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11.1.1三角形的边 同步分层练习
题型一 三角形的识别与有关概念
1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列图形，其中是三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
是三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握：平面上不共线的三点及其每两点连结的线段所组成的封闭图形是三角形．
2．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形．
【详解】解：依题意，只有（1）是三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．
3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在中，边的对角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案．
【详解】解：如图，
在中，边的对角是，
故选：A．
4．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的定义即：由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，进行判断即可．
【详解】解：A，B，C，中的三条线段没有首尾顺次连接，故不是三角形，
C中的三条线段首尾顺次连接，且不在同一条直线上，故C满足题意；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的定义与判定，能够深刻理解三角形的定义是解决本题的关键．
题型二 判断三角形的个数
1．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个，
故选C．
2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【详解】解：如图所示，
图中有共8个三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．
3．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【详解】解：∵以为顶点的三角形有，，，，
∴以为顶点的的三角形的个数是4个．
故选：B．
【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键．
4．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）我们知道一副三角板的三个内角分别是和，老师把这两块三角板叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形共有（ ）
A．4个 B．5个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【详解】解：以为边的三角形有，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的定义，解题关键是注意：题目要求找“图中以为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”．
题型三 三角形的分类
1．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的特征，根据有一个角度为的三角形为直角三角形判断可得，熟悉直角三角形的意义是解题的关键．
【详解】解：三角形的三个角的度数分别是，
因为有最大的角为直角，另外两个角互余，
所以这个三角形为直角三角形，
故选：B．
2．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选C．
3．（23-24八年级上·重庆·期中）在中，如果，那么是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的分类，首先根据题意得到是钝角，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握三角形按角可分为直角三角形，钝角三角形，锐角三角形．
【详解】∵
∴是钝角，
∴是钝角三角形．
故选：B．
4．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，一个三角形纸片被一块长方形木板遮挡了一部分，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的知识，由图可知三角形的一个内角是锐角，另外两个角中有可能都是锐角，也有可能含有一个钝角，或含有一个直角， 接下来根据三角形的分类，确定对应的形状，从而确定结果，明确三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：当三角形的一个内角是锐角时，另外两个内角有可能都是锐角，则是锐角三角形；
另外两个内角有可能是一个锐角，一个直角，则是直角三角形；
另外两个内角有可能是一个钝角，一个锐角，则是钝角三角形；
∴该三角形可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，
故选：．
题型四 构成三角形的条件
1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）．
A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】A．，不能组成三角形，符合题意；
B．，能组成三角形，不符合题意；
C．，能组成三角形，不符合题意；
D．，能组成三角形，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列各组线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【分析】此题考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解决问题的关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析即可．
【详解】解：A、，不能够组成三角形，不符合题意；
B、，能构成三角形，符合题意；
C、，不能构成三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）以下列各组长度为边长，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，5，8
C．4，5，6 D．3，3，6
【答案】C
【分析】
本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
根据三角形的三边关系逐项判断即可．
【详解】
解：A，，不满足三角形两边之和大于第三边，故本选项不符合题意；
B，，不满足三角形两边之和大于第三边，故本选项不符合题意；
C，，满足三角形三边关系，故本选项符合题意；
D，，不满足三角形两边之和大于第三边，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴三条长分别为的线段不能构成三角形，符合题意；
D、∵，
∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意；
故选；C．
题型五 确定第三边的取值范围
1．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【详解】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系列出不等式是解决问题的关键
【分析】解：根据三角形的三边关系，得，
∴，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）在中，，，第三边的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
，
，即，
第三边的取值范围是，
故答案为：．
3．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如果三角形的三边长分别为，那么的取值范围为 ．
【答案】
【分析】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；熟记该性质是本题的解题关键．
【详解】解：由三角形任意两边的和大于第三边以及三角形任意两边之差小于第三边可知：
，即：，
故答案为：．
4．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知的三条边长为，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边关系，解不等式组，根据题意，，解不等式组即可．
【详解】，根据题意，，
解得．
故答案为：．
题型六 三角形三边关系的应用
1．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？
【答案】共可以构成个不同的三角形，他们的周长分别为：，，，
【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，先求得第三根木棒长的取值范围，进而求得满足已知的第三根木棒长以及周长．
【详解】解：两根木棒分别长、，
根据三角形的三边关系，得：第三根木棒的长大于而小于．
又第三根木棒的长是偶数，则应为，，，．
共可以构成个不同的三角形，
他们的周长分别为：，，
，．
2．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）若a、b、c为三边长，且a、b、c满足，第三边长为奇数，求的周长．
【答案】12
【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形的三边关系．根据非负数的性质，可得，再根据三角形的三边关系可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵a、b、c为三边长，
∴，
∴，
∵第三边长为奇数，
∴，
∴的周长．
3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)化简．
【答案】(1)等边三角形
(2)
【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类；
（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可．
【详解】（1），
且，
，
为等边三角形；
（2），，是的三边长，
，，，
，，，
．
4．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，的三边长分别为，，．
(1)求的取值范围；
(2)若它是一个等腰三角形，求它的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理（三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边），三角形周长的求解，先确定为等腰三角形时，再用三角形周长公式即可求解，能熟练运用三角形的三边关系定理是解题的关键.
【详解】（1）解：∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴，
∴．
（2）解：若为等腰三角形，或，
当时，不符合三角形的三边关系，应舍去，
∴，
∴等腰的周长为．
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别是，，，若以，，为边可以组成三角形，则应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，求出正三角形的高，连接、、 ，根据，得出，，的关系即可，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．
【详解】∵正三角形的边长为，
∴正三角形的高，
如图， 连接、、 ，
设，，，
∵，
∴ ，
∵为正三角形，
∴，
∴，
∵以，，为边可以组成三角形，，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．（22-23八年级上·山西大同·期中）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可．
【详解】解：设从10.5的小木棍上裁剪的线段长度为x，
则，即，
∴整数x的值为5、6 、7 、8、9、10，
∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键．
3．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个．
【答案】7
【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．
【详解】解：设三角形三边为a、b、c，且，
∵，,
∴即，
∴，
即，
∴，
∴，
又∵c为整数，
∴c为9，，．
则①当c为9时，有1个三角形，分别是：9，8，7；
②当c为时，有2个三角形，分别是：，9，5；，8，6；
③当c为时，有4个三角形，分别是：，，3；，9，4；，8，5；，7，6．
∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有7个．
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查学生对三角形三边关系定理的理解及运用，难度中等．注意写出具体三角形的三边时，结合已知条件做到不重复不遗漏．
4．（20-21八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有 个．
【答案】3
【分析】根据周长小于13，三角形三边为互不相等的整数，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定三边可选的数字为2、3、4、5，由此可得这样的三角形以及个数．
【详解】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过6.5；
根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、4、5；
根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5；
故这样的三角形共有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握．
5．（20-21八年级上·四川绵阳·阶段练习）三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？
【答案】12
【分析】不妨设三角形三边为、、，且，由三角形三边关系定理及题设条件可确定的取值范围，以此确定的值，再确定、的值．
【详解】解：设三角形三边为、、，且，
∵，，
∴，即，
∴，
，
∴，
∴，
又∵为整数，
∴为、、、、，
∵①当为时，有1个三角形，，，（不符合题意，舍去）；
②当为时，有2个三角形，，，；，，（不符合题意，舍去）；
③当为时，有4个三角形，，，（不符合题意，舍去）；，，；，，；，，（不符合题意，舍去）；
④当为时，有5个三角形，，，（不符合题意，舍去）；，，；，，；，，；，，；
⑤当为时，有7个三角形，，，（不符合题意，舍去）；，，；，，；，，；
，，；，，；，，（不符合题意，舍去）；
都是整数的三角形共有19个，其中不等边三角形共有12个．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系以及周长正确确定边的范围是解题关键．
6．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）按要求完成下列各小题．
(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；
(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．
【答案】(1)的周长为
(2)
【分析】（1）根据三角形的三边关系以及的长为偶数，即可求得的长，从而即可得解；
（2）根据三角形的三边关系可求得的取值范围，从而化简不等式计算即可．
【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得：，即．
∵为偶数，
∴，
∴的周长为；
（2）解：∵的三边长分别为3，5，a，
∴，解得，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
11.1.1三角形的边 同步分层练习
题型一 三角形的识别与有关概念
1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列图形，其中是三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在中，边的对角是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 判断三角形的个数
1．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）我们知道一副三角板的三个内角分别是和，老师把这两块三角板叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形共有（ ）
A．4个 B．5个 C．3个 D．2个
题型三 三角形的分类
1．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
3．（23-24八年级上·重庆·期中）在中，如果，那么是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
4．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，一个三角形纸片被一块长方形木板遮挡了一部分，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
题型四 构成三角形的条件
1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）．
A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2
2．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列各组线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）以下列各组长度为边长，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，5，8
C．4，5，6 D．3，3，6
4．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（ ）
A． B．
C． D．
题型五 确定第三边的取值范围
1．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ．
2．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）在中，，，第三边的取值范围是 ．
3．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如果三角形的三边长分别为，那么的取值范围为 ．
4．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知的三条边长为，则x的取值范围是 ．
题型六 三角形三边关系的应用
1．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？
2．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）若a、b、c为三边长，且a、b、c满足，第三边长为奇数，求的周长．
3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)化简．
4．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，的三边长分别为，，．
(1)求的取值范围；
(2)若它是一个等腰三角形，求它的周长．
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别是，，，若以，，为边可以组成三角形，则应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23八年级上·山西大同·期中）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个．
4．（20-21八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有 个．
5．（20-21八年级上·四川绵阳·阶段练习）三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？
6．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）按要求完成下列各小题．
(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；
(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．
