2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：二次函数二
二次函数的简单应用:
例8.已知抛物线经过点A (1,0), B(6,0). （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交于点D,求△ABD的面积．（3）当y＜0,直接写出自变量x的取值范围．
变式训练1.王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．（1）请写出抛物线的顶点坐标、对称轴．（2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．21世纪教育网版权所有
变式训练2.对于抛物线，已知当x=3时，y有最小值-4，且经过点（2，-3）．
（1）求这条抛物线的解析式；（2）抛物线与坐标轴的交点．
变式训练3.如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求的值；(2)求点B的坐标；
(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
二次函数在生活中的应用：
例9.宏达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的二次函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(3)请把(2)中的二次函数配方成的形式，并据此说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？21·世纪*教育网
(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
变式训练1.某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
销售价x（元·千克－1）
…
25
24
23
22
…
销售量y（千克）
…
2000
2500
3000
3500
…
(1)在如图2 - 148所示的平面直角坐标系中，描出各组有序数对(x，y)所对应的点，连接各点并观察所得的图形．判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；
(2)若樱桃进价为13元／千克．试求销售利润P(单位：元)与销售价x(单位：元／千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，能获得最大利润?21·cn·jy·com
变式训练2．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号的汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：2·1·c·n·j·y
刹车时车速/km·h－1
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
（1）以车速为x轴，以刹车距离为y轴，建立平面直角坐标系，根据上表对应值作出函数的大致图象；
（2）观察图象．估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
（3）该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，推测刹车时的车速是多少？请问事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？21cnjy.com
变式训练3.如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ www.21-cn-jy.com
（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
二次函数的拓展应用：
例10.已知：如图①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？
设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
变式训练:已知：抛物线y = x2+(2m－1)x + m2－1经过坐标原点，且当x < 0时，y随x的增大而减小. (1)求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x的取值范围;
设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B， DC⊥x轴于点C. ①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长;
②设动点A的坐标为 (a，b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标;如果不存在，请说明理由. 21教育网
例11.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-5，0）和点B,其中点B在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=, （1）求点B的坐标;（2）求二次函数的解析式;
（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，连结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标。www-2-1-cnjy-com
变式训练：如图，已知抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,
求抛物线的解析式; (2)点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长;2-1-c-n-j-y
在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由。 21*cnjy*com
2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：二次函数二答案
二次函数的简单应用:
例8.已知抛物线经过点A (1,0), B(6,0). （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交于点D,求△ABD的面积．（3）当y＜0,直接写出自变量x的取值范围．
变式训练1.王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．（1）请写出抛物线的顶点坐标、对称轴．（2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．21·cn·jy·com
解：（1）顶点， 对称轴为直线
（2）当时，，得
答：球飞行的最大水平距离为8 m
（3） 设所求抛物线为，把x=0,y=0代入求得
解析式为
（用一般式或交点式求得）
变式训练2.对于抛物线，已知当x=3时，y有最小值-4，且经过点（2，-3）．
（1）求这条抛物线的解析式；（2）抛物线与坐标轴的交点．
解：由题意的抛物线的顶点坐标为
设反比例的解析式为 图像过点（2，-3）
，即
与轴的交点坐标（1，0），（5，0），与轴的交点坐标（0，5）
变式训练3.如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．www-2-1-cnjy-com
(1)求的值；(2)求点B的坐标；
(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
解：(1)将(3,0)代入二次函数解析式，得.
解得.
(2)二次函数解析式为，
令，得.
解得.
∴点B的坐标为(－1,0)．
(3)∵S△ABD＝S△ABC，点D在第一象限，
∴点C，D关于二次函数的对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为x＝1，点C的坐标为(0,3)，∴点D的坐标为(2,3)．
二次函数在生活中的应用：
例9.宏达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的二次函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(3)请把(2)中的二次函数配方成的形式，并据此说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？【来源：21cnj*y.co*m】
(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
解：(1)45＋×7.5＝60(吨)．
(2)y＝(x－100)，
化简得y＝＋315－24 000.
(3)y＝＋315x－24 000＝(x－210)2＋9 075.
要获得最大月利润，售价应定为每吨210元．
(4)小静说的不对．理由：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额
W＝x
＝(x－160)2＋19 200来说，当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．
变式训练1.某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
销售价x（元·千克－1）
…
25
24
23
22
…
销售量y（千克）
…
2000
2500
3000
3500
…
(1)在如图2 - 148所示的平面直角坐标系中，描出各组有序数对(x，y)所对应的点，连接各点并观察所得的图形．判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；
(2)若樱桃进价为13元／千克．试求销售利润P(单位：元)与销售价x(单位：元／千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，能获得最大利润?【版权所有：21教育】
解：(1)如图所示，正确描点连线，由图象可知，y是x的一次函数．设y＝kx+b．
∵点(25，2000)，(24，2500)在图象上，
解得（2）P=(x－13)·y＝(x－13)·(－500x+14500)＝－500x2+21000x－188500＝－500(x－21)2+32000，∴P与x的函数关系式为P＝－500x2+21000x－188500，当销售价为2l元／千克时，能获得最大利润．
变式训练2．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号的汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：21教育名师原创作品
刹车时车速/km·h－1
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
（1）以车速为x轴，以刹车距离为y轴，建立平面直角坐标系，根据上表对应值作出函数的大致图象；
（2）观察图象．估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
（3）该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，推测刹车时的车速是多少？请问事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？2·1·c·n·j·y
解：(1)如图所示：
(2)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将表中前三组数据代入，得解得
∴所求函数关系式为
(3)当y＝46.5时，即0.002x2＋0.01x＝46.5.
整理，得x2＋5x－23 250＝0.
解得x1＝150，x2＝－155(舍去)．
∴推测刹车时的速度为150 km/h.
因为150>140，所以事故发生时汽车超速行驶．
变式训练3.如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ 21*cnjy*com
（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
(2)由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当时，，所以可以通过
令，即，可得，
解得
答：两排灯的水平距离最小是
二次函数的拓展应用：
例10.已知：如图①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？
设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：根据勾股定理求出AC的长度，根据平移的性质得出PQ∥AB，然后得出相似比，求出t的值；作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E，根据△ABC的面积求出AE的长度，根据勾股定理求出CE的长度，根据PD⊥BC，AE⊥BC得出△CPD∽△CAE，从而得到PD、CD的长度，根据题意得出h=PD，然后求出y与t的函数关系式；根据PM∥BC，得到若S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4，则S△QMC∶S△ABC＝1∶5，然后根据函数解析式求出t的值；得出答案；根据题意得出△MQP∽△PDQ，即，根据CD求出DQ的长度，然后得出一元二次方程求出t的值.
解析：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得： 由平移性质可得MN∥AB 因为PQ∥MN，所以PQ∥AB，所以，即，解得 21*cnjy*com
(2).作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E由可得
则由勾股定理易求 因为PD⊥BC，AE⊥BC,所以AE∥PD，所以△CPD∽△CAE 【出处：21教育名师】
，即 求得：，
因为PM∥BC，所以M到BC的距离
所以，△QCM是面
(4).若，则∠MDQ=∠PDQ=90° 因为MP∥BC，所以∠MPQ=∠PQD， 21世纪教育网版权所有
△MQP∽△PDQ，所以，
即：，由，
故，整理得 解得
答：当时，。
变式训练:已知：抛物线y = x2+(2m－1)x + m2－1经过坐标原点，且当x < 0时，y随x的增大而减小. (1)求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x的取值范围;
设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B， DC⊥x轴于点C. ①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长;
②设动点A的坐标为 (a，b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标;如果不存在，请说明理由.
解：（1）∵y = x2+(2m－1)x + m2－1经过坐标原点 ∴0=0+0+ m2－1，即m2－1=0
解得m=±1, ∴该二次函数解析式为y = x2+x或y = x2－3x
又∵当x < 0时，y随x的增大而减小 , ∴二次函数解析式为y = x2－3x.
如右图所示为函数y = x2－3x图像
∵该图像开口向上，且与横轴交点坐标从左至右为
（0,0）和（3,0）, ∴y<0时，0 ∴当y=b时，直线AD与抛物线的交点为A点和D点 ∴A点和D点的横坐标为以x为未知数的方程21教育网
b= x2－3x的解 ,∴两个解存在如下关系：
x1+x2=3，x1·x2=－b ,∴AD2= (x1－x2)2
= x12－2 x1·x2+x22= x12+2 x1·x2+x22－4 x1·x2=(x1+x2)2－4 x1·x2=9+4b
又∵A(a，b)在y = x2－3x上，即b= a2－3a ∴L=2|3－2a|－2(a2－3a)
∵当A(a，b)运动到顶点，不存在矩形
∴a的取值范围为0＜a＜和＜a＜3.
下面过程为求L的最大值：
当0＜a＜，A点位于对称轴的左侧
例11.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-5，0）和点B,其中点B在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=, （1）求点B的坐标;（2）求二次函数的解析式;【来源：21·世纪·教育·网】
（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，连结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标。21·世纪*教育网
分析：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，根据余切的定义可设BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根据勾股定理可计算出x，则BD=4，OD=3，所以点B的坐标是（3，4）；
（2）利用待定系数法可确定二次函数的解析式；
（3）先确定C点的坐标为（-8，4），则BC=11，AB=，由CB∥x轴得到∠ABC=∠BAP，再分类讨论：当△ABC∽△BAP；当△ABC∽△PAB，然后利用比例线段求AP的长，从而确定P点坐标．2-1-c-n-j-y
解析：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，如图，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，tan∠BAO=
设BD=x，AD=2x，
∵OA=0B=5，∴OD=2x-5，
在Rt△ODB中，
解得 ∴BD=4，OD=3， ∴点B的坐标是（3，4），
（2）根据题意得,解这个方程组，得
∴二次函数的解析式是；
（3）∵直线BC平行于x轴，∴C点的纵坐标为4，
设C点的坐标为（m，4）．
由题意得
解得m1=3（不合题意，舍去），m2=-8，
∴C点的坐标为（-8，4），BC=11，AB=
∵∠ABC=∠BAP，
①如果△ABC∽△BAP，那么
∴AP=11，点P的坐标为（6，0），
②如果△ABC∽△PAB，那么
∴，点P的坐标为（，0），
综上所述，点P的坐标为（6，0）或（，0）．
变式训练：变式训练：如图，已知抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,
求抛物线的解析式; (2)点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长;21cnjy.com
在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由。www.21-cn-jy.com
解：（1）设抛物线的解析式为：，
则：；
∴抛物线的解析式：．
（2）设直线BC的解析式为：，则有：解得；
故直线BC的解析式：．
已知点M的横坐标为m，则、；
（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，
∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=（0＜m＜3）；
2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：二次函数二作业
已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求二次函数的关
系式.
3. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F．21·cn·jy·com
（1）求F的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之和．
4.为了鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收 益z与政府补贴款额x之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少并求出总收益w的最大值。21世纪教育网版权所有
5.某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系。当时，；当时，。21教育网
信息2：销售B种产品所获利润（万元）与所售产品（吨）之间存在正比例函数关系。
根据以上信息，解答下列问题：（1）求二次函数解析式；
（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？www.21-cn-jy.com
如图1，已知抛物线y=-x2+bx+c 经过点A（1，0）和点C（0，3），该抛物线与x轴的另
一个交点为B，顶点是D.（1）求此抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求△ACD的面积；
（3）如图2，在直线y=-2x上有一动点E，过E作直线EF∥y轴，交该抛物线于点F，以E、F、C、O为顶点的四边形是平行四边形，求E点的坐标.21cnjy.com
7.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说
明理由．
如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴
相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，
过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
(用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
(设的面积为，求与的函数关系式，
并求出当m取何值时，S有最大值，最大值是多少。
如图，直线AC分别交x轴y轴于点A(0，8)、C，抛物线经过A，
B两点；且OB=OC =OA，一条与y轴重合的直线L以每秒2个单位长度的速度向右平移，
交抛物线于点P，连接PB、设直线L移动的时间为t秒，
（1）求抛物线解析式；
（2）当0＜t＜4时，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式；
并求出四边形PBCA的最大面积;
在直线L的移动过程中，直线AC上是否存在一点Q，使得P、Q、B、A四点构成的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：二次函数二作业答案
已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求二次函数的关
系式.
解：设这个函数解析式为，
把点（2，3）代入，，解得
∴这个函数解析式是
2．解：（1）顶点坐标（1,4）
令 解得
∴与x轴的交点坐标为（3,0），（-1，0）
图象如右图
（2）当时，y随x的增大而增大。
当时，y随x的增大而减小。
（3）当时，
当，
3. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F．21教育网
（1）求F的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之和．
解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=-(x-1)2+4
∴顶点M的坐标是(1,4),
对称轴是直线x=1
点E的坐标是(0,4)
当-x2+2x+3=0时，解得x1=-1,x2=3.
∴B（3，0）
设直线BE的解析式为y=kx+b，则，
解得
所以直线BE是
当x=1时，y=,所以F的坐标是（1，）
（2）由（1）可得EM=1，MF=4-=，NF=，BN=3-1=2
∴S△EFM+S△BNF==
4.为了鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收 益z与政府补贴款额x之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少并求出总收益w的最大值。21世纪教育网版权所有
解：（1）销售家电的总收益为800×200=160000（元）； （2）依题意可设，
∴有
解得 ；
（3） 政府应将每台补贴款额定为100元，
总收益最大值，其最大值为162000元。
5.某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系。当时，；当时，。21·cn·jy·com
信息2：销售B种产品所获利润（万元）与所售产品（吨）之间存在正比例函数关系。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求二次函数解析式；
（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？www.21-cn-jy.com
解：（1）将（1,1.4），（3,3.6）代入，得，解得：
∴二次函数解析式为
设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A,B两种产品获得的利润之和为W万元。
则
∵-0.1＜0，∴当m=6时，W有最大值6.6
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A,B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元 2·1·c·n·j·y
如图1，已知抛物线y=-x2+bx+c 经过点A（1，0）和点C（0，3），该抛物线与x轴的另
一个交点为B，顶点是D.（1）求此抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求△ACD的面积；
（3）如图2，在直线y=-2x上有一动点E，过E作直线EF∥y轴，交该抛物线于点F，以E、F、C、O为顶点的四边形是平行四边形，求E点的坐标.【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）由题意得，，解得
所以函数解析式是
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4
∴D点的坐标是(-1,4)
（2）作DH⊥x轴于点H，则DH=4，OC=3，OH=OA=1，AH=2，
S梯形OCDH=
S△OAC=
S△DAH=
∴S△ACD= S梯形OCDH+ S△OAC-S△DAH=3.5+1.5-4=1
（3）如图2
设E点的坐标是(x,-2x)，则F点的坐标是（x，-x2-2x+3）
∵OC∥DE
∴要使以F、E、C、O为顶点的四边形是平行四边形时，只要EF=OC即可.
分两种情况：
当E在F的下方时，如图2，FE=（-x2-2x+3）-（-2x）=-x2+3
若EF=OC=3，则-x2+3=3，解得x=0，此时E与O重合，不合题意，舍去
当E在F的上方时，如备用图1，此时FE=（-2x）-（-x2-2x+3）=x2-3
若EF=OC=3，则x2-3=3，解得x=，
E点坐标是(，)或(，)
综合以上，E点的坐标是(，)或(，)
7.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说
明理由．
解：（1）∵对称轴为直线x=2，
∴设抛物线解析式为
将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：
，解得，
．
（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．
设P（x，﹣x2+4x+5），
如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，
∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．
S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE21·世纪*教育网
=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x?（﹣x2+4x+4）﹣×1×1=﹣x2+x+
∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标为（，）．
（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为3．
令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．
∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．
四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．21cnjy.com
如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；
作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；
连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．
设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：
，解得：，
．
当y=0时，解得
∴时，四边形PMEF周长最小．
如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴
相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，
过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
(用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
(设的面积为，求与的函数关系式，
并求出当m取何值时，S有最大值，最大值是多少。
解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：直线x=1．
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：
解得：k= -1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：．
当x=1时，y= -1+3=2，∴E（1，2）．
当时，，
∴P（m，m+3）．
在中，当时， ∴
当时，∴
∴线段DE=4-2=2，线段
∵
∴当时，四边形为平行四边形．
由解得：（不合题意，舍去）．
因此，当时，四边形为平行四边形．
②设直线与轴交于点，由
可得：
∵
∴
∵
说明：第（2）问，与的函数关系式未写出的取值范围不扣分。
∵ ∴当，
如图，直线AC分别交x轴y轴于点A(0，8)、C，抛物线经过A，
B两点；且OB=OC =OA，一条与y轴重合的直线L以每秒2个单位长度的速度向右平移，
交抛物线于点P，连接PB、设直线L移动的时间为t秒，
（1）求抛物线解析式；
（2）当0＜t＜4时，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式；
并求出四边形PBCA的最大面积;
在直线L的移动过程中，直线AC上是否存在一点Q，使得P、Q、B、A四点构成的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) ;
(2) 当0＜t＜4时，点P在第一象限，设P(2t,y),
把x=2t代入，得
如图1，连接OB,S四边形PBCA=S△BOP+ S△AOP + S△AOC
=×4×2t+×8×(-t2+3t+4)+ ×4×8
=-4t2+16t+32.( 0＜t＜4).
当t=2时，四边形PBCA的面积最大，最大面积为48.
（3）①如图2，以BP为平行四边形的一边时，
BP∥AQ，BP=AQ.P(4，6),BP=,AQ= BP=,
可得Q1(4，-2)，Q2(12，2).
②如图3,当以BP为平行四边形的对角线时，
AB∥PQ，AB=PQ.设P(x,y),可得Q(x-8,y+4),
又点Q在直线AC上，yAC=x-4,
把Q(x-8,y+4)代入 yAC=x-4,解得:
x1=,x2=.(不合题意，舍去)。
Q3(，).
