5．1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
一、 单项选择题
1 (2023山东月考)函数y＝f(t)，当自变量t由t改变到t＋Δt时，y的变化量为( )
A. f(t＋Δt) B. f(t)＋Δt
C. f(t)·Δt D. f(t＋Δt)－f(t)
2 (2023泉州实验中学期中)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为，则下列结论中正确的是( )
A. 直线AB的倾斜角为
B. 直线AB的倾斜角为
C. 直线AB的斜率为－
D. 直线AB的斜率为－
3 函数y＝f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4 若函数y＝－2x－8在x1＝－2处有增量Δx＝0.5，则函数f(x)在区间[x1，x1＋Δx]上的平均变化率是( )
A. 2 B. 4 C. －4 D. －2
5 已知函数f(x)＝ln (x＋1)，则f(1)，，的大小关系为( )
A. f(1)<<
B. C. <D. 6 (2023福建期中)若一射线OP从OA处开始，绕点O匀速逆时针旋转(到OB处停止)，所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数，S(t)的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是( )
A B C D
二、 多项选择题
7 下列关于平均变化率的说法中，正确的是( )
A. 函数f(x)＝3x＋b在区间[1，8]上的平均变化率为3
B. 对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等
C. 一次函数在其定义域内的任一区间上的平均变化率与其对应直线的斜率相等
D. 已知函数y＝x3－2，则当x＝2时，＝(Δx)2＋6Δx
8 两个学校W1，W2开展节能活动，活动开始后两学校的用电量W1(t)，W2(t)与时间 t(单位：天)的关系如图所示，则下列说法中不正确的有( )
A. W1比W2节能效果好
B. W1的用电量在时间[0，t0]内的平均变化率比W2的用电量在时间[0，t0]内的平均变化率大
C. 两个学校的节能效果一样好
D. W1与W2自节能以来用电量总是一样大
三、 填空题
9 (2023绥化开学考试)函数y＝e2x在区间[0，1]上的平均变化率为________．
10 函数f(x)＝x，g(x)＝x2在区间[0，1]的平均变化率分别记为k1，k2，则k1，k2的大小关系为________．
11 (2023广东月考)蜥蜴的体温T(单位：℃)与太阳落山后的时间t(单位：min)的关系为 T＝＋15，则从t＝0到t＝10这一时间段，蜥蜴体温的平均变化率为______℃/min.
四、 解答题
12 (2023河北月考)已知三个函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x.
(1) 指出三个函数在区间[0，＋∞)上的单调性；
(2) 取x1＝0，x2＝2，x3＝4，x4＝6，Δx＝2，求三个函数分别在区间[xi，xi＋Δx](i＝1，2，3，4)上的平均变化率(列成表格即可)；
(3) 分析三个函数在区间[xi，xi＋Δx](i＝1，2，3，4，…)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况．
13 (2023湖北月考)下表为某水库存水量y(单位：万立方米)与水深x(单位：m)的对照表：
水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35
存水量y/万立方米 0 20 40 90 160 275 437.5 650
(1) 当x从5m增长到10m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；
(2) 当x从25m增长到30m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；
(3) 比较(1)与(2)的数值的大小，并联系实际情况解释意义．
【答案解析】
5．1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
1. D 由题意，得y的变化量为f(t＋Δt)－f(t).
2. A 因为f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为，所以＝＝，所以f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率就是直线AB的斜率kAB，则kAB＝，故直线AB的倾斜角为.
3. D 根据题意，函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为＝＝m＋1，则 m＋1＝3，解得 m＝2.
4. D 由题意，得f(x)在区间[x1，x1＋Δx]上的平均变化率为＝－2.
5. C 如图，作出函数 f(x)＝ln (x＋1)的图象．由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x的增大而减小．因为1<2<3，所以>>，即f(1)>>.
6. D 由题意，OP从OA处开始，绕点O匀速逆时针旋转．对于A，OP扫过的圆内阴影部分的面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不符合要求；对于B，OP扫过的圆内阴影部分的面积是匀速变化的，不符合要求；对于C，OP扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不符合要求；对于D，OP扫过的三角形内阴影部分的面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，符合要求，故选D.
7. ABC 对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等，与一次函数对应直线的斜率相等，故A，B，C正确；因为函数y＝x3－2，所以当 x＝2时，＝＝＝(Δx)2＋6Δx＋12，故D错误．故选ABC.
8. BCD 由图象可知，W1的图象比W2的图象更陡，即W1的用电量减小的多，所以W1比W2节能效果好，故A正确，C错误；由图象可知，<，则W1的用电量在时间[0，t0]内的平均变化率比W2的用电量在时间[0，t0]内的平均变化率要小，故B错误；由于曲线W1(t)和曲线W2(t)不重合，故D错误．故选BCD.
9. e2－1 由题意，得平均变化率为＝＝e2－1.
10. k1＝k2 由题意，得k1＝＝1，k2＝＝1，故k1＝k2.
11. －1.6 从t＝0到t＝10这一时间段，蜥蜴体温的平均变化率为＝－＝－＝－1.6(℃/min).
12. (1) 根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知，函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x在区间[0，＋∞)上都单调递增．
(2) 列表如下：
[0，2] [2，4] [4，6] [6，8]
f1(x)＝2x 2 2 2 2
f2(x)＝x2 2 6 10 14
f3(x)＝2x 6 24 96
(3) 由上表可知，函数f1(x)＝2x随着自变量的增大，在自变量增量为Δx的条件下，各区间上的函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态；函数f2(x)＝x2在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长的速度越来越快；函数f3(x)＝2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快，并且比f2(x)的增长速度快得多．
13. (1) 根据表格可知，当x从5 m增长到10 m时，存水量y关于x的平均变化率为＝4，
即当x从5 m增长到10 m时，水深每增长1 m，水库存水量增加4万立方米．
(2) 根据表格可知，当x从25 m增长到30 m时，存水量y关于x的平均变化率为＝32.5，即当x从25 m增长到30 m时，水深每增长1 m，水库存水量增加32.5万立方米．
(3) 显然4<32.5，所以该水库的水深从5 m增长到10 m时，存水量的平均增长率小于水深从25 m增长到30 m时存水量的平均增长率，说明该水库的存水量的增加随着水深的增长会越来越快．5．1.2 瞬时变化率——导数(1)
一、 单项选择题
1 (2023上海浦东新区期末)在区间(0，1)上，函数y＝f(x)的图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则下列图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是( )
A B C D
2 曲线y＝在点(1，1)处的切线的倾斜角α等于( )
A. B.
C. D. －
3 曲线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线方程为( )
A. y＝x＋1 B. y＝－2x＋4
C. y＝2x D. y＝4x－2
4 已知f(x)＝－2x2，若曲线y＝f(x)在x＝a处的切线的斜率为－4，则实数a的值为( )
A. 1 B. 2
C. －1 D. －2
5 若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，1)处的切线方程为3x－y－2＝0，则下列结论中正确的是( )
A. a＝－1，b＝1 B. a＝1，b＝－1
C. a＝－2，b＝1 D. a＝2，b＝－1
6 (2023宜春丰城九中开学考试)已知函数f(x)的定义域为R，f(3x－1)为奇函数，且f(x－1)的图象关于直线x＝1对称．若曲线f(x)在x＝1处的切线斜率为2，则曲线f(x)在x＝2 023处的切线方程为( )
A. y＝－2x＋4 046 B. y＝2x＋4 046
C. y＝2x－4 046 D. y＝－2x－4 046
二、 多项选择题
7 (2023德州一中月考)已知曲线y＝f(x)在点(1，3)处的切线过点(0，2)，设曲线y＝f(x)在点(1，3)处的斜率为k，则下列结论中不正确的是( )
A. f(1)＝3 B. k＝1
C. f(0)＝2 D. k＝0
8 (2023南通月考)过点P(－2，1)的直线与函数f(x)＝x3＋1的图象相切于点Q(x0，y0)，则x0的值可以是( )
A. 0 B. 2
C. 3 D. －3
三、 填空题
9 已知曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线的斜率为1，则当x无限趋近于0时，＝________．
10 若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________．
11 (2023济宁期末)曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为________．
四、 解答题
12 已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1) 抛物线与直线的交点坐标；
(2) 抛物线在交点处的切线方程．
13 求曲线y＝2x－x3在点Q(－1，－1)处的切线方程及该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积．
【答案解析】
5．1.2 瞬时变化率——导数(1)
1. A 根据图象，在区间(0，1)上，函数y＝f(x)的图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，显然B，C，D不符合题意；对于A，函数y＝f(x)的图象在点(0，0)处的切线斜率等于1，且在区间(0，1)上，切线斜率不断增大，故A正确．
2. C 因为＝＝.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数－1，所以曲线在点(1，1)处的切线的倾斜角α＝.
3. C 因为＝＝2＋Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数2，所以曲线 y＝x2＋1在点(1，2)处的切线斜率 k＝2，则切线方程为y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.
4. A 设点P(a，－2a2)，Q(a＋Δx，－2(a＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝－4a－2Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－4a，所以－4a＝－4，解得a＝1.
5. B 由题意，得＝＝2＋a＋Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2＋a，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为2＋a.因为曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，1)处的切线方程为3x－y－2＝0，所以2＋a＝3，解得a＝1.又因为点(1，1)在曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b上，所以1＋a＋b＝1，解得b＝－1，所以a＝1，b＝－1.
6. A 因为f(3x－1)为奇函数，所以f(－3x－1)＝－f(3x－1)，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，可得f(－x－2)＝－f(x).因为f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，可得f(x)＝f(－x)，所以f(－x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，所以曲线 f(x)在x＝2 023处的切线斜率等于曲线f(x)在x＝－1处的切线斜率．因为曲线f(x)在x＝1处的切线斜率为2，图象关于直线x＝0对称，所以曲线f(x)在x＝－1处的切线斜率为－2.因为f(1)＝f(－1)，f(－1)＝－f(－1)，所以f(1)＝f(－1)＝0，所以f(2 023)＝f(－1)＝0，所以曲线 f(x)在x＝2 023处的切线方程为y－0＝－2(x－2 023)，即y＝－2x＋4 046.
7. CD 因为切点为(1，3)，所以f(1)＝3，故A正确；因为(0，2)为切线上的点，不一定为切点，故C错误；由切线经过点(1，3)和(0，2)，得切线斜率k＝＝1，故B正确，D错误．故选CD.
8. AD 因为＝＝3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2，所以当Δx无限趋近于0时，3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2无限趋近于3x，所以函数 f(x)在点Q(x0，y0)处切线的斜率为3x.由题意，得切线PQ的斜率为k＝＝，所以3x＝，解得x0＝0或x0＝－3.故选AD.
9. － 由题意，得当x无限趋近于0时，＝1，所以＝－·＝－.
10. －1 设切点为P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0(Δx)＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4x0，所以4x0＝4，解得x0＝1，则y0＝3.将点(1，3)代入直线4x－y＋m＝0，得m＝－1.
11. 2x－y－4＝0 因为＝＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2，所以切线的斜率k＝2，所以切线方程为y＋2＝2(x－1)，即2x－y－4＝0.
12. (1) 由题意，得x2＋4＝x＋10，
解得x＝－2或 x＝3.
当x＝－2时，y＝8；当x＝3时，y＝13，
故抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)，(3，13).
(2) 当(－2，8)为切点时，
＝＝Δx－4，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4，即切线的斜率为－4，则切线方程为y＝－4x.
同理可得当(3，13)为切点时的切线方程为y＝6x－5.
13. 因为点Q(－1，－1)在曲线上，设另一点为P(－1＋Δx，2(－1＋Δx)－(－1＋Δx)3)，
则kPQ＝
＝－1＋3Δx－(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，
所以曲线在点Q(－1，－1)处的切线斜率为－1，
则切线方程为x＋y＋2＝0，
所以该切线与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，－2)，
则该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积为×2×2＝2.5．1.2 瞬时变化率——导数(2)
一、 单项选择题
1 如果一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2(位移S单位：m，时间t单位：s)，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A. 4m/s B. 5m/s
C. 6m/s D. 8m/s
2 已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t2＋2t＋2，则在t＝1时的瞬时加速度是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
3 一物体的运动方程为S＝－at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度为( )
A. at0 B. －at0
C. at0 D. 2at0
4 如果函数y＝在x＝x0处的瞬时变化率为－1，那么x0的值为( )
A. 1 B. －1
C. ±1 D. ±2
5 已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可表示为y＝，则在时刻t＝40 min时的降雨强度为( )
A. mm/min B. mm/min
C. 40mm/min D. 20mm/min
6 一物体的运动方程是S＝t＋，则在t＝3时的瞬时速度是( )
A. B. C. 1 D. 2
二、 多项选择题
7 (2023河北月考)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)的函数关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则下列说法中正确的是( )
A. 运动员在t＝1 s时的瞬时速度是3.3m/s
B. 运动员在t＝1 s时的瞬时速度是－3.3m/s
C. 运动员在t＝1 s附近以3.3m/s的速度上升
D. 运动员在t＝1 s附近以3.3m/s的速度下降
8 (2023江苏月考)某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系式V(t)＝H(H为常数)，其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(单位：m3/h)，t1，t2，t3，t4时刻的瞬时融化速度分别为v1，v2，v3，v4(单位：m3/h)，则下列结论中正确的是( )
A. v1< B. v2>
C. v3＋>0 D. v4＋<0
三、 填空题
9 物体的运动方程为S(t)＝7t2－13t＋8，则当t0＝________时，该物体的瞬时速度为1.
10 已知函数f(x)＝x2＋2x在区间[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在区间[2，3]上的平均变化率的2倍，则实数a的值为________；估计函数f(x)在x＝a处的瞬时变化率为________．
11 水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为2.5 m时，圆面积的膨胀率是________．
四、 解答题
12 (2023山东月考)某一运动物体，在x(单位：s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.
(1) 求该物体在第1s内的平均速度；
(2) 求该物体在第1s末的瞬时速度；
(3) 经过多少时间该物体的运动速度达到 14m/s
.
13 已知长方形的周长为10，一边长为x，其面积为S.
(1) 写出S关于x的函数关系式；
(2) 当x从1增加到1＋Δx时，面积S改变了多少？此时面积S关于x的平均变化率是多少？
(3) 当一边长从x增加到x＋Δx时，面积S改变了多少？此时面积S关于x的平均变化率是多少？
(4) 在x＝1处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？并解释它的实际意义；
(5) 在x＝x0处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？并解释它的实际意义．
【答案解析】
5．1.2 瞬时变化率——导数(2)
1. B ＝＝5＋Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于5，即物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.
2. A 在[1，1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4，即在t＝1时的瞬时加速度是4.
3. B ＝＝－at0－a(Δt)，则当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－at0，则该物体在t＝t0时的瞬时速度为－at0.
4. C 因为＝＝－，所以当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－，则－＝－1，解得x0＝±1.
5. A 因为＝＝，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于，即在时刻t＝40 min时的降雨强度为 mm/min.
6. B 因为 ΔS＝3＋Δt＋－3－＝Δt－，所以＝1－，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于，即物体在t＝3时的瞬时速度为.
7. BD 由题意，得h(1)＝－4.9＋6.5＋10＝11.6.因为＝＝－4.9Δt－3.3，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－3.3，即运动员在t＝1 s时的瞬时速度为 －3.3 m /s，所以该运动员在t＝1 s附近以3.3 m/s的速度下降．故选BD.
8. AD 平均融化速度为＝，反映的是V(t)的图象与坐标轴交点连线的斜率．如图，观察可知t1，t2处的瞬时速度(即切线的斜率)小于平均速度，t3，t4处的瞬时速度及都小于0，即v1<，v2<，v3＋<0，v4＋<0.故选AD.
9. 1 由题意，得＝＝＝14t0－13＋7Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于14t0－13，则14t0－13＝1，解得t0＝1.
10. 2 6 由题意，得函数f(x)在区间[0，a]上的平均变化率为＝＝a＋2，函数 g(x) 在区间[2，3]上的平均变化率为＝＝2.由题意知，a＋2＝2×2，所以 a＝2.函数f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝Δx＋6.当Δx无限趋近于0时，Δx＋6无限趋近于6，故估计函数f(x)在x＝a处的瞬时变化率为6.
11. 2.5π 设水波向外扩张的时间为t s，此时的面积为S(t)，则S(t)＝π(0.5t)2＝0.25πt2.因为水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，所以当半径为2.5 m 时，t＝5，则＝0.25π×(10＋Δt)，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2.5π.
12. (1) 物体在第1 s内的平均速度为＝＝(m/s).
(2) 因为＝
＝
＝6＋3Δx＋(Δx)2，
所以当Δx无限趋近于0时，无限趋近于6，
所以物体在第1 s末的瞬时速度为6 m/s.
(3) 因为＝＝
＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x(Δx)＋Δx，
所以当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x2＋2x＋2.
令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2或x＝－3(舍去)，
即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.
13. (1) 长方形的周长为10，一边长为x，则另一边长为5－x，
所以此长方形的面积S＝x(5－x)，0(2) 当x从1增加到1＋Δx时，
面积S的改变量为ΔS＝(1＋Δx)(4－Δx)－1×4＝3Δx－(Δx)2.
因为＝3－Δx，
所以此时面积S关于x的平均变化率是3－Δx.
(3) 当一边长从x增加到x＋Δx时，
面积S的改变量为ΔS＝(x＋Δx)(5－x－Δx)－x(5－x)＝－2x(Δx)＋5Δx－(Δx)2.
因为＝－2x＋5－Δx，
所以此时面积S关于x的平均变化率是－2x＋5－Δx.
(4) 由(2)可得，当Δx无限趋近于0时，无限趋于3，即面积S关于x的瞬时变化率是3，
它的实际意义是：在x＝1时，面积的增加速度为3.
(5) 由(3)可得，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－2x0＋5，即面积S关于x的瞬时变化率是－2x0＋5，
它的实际意义是：在x＝x0时，面积的增加速度为 －2x0＋5. 5．1.2 瞬时变化率——导数(3)
一、 单项选择题
1 函数f(x)＝x2－2的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A. 1 B. 2 C. －2 D. －1
2 (2023渭南蒲城中学期中)若函数y＝f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ，且＝＝4＋Δx，则f′(2) 的值为( )
A. 2 B. 4
C. 2＋Δx D. 4＋Δx
3 (2023嘉兴八校期中联考)函数f(x)＝x2在x＝2处的瞬时变化率为( )
A. －2 B. 2 C. 4 D. －4
4 已知函数f(x)在R上可导，若f′(2)＝3，则 等于( )
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
5 函数y＝f(x)的图象在点(x0，y0)处的切线方程为y＝2x＋1，则 等于( )
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
6 若 ＝2，f(3)＝3，则f(x)的图象在点(3，f(3))处的切线方程为( )
A. 2x＋y＋9＝0 B. 2x＋y－9＝0
C.－2x＋y＋9＝0 D.－2x＋y－9＝0
二、 多项选择题
7 (2023聊城高唐一中月考)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是( )
A. f′(3)>f′(2)
B. f′(3)C. f(3)－f(2)>f′(3)
D. f(3)－f(2)8 对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有( )
A.
B.
C.
D.
三、 填空题
9 已知f(x)＝，则 ＝________．
10 已知函数f(x)为可导函数，且有 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为________．
11 已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
四、 解答题
12 (2023徐州沛县月考)已知函数f(x)＝10x＋x2，求：
(1) Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2) ；
(3) ；
(4)f′(x)，f′(5)，f′(0)的值．
13 已知曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，求a的值．
【答案解析】
5．1.2 瞬时变化率——导数(3)
1. B f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2，则f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2.
2. B 根据导数的定义可知，f′(2)＝ ＝ (4＋Δx)＝4.
3. C 因为＝＝Δx＋4，所以函数f(x)＝x2在x＝2处的瞬时变化率为 f′(2)＝ ＝ (Δx＋4)＝4.
4. A 由题意，得 ＝4× ＝4f′(2)＝12.
5. D 由题意，得f′(x0)＝2，所以f′(x0)＝ ＝2，所以 ＝2 ＝2f′(x0)＝4.
6. B 因为 ＝2，f(3)＝3，令Δx＝x－2，所以 ＝－ ＝－f′(3)＝2，所以f′(3)＝－2，所以f(x)的图象在点(3，f(3))处的切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
7. BCD 由函数的图象可知，函数f(x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，即f′(2)>f′(3)，故A错误，B正确；记A(2，f(2))，B(3，f(3)).如图，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由函数图象可知，k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0，故C，D正确．故选BCD.
8. AD 因为 ＝f′(x0)＝2，故A正确；因为 ＝f′(x0)＝1，故B错误；因为 ＝2f′(x0)＝4，故C错误；因为 ＝f′(x0)＝2，故D正确．故选AD.
9. － 因为f(x)＝＝1＋，所以f(2＋h)－f(2)＝1＋－＝－＝，所以 ＝ ＝ ＝－.
10. 2 由 ＝－1，得k＝f′(1)＝ ＝－2 ＝2.
11. 3 因为M(1，f(1))是切点，所以点M在切线上，所以f(1)＝＋2＝.因为函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线的方程是y＝x＋2，所以切线斜率是，即f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
12. (1) Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝10(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－10x－x2
＝10Δx＋2x(Δx)＋(Δx)2.
(2) ＝＝10＋2x＋Δx.
(3) ＝ (10＋2x＋Δx)＝10＋2x.
(4) 由(2)知，f′(x)＝ ＝10＋2x，
则f′(5)＝10＋2×5＝20，f′(0)＝10＋2×0＝10.
13. 因为＝＝2a＋a(Δx)，
所以当Δx→0时，2a＋a(Δx)→2a，
即 ＝[2a＋a(Δx)]＝2a，
所以曲线在点(1，a)处切线的斜率为2a.
又切线与直线2x－y－6＝0平行，
所以2a＝2，解得a＝1.
