【北师大版九上同步练习】 第二章 一元二次方程（能力提升）检测题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
【北师大版九上同步练习】
第二章一元二次方程（能力提升）检测题
一、单选题
1．向阳村前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2． “一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2020年人均年收入20000元，到2022年人均年收入达到39200元，则该地区居民年人均收入平均增长率为（　　）
A．40% B．30% C．20% D．10%
3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°.
其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在矩形中，点，分别是，的中点，，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
二、填空题
6． 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”．
⑴下列方程是“自然方程”的是　 　；（填序号）
①；②；③．
⑵若方程是“自然方程”，m的值为　 　．
7．工人师傅准备在一块长为60，宽为48的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路．四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的8倍．若四条小路所占面积为160．设小路的宽度为x，依题意列方程，化为一般形式为　 　．
8．对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论：
①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6；
②（a*b）#c=c（a*b）；
③a*（b#a）=（a*b）#a；
④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．
正确的是　 　 （填序号即可）
三、计算题
9．解一元二次方程
10．若关于x的一元二次方程 有实数根，求m的取值范围.
四、解答题
11．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，求实数k的取值范围。
12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
（1）若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 利最多？
13．“品中华诗词，寻文化基因”，某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校七年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数表与如图所示的频数直方图.
参加竞赛的学生成绩频数表
组别 成绩x（分） 人数 百分比
A 60≤x<70 8 20%
B 70≤x<80 16 m%
C 80≤x<90 a 30%
D 90≤x≤100 4 10%
参加竞赛的学生成绩频数直方图
解决下列问题：
（1）表中a=　 　，m=　 　.
（2）补全频数直方图.
（3）方方参加了这次竞赛，成绩下来后，他对圆圆说：“我这次竞赛的成绩位于中游，比我答得好的人比比我答得差的人少3个.”请你算一算，方方是第几名？
五、综合题
14．如图是2019年1月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不难发现，结果都是48
（1）请证明发现的规律；
（2）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说法是否符合题意．
15．综合与实践：
如何改造儿童友好公园？
素材1 在一块长与宽之比为的长方形场地上，有两条宽度都为4米的通道（阴影部分）栽种花草（如图1）．剩余空地面积为场地面积的一半．
素材2 为了在该场地安装大型儿童游乐设施，需将场地改造为图2方案．已知米，米，阴影部分区域栽种花草，长方形空地安装游乐设施．
问题解决
目标1 确定场地尺寸 求长方形的长和宽．
目标2 确定改造方案1 若剩余空地面积为场地面积的，，为正整数，请你设计一种方案：________米，________米．
确定改造方案2 若比大8米，求长方形空地面积的最大值．
16．健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出 两种健康食品套餐，到年底共卖出m万份，其中A套餐卖出a万份，两种套餐共获利润 万元、已知销售一份A套餐可获利润 元，销售一份B套餐可获利润 元.
（1）用含a的代数式表示m；
（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整.2017年，该公司将每份B套餐的利润增加到 元，每份A套餐的利润不变.经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中A套餐的销售量增加 ，两种套餐的总利润增加 万元.
①求2017年每种套餐的销售量；
②由于B套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份B套餐的利润在2017年的基础上增加 ，2019年在2018年的基础上又增加 、若B套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利 万元，求x的值.
六、实践探究题
17．综合实践：
项目主题 “亚运主题”草坪设计
项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？①直观猜想：我认为 ▲ ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想）②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 ▲ 和 ▲ ；③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 ▲ 和 ▲ ．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图．
驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长．①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系．②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．
18．若两个正整数，，满足，为自然数，则称为的“级”数.例如，，，则2为3的“11级”数.
（1）5是6的“　 　”级数；正整数为1的“　 　”级数（用关于的代数式表示）；
（2）若为4的“”级数，求的值；
（3）是否存在，的值，使得为的“级”数？若存在，请举出一组，的值；若不存在请说明理由.
19．著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.
【提出问题】
我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？
【构造关系】
将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为.
（1）当系变倍数为3时，求解一元二次方程的“系变方程”.
（2）【自能探究】已知某一元二次方程有两个实数根，，当时，其“系变方程”也有两个实数根、，且，求的最小值.
（3）已知关于的方程有四个实数根、、、，问是否存在定值，对于任意实数，都满足，若存在，请求出的值.若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
6．【答案】②；2或0
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
7．【答案】4x2+27x﹣40＝0
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
8．【答案】①②④　
【知识点】公式法解一元二次方程
9．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
10．【答案】解：根据题意得 且 ，
解得 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
11．【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴△=32-4×1×(k-2)≥0，解得k≤，
∴k的取值范围为k≤．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
12．【答案】（1）解：设每件衬衫应降价元，
根据题意得，
整理得
解得，．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降元．
答：每件衬衫应降价元．
（2）解：设商场平均每天赢利元，则
．
当时，取最大值，最大值为．
答：每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
13．【答案】（1）12；40
（2）解：80≤x<90频数为12，故高度为12，补全频数直方图如下：
（3）解：设比方方答得好的人为x人，则比方方答得差的人数为（x-3）人，
x+(x+3)+1=40，解得x=18；
故方方是第19名；
【知识点】一元二次方程的其他应用；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
14．【答案】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），
∴（a-1）（a+1）-（a-7）（a+7）=a2-1-（a2-49）=48．
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），
依题意，得：x（x-14）=120，
解得：x1=20，x2=-6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不符合题意
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索数与式的规律
15．【答案】目标1：该长方形场地的长为16米，宽为12米；目标2（方案1）：，或，；目标2（方案2）：长方形空地面积的最大值为100平方米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
16．【答案】（1）解：根据题意，B套餐卖出 份，则
，
∴ （或 ）；
（2）解： 依题意得，2017年A项套餐销售量为： 万份，
B项套餐销售量为： 万份，
根据题意得：
解得：
所以2017年A项套餐销售量为 （万份）
2017年B项套餐销售量为 (万份）
依题意可知，
2017年B项套餐每份盈利 元，
2018年B项套餐每份盈利 元，
2019年B项套餐每份盈利 元，
所以根据题意得：
设 ，则
解得：
(不符合题意，舍去）
.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
17．【答案】解：（1）①四种方案小路面积的大小相等；②，；③（70x-1）m2，（70x-1）m2；
（2）设小路的宽为，则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：小路的宽为；
（3）①方法1：，
，
方法2：，
；
②由题意得：，
设方程的两个根分别为，，则，且，
则：，，
，
，
故甲和乙的说法都不正确．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的应用-几何问题
18．【答案】（1）23；n+2
（2）解：由题意可得： ，
m2+8m+16=m2+10m+4，
m2+8m-m2-10m=4-16，
-2m=-12，
∴m=6；
（3）解：若存在，则
∴
∴
∵，是正整数，
∴， ，
∴，
∴，
这与假设产生矛盾，
∴不存在a、b的值，使得a与b的“a+b级”数.
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用；反证法；定义新运算
19．【答案】（1）解：当系变倍数为3时，系变方程为：，解得：，.
（2）解：设原方程，当时，系变方程为：，
∵，∴，
∴原式
∴当，时，原式取到最小值.
（3）解：令，，
∵，∴，∴，
即，∴，
∴或，设方程：①，
则系变方程为：②，系变方程两边同时乘，变形得：，
∴若原方程有解，则系变方程必有解，且解存在倍数关系，
∵和互为系变方程，
且无论取何实数，两个方程都有实数解∴，或.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)