21.1 一元二次方程专项练习（含解析）

21.2 一元二次方程 专项练习
一、单选题
1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（ ）
A．2或 B．2 C． D．且
3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·北京·期中）将一元二次方程化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（ ）
A． B．2 C． D．8
5．（2024·山西阳泉·二模）已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方程的一个根为，则一次项系数为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（2024·江苏淮安·一模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（2023·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
10．把方程化为的形式，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（ ）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
12．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
13．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是
14．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ．
15．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）方程转化为一元二次方程的一般形式是 ．
16．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ．
17．（2024·江苏苏州·二模）若是一元二次方程的实数根，则代数式 ．
18．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知a是方程的一个根，则的值为 ．
19．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ．
20．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为 .
21．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ．
22．（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。
23．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ．
24．（22-23八年级下·浙江温州·期中）已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为 ．
三、解答题
25．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程．
（1）当m为何值时，此方程为一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
26．（23-24九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
27．（23-24八年级下·山东济宁·期中）阅读理解：
材料1．若一元二次方程两根为，，则，．
材料2．已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据材料1得，，
．
解决问题：
（1）一元二次方程的两根为，，则______，______．
（2）已知实数满足，，且，求的值．
28．（23-24九年级上·河北沧州·期末）嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“”印刷不清楚．
（1）她把“”猜成，请你解方程；
（2）她妈妈：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是．”通过计算说明原题中“”是几．
29．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求的周长．
30．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．
【详解】A．，未知数的最高次数是1 ，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程；
C．，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
D．化简为，不含二次项，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
故选：B．
2．C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：
【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的常数项．正确的表示一元二次方程的一般式是解题的关键．由题意知，方程的一般式为，然后作答即可．
【详解】解：一元二次方程可化为，
∴二次项系数为1，则常数项为，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键．
设一元二次方程为，将代入，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：设一元二次方程为，
将代入得，，
解得，，
∴一次项系数为，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键．
【详解】解：
∵一元二次方程化成一般式为，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，再把代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．A
【分析】先根据一元二次解的定义得到，然后利用降次的方法化简计算即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【详解】解：是方程的一个实数根，
，
即，
．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
10．B
【分析】先移项，再合并同类项，系数化为1即可．
【详解】解：移项 4y=x+1-
合并同类项
系数化为1得
故选 B
【点睛】把方程变形为y=kx+b的形式，就是解关于y的方程，根据等式的性质变形是解本题的关键．
11．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，解题的根据是理解方程根的定义．
根据题意得到，，代入即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴
．
故选：A．
12．B
【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合代入计算即可．
【详解】解：
，
，
故选：B．
13．1
【分析】
本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程.，根据未知数的最高次数是2建立等式，再根据即可得到答案．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
14．1
【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：1．
15．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
首先利用多项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为0，再化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
16．1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程，一次项系数与常数项相等，
，
解得：，
故答案为：1．
17．3
【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，把代入方程，得出关于m的一元二次方程，再整体代入求值即可．
【详解】解：当时，则，
即，
所以，，
故答案为：3．
18．2030
【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键；把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】a是方程的一个根，
，
，
故答案为：2030．
19． 2 1
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件得到，则可计算出，再根据一元二次方程解的定义得到，然后把a和b的值代入即可求出c的值．
【详解】解：∵a、b满足，
∴，，
∴，
∴，
∵一元二次方程的一个根是1，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；；
20．
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得，然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
故答案为：．
21．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设是方程的一个根，则，所以．
由题意，也是方程的根，所以，
把代入此式，得，整理得．
从而可知：方程的两根也是方程的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（其中为常数），
所以，．
因此，，
故答案为：．
22．
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值．
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
．
故答案是：．
23．
【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为；
令，
关于的一元二次方程化为，
的解为，
的解为，即或，
，
关于的一元二次方程的解是，
故答案为：．
24．或
【分析】设公共解为，根据一元二次方程根的定义得到，，，三式相加可得：或，分别代入所求式可解答．
【详解】解：设公共解为，
则，，，
三式相加得，
即，
因为，
所以或，
当时，，
原式
；
当时，，，
，
，
原式
，
综上，代数式的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．
25．(1)
(2)
【详解】解：（1）由题意，得解得．
（2）由题意，得，∴．
26．二次项系数为，一次项系数为8，常数项为
【分析】先把变为一般形式，然后得出答案即可．
【详解】解：由得，
∴二次项系数为，一次项系数为8，常数项为．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，形如，把式子化为一元二次方程的一般形式是解题关键．
27．(1)4，
(2)
【分析】本题考查是阅读理解题，解题的关键是理解并熟练掌握若一元二次方程两根为，，则，．
（1）根据材料1提供的关系直接求解即可得到答案；
（2）根据材料2提供的方法直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，，
故答案为：4，；
（2）解：∵实数满足，，
∴m，n是方程的两根，
∴，，
∴．
28．(1)，；
(2)原题中“”是．
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，即可．
（1）把变形为：，解出，即可；
（2）设一次项系数“□”为，把代入，解出，即可．
【详解】（1）解：，
∴，
则或，
解得：，．
（2）设一次项系数“”为，
∴把代入，
∴，
解得：．
即原题中“”是．
29．(1)
(2)的周长为10
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系．掌握一元二次方程的解法和对等腰三角形恰当分类是解题的关键．
（1）将代入方程求解即可；
（2）首先求出方程的两个根，然后根据等腰三角形的定义和三角形三边的关系求解即可．
【详解】（1）
解：把代入方程．
得：．
解得：；
（2）
解：∵，
∴原方程为，
解得，
当腰长为2时，∵，∴不能构成三角形，
当腰长为4时，∵，∴能构成三角形，
∴等腰三角形三边为4，4，2，
∴的周长为．
30．(1)是勾系一元二次方程；
(2)2．
【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可．
（2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键．
【详解】（1）根据定义，方程变形为，
得到，
且，
故方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
∴，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故的面积为2．