5．2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
一、 单项选择题
1 (2024大同期末)曲线f(x)＝在点(9，f(9))处的切线方程为( )
A. x－6y＋9＝0 B. 3x－2y－21＝0
C. 9x－2y－75＝0 D. x－2y＋3＝0
2 若函数f(x)＝10x，则f′(1) 等于( )
A. B. 10
C. 10ln 10 D.
3 若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为( )
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
4 已知f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(1)＝，则α等于( )
A. B. C. D.
5 (2023镇江一中期末)已知直线y＝ex＋a与曲线y＝ln x相切，则实数a的值为( )
A. －1 B. －2
C. D. e
6 函数特性P：函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则下列函数中满足特性P的函数为( )
A. y＝x3 B. y＝sin x
C. y＝ex D. y＝ln x
二、 多项选择题
7 (2023南宁二中期末)若P为曲线y＝ex上的动点，Q为直线y＝x上的动点，则PQ的可能取值为( )
A. B.
C. 1 D.
8 (2023洛阳强基联盟月考)下列求导运算中，正确的是( )
A. (2x)′＝2xlog2e
B. ()′＝
C. (sin 1)′＝cos 1
D. (log3x)′＝
三、 填空题
9 已知f(x)＝x3，g(x)＝3x, 则f′(x)－g′(x)＝________．
10 (2023常州期末)函数f(x)＝x在x＝4处的瞬时变化率为________．
11 过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．
四、 解答题
12 求下列函数的导数：
(1) y＝cos2－sin2；
(2)y＝.
13 设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于直线l1，若直线l2交x轴于点Q，作PK垂直x轴于点K，求线段KQ的长．
【答案解析】
5．2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
1. A 由题意，得f(9)＝＝3，则切点的坐标为(9，3).因为f′(x)＝，所以f′(9)＝，即曲线f(x)＝在切点(9，3)处的切线斜率k＝，所以切线方程为y－3＝(x－9)，即x－6y＋9＝0.
2. C 因为f′(x)＝10xln 10，所以f′(1)＝10ln 10.
3. A 因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0.
4. D 因为f(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα-1，所以 f′(1)＝α＝.
5. B 设切点为P(x0，y0)，由y＝ln x，得y′＝.因为直线y＝ex＋a与曲线y＝ln x相切，所以＝e，解得x0＝，y0＝ln ＝－1，所以P.又点P在直线y＝ex＋a上，所以－1＝e×＋a，解得a＝－2.
6. B 设函数y＝f(x)的图象上存在两点(x1，y1)，(x2，y2)，若k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1，则图象在这两点处的切线互相垂直，满足特性P.对于A，y′＝3x2≥0，则k1·k2＝3x·3x≠－1，故A不正确；对于B，y′＝cos x，则k1·k2＝cos x1·cos x2，因为cos x∈[－1，1]，所以存在x1，x2满足cos x1·cos x2＝－1，故B正确；对于C，y′＝ex>0，则k1·k2＝ex1·ex2≠－1，故C不正确；对于D，y′＝>0，则k1·k2＝·≠－1，故D不正确．
7. ACD 由题意，要使PQ的取值最小，则P为平行于y＝x的直线与y＝ex的切点．令y′＝f′(x)＝ex＝1，可得x＝0，故切点为P(0，1).以P为切点平行于y＝x的切线方程为y＝x＋1，此时PQmin＝＝，则PQ的可能取值为，1，.故选ACD.
8. BD 对于A，(2x)′＝2x ln 2，故A错误；对于B，()′＝(x)′＝x－＝，故B正确；对于C，(sin 1)′＝0，故C错误；对于D，(log3x)′＝，故D正确．故选BD.
9. 3x2－3x ln 3 因为f′(x)＝3x2，g′(x)＝3x ln 3，所以f′(x)－g′(x)＝3x2－3x ln 3.
10. 3 由题意，得f′(x)＝x，根据导数的定义可知，函数f(x)＝x在x＝4处的瞬时变化率为 f′(4)＝×4＝3.
11. (1，e) y＝ex 设切点坐标为(x0，y0).因为 y′＝ex，所以切线的斜率为ex0，则ex0＝.又 y0＝ex0，得x0＝1，所以切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e，切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.
12. (1) 因为y＝cos2－sin2＝cosx，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
(2) 因为y＝＝＝，
所以y′＝()′＝－＝－．
13. 设点P(x0，y0).
因为y＝，所以y′＝，
所以kl1＝.
又l1⊥l2，所以kl2＝－2，
所以直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0).
因为点P在曲线y＝上，所以y0＝.
在直线l2的方程中，当y＝0时，x＝＋x0，
即xQ＝＋x0.
因为PK⊥x轴，所以xK＝xP＝x0，
所以KQ＝|x0－－x0|＝，
故线段KQ的长为.5．2.2 函数的和、差、积、商的导数
一、 单项选择题
1 (2023重庆联考)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋5，且f′(－1)＝f(1)，则f′(1)的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. －1
2 下列式子中，不正确的是( )
A. (3x2＋cos x)′＝6x－sin x
B. (ln x－2x)′＝－2x ln 2
C. (2sin 2x)′＝2cos 2x
D. ′＝
3 (2023盐城阜宁中学期中)已知函数f(x)＝2x3－mex(m∈R)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线经过定点( )
A. (－1，0) B. (0，0)
C. (1，0) D. (2，0)
4 已知函数f(x)＝＋ax，若f′(0)＝2，则f(2)的值为( )
A. B. 2 C. D. 3
5 (2023阜新第二高级中学期末)若直线x＋y＋2a＝0与曲线y＝x－2ln x相切，则实数a的值为( )
A. －1 B. 0 C. －3 D. －2
6 (2023安徽期中)抛物线y＝－x2－2x－2与y＝x2－6x＋12的两条公切线(同时与两条曲线相切的直线叫作两曲线的公切线)的交点坐标为( )
A. (2，1) B. (2，－1)
C. (1，1) D. (1，2)
二、 多项选择题
7 (2024临沂期末)下列求导运算中，正确的是( )
A. [cos (－x)]′＝sin x
B. ′＝
C. ()′＝x
D. (1－x3)′＝1－3x2
8 (2023北京房山期末)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．下列函数中，在区间上是凸函数的是 ( )
A. f(x)＝cos x＋sin x
B. f(x)＝ln x＋3x
C. f(x)＝－x3＋4x－8
D. f(x)＝xex
三、 填空题
9 (2023揭阳三校期中联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b，曲线f(x)在点P(3，1)的切线与直线x＋3y＝0垂直，则a＋b＝________．
10 (2023安康江南中学期中)函数f(x)＝f′sin x－cos x的最大值为________．
11 (2023绵阳期中)若函数f(x)＝ln x＋2x2＋bx＋1图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数b的取值范围为________．
四、 解答题
12 求下列函数的导数：
(1) y＝x cos x－(ln x)sin x；
(2) y＝＋.
13 已知a为实数，函数f(x)＝(x－a).
(1) 若f′(1)＝0，求实数a的值；
(2) 若a＝3，求函数f(x)的图象在x＝4处的切线方程．
【答案解析】
5．2.2 函数的和、差、积、商的导数
1. B 由f(x)＝x3＋mx2＋5，得f′(x)＝3x2＋2mx.由f′(－1)＝f(1)，得3－2m＝1＋m＋5，解得 m＝－1，故f′(1)＝3＋2m＝3－2＝1.
2. C (3x2＋cos x)′＝6x－sin x，(ln x－2x)′＝－2x ln 2，(2sin 2x)′＝(4sin x cos x)′＝4(cos2x－sin2x)＝4cos2x，′＝.
3. A 因为f(x)＝2x3－mex，所以f′(x)＝6x2－mex，则f′(0)＝－m.又f(0)＝－m，则切线方程为y＋m＝－mx，即y＝－m(x＋1).令x＋1＝0，得y＝0，即切线不受参数m的影响，恒过定点(－1，0).
4. A f(x)＝＋ax，则f′(x)＝＋a.因为f′(0)＝2，所以f′(0)＝1＋a＝2，解得a＝1，所以f(x)＝＋x，所以f(2)＝＋2＝.
5. A 因为y＝x－2ln x，所以y′＝1－.设直线l与曲线y＝x－2ln x的切点为P(x0，y0)，则直线l的斜率k＝y′|x＝x0＝1－.又直线x＋y＋2a＝0的斜率为－1，则1－＝－1，解得x0＝1，所以y0＝1－2ln 1＝1，即切点P的坐标为(1，1)，所以1＋1＋2a＝0，解得a＝－1.
6. C 设直线与抛物线y＝－x2－2x－2相切的点为P(x1，－x－2x1－2)，与抛物线y＝x2－6x＋12相切的点为Q(x2，x－6x2＋12).由y＝－x2－2x－2，得y′＝－2x－2；由y＝x2－6x＋12，得y′＝2x－6，则抛物线y＝－x2－2x－2在点P处的切线方程为y－(－x－2x1－2)＝(－2x1－2)(x－x1)，即y＝(－2x1－2)x＋x－2；抛物线y＝x2－6x＋12在点Q处的切线方程为y－(x－6x2＋12)＝(2x2－6)(x－x2)，即y＝(2x2－6)x－x＋12.由题意，得解得x1＝1±，所以两条公切线方程分别为y＝(－4－2)x＋5＋2，y＝(－4＋2)x＋5－2.联立解得所以两条公切线的交点坐标为(1，1).
7. BC 对于A，′＝(cos x)′＝－sin x，故A错误；对于B，′＝＝，故B正确；对于C，()′＝(x)′＝x，故C正确；对于D, (1－x3)′＝－3x2，故D错误．故选BC.
8. ABC 对于A，由f(x)＝cos x＋sin x，得f′(x)＝－sin x＋cos x，所以f″(x)＝－cos x－sin x＝－sin .当x∈时，x＋∈，sin >0，f″(x)<0恒成立，故A为凸函数；对于B，由f(x)＝ln x＋3x，得f′(x)＝＋3，所以f″(x)＝－.当x∈时，f″(x)<0恒成立，故B为凸函数；对于C，由f(x)＝－x3＋4x－8，得f′(x)＝－3x2＋4，所以f″(x)＝－6x.当x∈时，f″(x)<0恒成立，故C为凸函数；对于D，由f(x)＝xex，得f′(x)＝(x＋1)ex，所以f″(x)＝(x＋2)ex.当x∈时，f″(x)>0恒成立，故D不是凸函数．故选ABC.
9. 0 设曲线f(x)在点P(3，1)的切线的斜率为k，则－k＝－1，解得k＝3.因为f′(x)＝x2＋2ax，所以f′(3)＝3，即9＋6a＝3，解得a＝－1，所以f(x)＝x3－x2＋b.因为点P(3，1)在曲线上，则f(3)＝1，即×27－9＋b＝1，解得b＝1，所以a＋b＝0.
10. 2 因为f′(x)＝f′cos x＋sin x，所以f′＝f′cos ＋sin ＝f′＋，解得f′＝，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，故f(x)的最大值为2.
11. (－4，＋∞) 函数f(x)＝ln x＋2x2＋bx＋1的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝＋4x＋b.由题意，得 x>0，f′(x)>0.因为＋4x＋b≥2＋b＝4＋b，当且仅当＝4x，即x＝时取等号，所以4＋b>0，解得b>－4，故实数b的取值范围为(－4，＋∞).
12. (1) y′＝cos x＋x(－sin x)－[＋(ln x)cos x]＝cos x(1－ln x)－sin x.
(2) y′＝＋＝
＋＝＋.
13. (1) 由题意，得函数的定义域为[0，＋∞)，
f′(x)＝＋＝(x>0).
因为f′(1)＝0，即＝0，所以a＝3.
(2) 当a＝3时，f(x)＝(x－3)，f′(x)＝，
所以f′(4)＝，f(4)＝2，
所以函数f(x)的图象在x＝4处的切线方程为 y－2＝(x－4)，即y＝x－7.5．2.3 简单的复合函数的导数
一、 单项选择题
1 函数y＝cos 2x的导函数为( )
A. y′＝sin 2x B. y′＝－sin 2x
C. y′＝2sin 2x D. y′＝－2sin 2x
2 已知函数y＝cos (ln x)，则y′等于( )
A. －sin (ln x) B.
C. － D.
3 (2023南通海安中学期中)已知f(x)＝(2x－1)3，则f′(2) 的值为( )
A. 27 B. 54 C. 12 D. 6
4 (2023周口项城第三高级中学月考)已知函数f(x)＝，则函数f(x)的图象在 x＝5处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
5 (2023长沙长郡中学月考)函数f(x)＝e4x－x－2的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A. 3x＋y＋1＝0 B. 3x＋y－1＝0
C. 3x－y＋1＝0 D. 3x－y－1＝0
6 已知f(x)＝x2ln 2x，若f′(x0)＝x0，则x0等于( )
A. B.
C. ln 2 D. 1
二、 多项选择题
7 (2023阜新期末)下列求导运算中，正确的是( )
A. (e2x)′＝2e2x B. ′＝
C. ′＝ D. (xex)′＝(x＋1)ex
8 (2023衡阳衡南期末)函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则下列结论中正确的是( )
A. f′(x)为偶函数
B. f′(0)＝0
C. f(x)的图象关于(1，0)对称
D. 若F(x)＝f(x)＋xf′(x)，则F′(x)为奇函数
三、 填空题
9 (2023阜新第二高级中学期末)已知函数f(x)＝－x2＋3xf′(1)＋6ln (2x＋1)，则 f(1)＝________．
10 已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为________．
11 (2023阜新第二高级中学期末)已知曲线y＝e1-x－x ln x在x＝1处的切线与直线x＋my＋2＝0垂直，则实数m＝________．
四、 解答题
12 求下列函数的导数：
(1) y＝(x＋1)99；
(2) y＝；
(3) y＝(2x－3)sin (2x＋5)；
(4) y＝.
13 (2023菏泽期末)已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x).
(1) 求f(x)的导数；
(2) 求f(x)的图象在点处的切线方程．
【答案解析】
5．2.3 简单的复合函数的导数
1. D y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x.
2. C y＝cos (ln x)可由y＝cos u及u＝ln x 复合而成，y′u＝－sin u，u′x＝，故y′＝－.
3. B 因为f(x)＝(2x－1)3，所以f′(x)＝3(2x－1)2×2＝6(2x－1)2，故f′(2)＝6×32＝54.
4. D 由题意，得f′(x)＝，则f′(5)＝＝，即函数f(x)的图象在x＝5处切线的斜率为.
5. D 由题意，得f′(x)＝4e4x－1，所以k＝f′(0)＝3.因为f(0)＝－1，所以切线方程为y＋1＝3x，即 3x－y－1＝0.
6. A 因为f′(x)＝2x ln 2x＋x2·＝2x ln 2x＋x，又f′(x0)＝x0，所以2x0ln 2x0＋x0＝x0，所以2x0ln 2x0＝0.因为x0＞0，所以 ln 2x0＝0，所以 x0＝.
7. ABD 对于A，(e2x)′＝2e2x，故A正确；对于B，′＝2·＝，故B正确；对于C，′＝－，故C错误；对于D, (xex)′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，故D正确．故选ABD.
8. AC 对于A，因为f(x)为奇函数，且在定义域R上可导，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导，得f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，故A正确；对于B，令f(x)＝sin (πx)，显然f(x)为奇函数，且最小正周期T＝＝2，即满足f(x＋2)＝f(x)，则f′(x)＝πcos (πx)，则f′(0)＝π，故B错误；对于C，因为f(x＋2)＝f(x)，且f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x－1＋2)＝f(x＋1)＝－f(1－x)，即f(x＋1)＋f(1－x)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确；对于D，因为F(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以F(－x)＝f(－x)－xf′(－x)＝－f(x)－xf′(x)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数，由A可知F′(x)为偶函数，故D错误．故选AC.
9. 6ln 3－4 由题意，得f′(x)＝－2x＋3f′(1)＋，则f′(1)＝－2＋3f′(1)＋4，解得f′(1)＝－1，所以f(x)＝－x2－3x＋6ln (2x＋1)，故f(1)＝6ln 3－4.
10. 2 由y＝ln (x＋a)，得y′＝.设切点为(x0，x0＋1)，则解得a＝2.
11. －2 因为y＝e1-x－x ln x，定义域为(0，＋∞)，所以y′＝－e1-x－(ln x＋1)，所以曲线y＝e1-x－x ln x 在x＝1处的切线斜率为y′|x＝1＝－2.因为曲线y＝e1-x－x ln x在x＝1处的切线与直线x＋my＋2＝0垂直，所以m＝0不符合题意，所以直线x＋my＋2＝0的斜率为－，所以－×(－2)＝－1，解得m＝－2.
12. (1) y′＝99(x＋1)98.
(2) 因为()′＝×2＝，
所以y′＝＝＝.
(3) y′＝2sin (2x＋5)＋(2x－3)×2cos (2x＋5)＝2sin (2x＋5)＋(4x－6)cos (2x＋5).
(4) y′＝＝.
13. (1) 因为f(x)＝(3x＋1)2ln (3x)，
所以f′(x)＝2(3x＋1)×3ln (3x)＋(3x＋1)2×＝6(3x＋1)ln (3x)＋.
(2) 由f′(x)＝6(3x＋1)ln (3x)＋，得 f′＝6×ln ＋＝12，
所以f(x)的图象在点处的切线方程为y＝12，即y＝12x－4.
