可以得到的面积；
【详解】过点分别向两边作垂线，垂足为
是的角平分线
又 ，
：=：=2：5
又

故答案是：.
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，能够根据角平分线的性质定理画出对应的辅助线是解决本题的关键.
21．
【分析】连接．利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，求出，，的面积，探究规律，可得结论．
【详解】解：连接．

∵，
∵，
，
，
同法可证，，
，
同理可得：，
，
依此规律可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．三角形的中线的性质：三角形的中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形．
22． 20 ②或④
【分析】（1）要求的第四块的面积是x平方厘米，根据和所在的长方形的长的比是5∶3，得出，即可求解；
（2）观察图形的特点，即可选择序号．
【详解】（1）根据长方形的性质，得和所在的长方形的长的比是5∶3
设要求的第四块的面积是x平方厘米，
则，
解得：．
所以
（2）②和的面积和，④和的面积和都为长方形面积的一半，
所以，已知②或④则可以求出长方形的面积．
故答案为：（1）20，（2）②或④
【点睛】本题考查找到等宽的两个长方形及长方形被分割为三角形面积的特点，解题的关键是能够观察出图形的特点，找到等量关系．
23．/
【分析】分别求乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一， 乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时CD的值，即可求出CD的取值范围．
【详解】解∶当乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一时，即，
∴，
当乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时，即，
∴，
∴，
∴当时， 乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了三角形面积的应用，掌握等高的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
24．②③/③②
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出a的值，再判断即可；②根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同求出a的值，再判断即可；③根据a＝1，求出A，B，C三点坐标即可判断；④根据B、C横坐标相同，可判断轴，得出BC＝4，再表示出点A到BC的距离，再根据三角形ABC的面积等于8列出关系式求出a的值即可求出点C的坐标．
【详解】解：①∵轴，
∴3a＋2＝a＋2，
∴a＝0，
故①错误；
②∵轴，
∴ a＝2a 3，
∴a＝1，
故②正确；
③∵a＝1，
∴A（ 1，5），B（ 1，3），C（ 1， 1），
∵A、B、C三点的横坐标相同，
∴A、B、C三点在同一条直线上，
故③正确；
④∵B（2a 3，a＋2），C（2a 3，a 2），
∴轴，
∴BC＝4，
∵A（ a，3a＋2），a＞1，
∴点A到BC的距离为2a 3 （ a）＝3a 3，
∵△ABC的面积等于8，
∴×4×（3a 3）＝6a 6＝8，
∴a＝，
∴点C的坐标为，
故④错误；
综上分析可知，真命题为②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，三角形的面积，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，是解题的关键．
25．见详解
【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可
【详解】如图为中线， 为角平分线，为高
26．(1)
(2)
【分析】本题考查平行线的性质，等积法求线段的长：
（1）根据垂直的定义，结合平行线的性质，进行求解即可；
（2）设平行线间的距离为，等积法求出即可．
【详解】（1）解：∵

∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设直线a与b的距离为，
∵
∴，即：，
∴；
∴直线a与b的距离为．
27．(1)，
(2)
【分析】本题考查了三角形的中线的性质：
（1）根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的周长及题意可得，，由可得，进而可求解；
（2）根据三角形的中线的性质可得，，进而可求解；
熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：是边上的中线，
，
，
和的周长之差为，
，
与的和为，即，
得：，
解得：，
．
（2），
，
是边上的中线，为的中点，
，，
．
28．见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；由是角平分线得；由两平行条件及等量代换可得，再由角平分线的定义即可证明结论．
【详解】∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
29．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式；
（1）过点作垂足分别为，根据三角形中点的性质可得，根据已知得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解；
（3）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点作垂足分别为，
依题意，是等腰直角三角形，，为的中点，则，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴；
故答案为：．
（2）如图所示，过点作垂足分别为，，
∵为的中点，
∴
∴
∴
同（1）可得∴
∴，
∴；
故答案为：．
（3）如图所示，过点作垂足分别为，，
∵为的中点，
∴
∴
同（1）可得
∴
∴，
∴，
故答案为：．
30．【问题思考】，；【深入思考】；；；；【推广探究】证明见解析
【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积，
【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论；
（2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论；
【深入思考】根据问题思考的结论即可得证；
【推广探究】根据问题思考的结论即可得证；
理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键．
【问题思考】解：（1）∵是的中线，
∴，
∴和等底同高，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴和同底同高，
∴，
故答案为：；
【深入思考】证明：∵，
∴（由问题2的结论得）
∴，
即，
∵是的中点，
∴（由问题1的结论得）
∴平分的面积，即平分四边形的面积；
【推广探究】证明：∵点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴直线平分四边形的面积，
则直线即为所求直线．