5．3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单 调 性(1)
一、 单项选择题
1 函数f(x)＝x3－3x＋1的单调减区间是( )
A. (1，2)
B. (－1，1)
C. (－∞，－1)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
2 函数f(x)＝x ln x的单调减区间是( )
A. (－∞，0) B.
C. D.
3 已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是( )
A B
C D
4 已知函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调减区间是( )
A. (－1，0)
B.
C. (－∞，－1)，(0，＋∞)
D. ，(0，＋∞)
5 函数f(x)＝2x－5ln x＋x2的单调减区间是( )
A. B.
C. (1，＋∞) D. (0，1)
6 已知f(x)＝x3＋x，则不等式f(x＋2)＋f(x)＜0的解集为( )
A. (－∞，－1) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (0，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2023扬州中学月考)下列函数中，在定义域上为增函数的有( )
A. f(x)＝ex＋x B. f(x)＝xex
C. f(x)＝x－sin x D. f(x)＝x2－ln x
8 (2023淄博五中月考)已知函数f(x)＝，则下列说法中正确的是( )
A. 函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x＋1
B. 函数f(x)的单调减区间为(e，＋∞)
C. 函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－1
D. 函数f(x)的单调增区间为(e，＋∞)
三、 填空题
9 函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
10 已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x－2sin x，则f(x)的单调增区间为________．
11 (2023泉州六中期中)已知函数f(x)＝ln x＋x2－2x满足f(2a2－a)≤f(4a＋12)，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝ex－x.
(1) 求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2) 求函数f(x)的单调区间．
13 (2023江苏期末)已知函数f(x)＝＋ln x(a∈R).
(1) 若f′(1)＝－2，求实数a的值；
(2) 求函数f(x)的单调区间．
【答案解析】
5．3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单 调 性(1)
1. B 因为f(x)＝x3－3x＋1，所以f′(x)＝3x2－3.由3x2－3＜0，得－1＜x＜1，故函数f(x)的单调减区间是(－1，1).
2. D 由题意，得函数f(x)＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1.令f′(x)<0，得0
3. A 设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增，故选A.
4. B 因为f′(x)＝3x2－2mx，所以 f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，所以由f′(x)＝3x2＋4x<0，得－5. D 函数f(x)＝2x－5ln x＋x2的定义域为(0，＋∞).令f′(x)＝2－＋3x＝<0，即3x2＋2x－5＜0，解得－＜x＜1，结合定义域得0＜x＜1，故函数f(x)的单调减区间为(0，1).
6. A 因为f(x)＝x3＋x的定义域为R，且f(－x)＝－x3－x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又f′(x)＝3x2＋1>0，所以函数f(x)在R上为增函数．因为f(x＋2)＋f(x)＜0，所以f(x＋2)＜－f(x)，即f(x＋2)＜f(－x)，所以x＋2＜－x，解得x＜－1，故不等式的解集为(－∞，－1).
7. AC 由f(x)＝ex＋x，得f′(x)＝ex＋1>0，所以f(x)在定义域R上是增函数，故A正确；由f(x)＝xex，得f′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以f(x)在定义域R上不是增函数，故B错误；由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在定义域R上是增函数，故C正确；由f(x)＝x2－ln x，得f′(x)＝2x－＝.因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)在定义域(0，＋∞)上不是增函数，故D错误．故选AC.
8. BC 对于A，C，由题意，得f(1)＝＝0，由f(x)＝，得f′(x)＝，所以切线的斜率k＝f′(1)＝＝1，所以f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－1，故A错误，C正确；对于B，D，由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.由f′(x)>0，解得0e，所以f(x)的单调增区间为(0，e)，单调减区间为(e，＋∞)，故B正确，D错误．故选BC.
9. (1，2) 由题意，得f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，得1＜x＜2，故函数f(x)的单调减区间是(1，2).
10. 由题意，得f′(x)＝－2cos x，令f′(x)>0，得cos x<.又x∈(0，π)，所以11. ∪ 由f(x)＝ln x＋x2－2x，可得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋x－2＝＝≥0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．由不等式f(2a2－a)≤f(4a＋12)，得解得－≤a<0或12. (1) 由题意，得f(0)＝1，即切点坐标为(0，1).
又f′(x)＝ex－1，则f′(0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2) 由f(x)＝ex－x，得f′(x)＝ex－1，
当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，0)，单调增区间为(0，＋∞).
13. (1) 由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝－＋＝.
由f′(1)＝＝1－a＝－2，解得a＝3，
故实数a的值为3.
(2) 由(1)知，f′(x)＝.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.
因为f′(x)>0的解集为{x|x>a}，f′(x)<0的解集为{x|0所以f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，单调减区间为(0，a).
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；当a>0时，f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，单调减区间为(0，a).5．3.1 单 调 性(2)
一、 单项选择题
1 下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A. y＝x2＋ex B. y＝cos x－ex
C. y＝－x D. y＝x2－4x
2 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是( )
A. (－∞，－2] B. (－∞，－1]
C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)
3 设函数f(x)＝x sin x，x1，x2∈，若f(x1)>f(x2)，则下列结论中一定成立的是( )
A. x1>x2 B. x1C. x1＋x2>0 D. x>x
4 已知函数f(x)＝，若a＝f(4)，b＝f(5.3)，c＝f(6.2)，则a，b，c的大小关系是( )
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. b＜a＜c
5 (2023阜新第二高级中学期末)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上单调，则实数k的取值范围是( )
A. (－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)
B. (－3，－1)∪(1，3)
C. (－2，2)
D. 不存在这样的实数k
6 (2023恩施州高中教育联盟期中)已知函数f(x)＝x2023－sin x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C. (－∞，－1]∪
D. ∪[1，＋∞)
二、 多项选择题
7 已知函数f(x)＝e2x－kx(k∈N*)在区间(0，＋∞)上单调递增，则k的取值可以为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8 (2023黄冈黄州中学月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)>f′(x)，则下列不等关系中一定成立的是( )
A. ef(1)>f(2) B. ef(1)C. f(e)>ee-2f(2) D. f(e)三、 填空题
9 (2023鞍山联考)若函数f(x)＝ax3－3ax2＋1有3个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
10 (2023黄冈黄州中学月考)若函数f(x)＝ex＋ax＋1在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
11 (2023上海华东师大一附中月考)已知函数f(x)＝ln x－ax在区间(1，3)上单调递减，则实数a的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2023莆田一中期末)已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R.
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若a＝，x>1，证明：f(x)13 (2023徐州睢宁高级中学月考)已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex.
(1) 若f(x)在区间[1，5]上单调递增，求实数a的取值范围；
(2) 讨论函数f(x)的单调性．
【答案解析】
5．3.1 单 调 性(2)
1. A 对于A，y′＝2x＋ex，当x>0时，y′＝2x＋ex>0恒成立，则该函数在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，y′＝－sin x－ex，在区间(π，2π)上，y′<0，则该函数在区间(π，2π)上单调递减，不符合题意；对于C，y′＝－－1，当x>0时，y′＝－－1<0恒成立，则该函数在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝x2－4x为二次函数，在区间(0，2)上单调递减，不符合题意．
2. D 由题意，得f′(x)＝k－，因为函数f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，所以k≥.因为y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，所以k≥1，所以实数k的取值范围是[1，＋∞).
3. D 因为f(x)＝x sin x为偶函数，且当00，即f(x)在区间上单调递增，所以若f(x1)>f(x2)，则有|x1|>|x2|，即x>x，故D一定成立．
4. B f(x)＝的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝(x＞0)，令f′(x)＞0，解得0＜x＜e；令f′(x)＜0，解得x＞e，故f(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减．因为e＜4＜5.3＜6.2，所以f(4)＞f(5.3)＞f(6.2)，即a＞b＞c.
5. A 因为f(x)＝x3－12x，所以该函数的定义域为R，且f′(x)＝3x2－12.由f′(x)<0，得－20，得x<－2或x>2，所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调减区间为(－2，2).因为函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上单调，所以(k－1，k＋1) (－∞，－2)或(k－1，k＋1) (－2，2)或(k－1，k＋1) (2，＋∞).若(k－1，k＋1) (－∞，－2)，则k＋1≤－2，解得k≤－3；若(k－1，k＋1) (－2，2)，则解得－1≤k≤1；若(k－1，k＋1) (2，＋∞)，则k－1≥2，解得k≥3.综上，实数k的取值范围是(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞).
6. B 由函数f(x)＝x2 023－sin x＋ex－的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2 023－sin (－x)＋e－x－＝－＝－f(x)，得函数f(x)为奇函数，所以不等式f(a－1)＋f(2a2)≤0，可化为f(2a2)≤－f(a－1)＝f(1－a).因为f′(x)＝2 023x2 022－cos x＋ex＋，且x2 022≥0，ex＋≥2，－1≤cos x≤1，所以f′(x)>0恒成立，即f(x)是R上的增函数．由f(2a2)≤f(1－a)，得2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，所以实数a的取值范围为.
7. AB f(x)＝e2x－kx(k∈N*)的导函数为f′(x)＝2e2x－k.要使函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝2e2x－k≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以k≤2e2x(x>0).因为y＝2e2x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以2e2x>2，所以k≤2.故选AB.
8. AD 令g(x)＝，则g′(x)＝.因为f(x)>f′(x)，所以f′(x)－f(x)<0.又ex>0，所以g′(x)<0恒成立，所以g(x)是R上的减函数，所以g(1)>g(2)>g(e)，即>>，整理，得ef(1)>f(2)，f(e)9. 由题意，得f′(x)＝3ax2－6ax＝3ax(x－2).当a＝0时，函数f(x)＝1无零点，不符合题意；当a<0时，令f′(x)>0，得02，所以函数f(x)的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(－∞，0)，(2，＋∞).又f(0)＝1，所以函数f(x)有且仅有1个零点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)>0，得x<0或x>2，令f′(x)<0，得0.综上，当a>时，函数f(x)有3个不同的零点，故实数a的取值范围为.
10. [－1，＋∞) 由f(x)＝ex＋ax＋1，得f′(x)＝ex＋a.因为函数f(x)＝ex＋ax＋1在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a≥－ex在区间(0，＋∞)上恒成立．当x>0时，ex>1，所以－ex<－1，所以a≥－1，故实数a的取值范围为[－1，＋∞).
11. [1，＋∞) 因为函数f(x)＝ln x－ax在区间(1，3)上单调递减，所以f′(x)＝－a≤0在区间(1，3)上恒成立，即a≥在区间(1，3)上恒成立．又∈，故a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞).
12. (1) 由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
若a>0，则当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，无单调减区间；当a>0时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增．
(2) 设g(x)＝f(x)－ax.
由a＝，得g(x)＝ln x－.
又x>1，所以g′(x)＝<0，
所以g(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)13. (1) 因为f(x)＝(x2－2x＋a)ex，
所以f(x)的定义域为R，且f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x＋a)ex＝(x2＋a－2)ex.
因为f(x)在区间[1，5]上单调递增，
所以f′(x)≥0在区间[1，5]上恒成立，
即(x2＋a－2)ex≥0在区间[1，5]上恒成立．
因为ex>0在区间[1，5]上恒成立，
所以x2＋a－2≥0在区间[1，5]上恒成立，
即a≥－x2＋2在区间[1，5]上恒成立，
即a≥(－x2＋2)max.
因为1≤x≤5，所以－23≤－x2＋2≤1，
所以a≥1.
故实数a的取值范围是[1，＋∞).
(2) 由(1)，得f′(x)＝(x2＋a－2)ex，
当a≥2时，f′(x)≥0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增；
当a<2时，f′(x)＝[x2－(2－a)]ex＝(x＋)·(x－)ex.
由f′(x)>0，得x<－或x>，
由f′(x)<0，得－所以f(x)在区间(－，)上单调递减，在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥2时，f(x)在R上单调递增；当a<2时，f(x)在区间(－，)上单调递减，在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增．5．3.2 极大值与极小值(1)
一、 单项选择题
1 (2023滁州期末)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点为( )
A. x3
B. x4
C. x5
D. x1和x4
2 已知函数f(x)在R上可导，若命题p：f′(x0)＝0，q：函数f(x)在x＝x0处取得极值，则p是q的( )
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2023南京励志高级中学期末)已知函数 f(x)＝(x2－x＋1)ex(e为自然对数的底数)，则函数f(x)的极小值为( )
A. B. e C. e2 D. 1
4 (2023景德镇期末)已知为等比数列，函数f(x)＝－x2＋4x＋1，若a1与a5恰好为f(x)的两个极值点，则a3的值为( )
A. ±2或± B. ±2
C. 2 D.
5 (2023黄山期末)已知函数f(x)＝sin 2x cos θ＋sin θ－2sin 2x sin θ的图象关于直线x＝对称，其中－<θ<0，则f(x)在区间(0，2π)上的极值点有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6 (2023聊城期末)若函数f(x)＝x3－ax2＋ax＋3存在极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，0)∪(3，＋∞)
B. (0，3)
C. (－∞，0]∪[3，＋∞)
D. [0，3]
二、 多项选择题
7 (2023景德镇期末)对于定义在R上的可导函数f(x)，f′(x)为其导函数，下列说法中不正确的是( )
A. 若x0是f′(x)＝0的实根，则x0一定是函数f(x)的极值点
B. “f(x)在R上单调递减”是“f′(x)<0在R上恒成立”的充要条件
C. 若函数f(x)既有极小值又有极大值，则其极大值一定不会比极小值小
D. 若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调
8 (2023辽宁期末)若函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx既有极大值又有极小值，则下列结论中正确的是 ( )
A. a＞0 B. b＞0
C. b2－8a＞0 D. b2＝8a
三、 填空题
9 (2023东莞期末)已知函数f(x)＝x＋cos 2x，x∈(0，π)，则f(x)的极大值点为________．
10 (2023北京人大附中期中)函数f(x)＝(x－2)ex的零点个数为________，其极值点是________．
11 (2023徐州睢宁高级中学月考)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋2在区间[0，2]上不单调，则实数a的取值范围为________．
四、 解答题
12 求下列函数的极值：
(1) f(x)＝x3－x；
(2) f(x)＝x2e－x.
13 已知函数f(x)＝ln x－.
(1) 若a＝－3，求函数f(x)的极值；
(2) 若函数f(x)在区间[e，e3]上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案解析】
5．3.2 极大值与极小值(1)
1. C 由导函数f′(x)的图象可知，当xx5时，f′(x)>0，当x32. B 由题意可知，对于在R上可导的函数f(x)，导数为0的点不一定是极值点，但极值点一定是导数为0的点，所以命题p推不出命题q，命题q能推出命题p，所以p是q的必要且不充分条件．
3. D 因为f(x)＝(x2－x＋1)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x2＋x)ex＝x(x＋1)ex.当x>0或x<－1时，f′(x)>0；当－14. C 设等比数列{an}的公比为q(q≠0).由f(x)＝－x2＋4x＋1，得f′(x)＝x2－5x＋4＝(x－1)(x－4).令f′(x)>0，得x<1或x>4；令f′(x)<0，得10.又a＝a1a5＝4，且a3＝a1q2>0，所以a3＝2.
5. C 由题意，得f(x)＝sin 2x cos θ＋cos 2x sin θ＝sin (2x＋θ)，且＋θ＝＋kπ，k∈Z，所以θ＝－＋kπ，k∈Z.又－<θ<0，则θ＝－，所以f(x)＝sin .当x∈(0，2π)时，2x－∈.因为y＝sin x在区间上，令y′＝cos x＝0，解得x＝或x＝或x＝或x＝，所以f(x)在区间(0，2π)上的极值点有4个．
6. A 因为f(x)＝x3－ax2＋ax＋3，所以f′(x)＝3x2－2ax＋a.因为函数f(x)存在极值点，所以对于函数f′(x)＝3x2－2ax＋a，Δ＝4a2－12a>0，解得a<0或a>3，故实数a的取值范围是(－∞，0)∪(3，＋∞).
7. ABC 对于A，取f(x)＝(x－x0)3，则f′(x)＝3(x－x0)2≥0，当且仅当x＝x0时，等号成立，但函数f(x)在R上单调递增，无极值点，故A错误；对于B，取f(x)＝－x3，则f′(x)＝－3x2≤0，当且仅当x＝0时，等号成立，但函数f(x)＝－x3在R上单调递减，所以“f(x)在R上单调递减”不是“f′(x)<0在R上恒成立”的充分条件，故B错误；对于C，若函数f(x)既有极小值又有极大值，则其极大值不一定不会比它的极小值小，如图，函数f(x)的极大值f(x4)小于它的极小值f(x1)，故C错误；对于D，若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调，故D正确．故选ABC.
8. AC 由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋2ax＋b＝.若函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx既有极大值又有极小值，则方程 2ax2＋bx＋1＝0有两个不等的正根x1，x2，所以可得a＞0，b＜0，b2－8a＞0，故A，C正确，B，D错误．故选AC.
9. 因为f(x)＝x＋cos 2x，所以f′(x)＝1－2sin 2x.令f′(x)＝1－2sin 2x＝0，得sin 2x＝.因为x∈(0，π)，所以2x∈(0，2π)，则2x＝或2x＝，即x＝或x＝.当00，则f(x)在区间和上单调递增，当10. 1 1 令f(x)＝(x－2)ex＝0，解得x＝2，故零点个数为1.由f(x)＝(x－2)ex，求导，得f′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝1，所以当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，1是其极小值点．
11. (0，20) 因为f(x)＝x3＋2x2－ax＋2，所以f′(x)＝3x2＋4x－a.因为函数f(x)在区间[0，2]上不单调，所以函数f(x)在区间[0，2]内存在极值点．又因为函数f′(x)＝3x2＋4x－a在区间[0，2]上单调递增，所以解得012. (1) 函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－1.
令f′(x)＝0，得3x2－1＝0，
解得x＝－或x＝.
列表如下：
x (－∞， －) － (－， ) (， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ ↘ － ↗
所以f(x)在x＝－处取得极大值，在 x＝处取得极小值－.
(2) 函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 0 ↗ 4e-2 ↘
所以f(x)在x＝0处取得极小值0，在x＝2处取得极大值4e-2.
13. (1) 当a＝－3时，f(x)＝ln x＋(x>0)，
则f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝3，
列表如下：
x (0，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x＝3时，f(x)取得极小值，且极小值为f(3)＝ln 3＋1，无极大值．
(2) 由f(x)＝ln x－(x>0)，
得f′(x)＝＋＝(x>0)，
当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在区间[e，e3]上单调递增；
当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－a，
列表如下：
x (0，－a) －a (－a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
因为f(x)在区间[e，e3]上单调递增，
所以－a≤e，即－e≤a<0.
综上，实数a的取值范围为[－e，＋∞).5．3.2 极大值与极小值(2)
一、 单项选择题
1 已知函数f(x)＝x3－(a＋2)x＋1在x＝－1 处取得极大值，则a的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2 (2023沧州吴桥中学月考)已知1是函数f(x)＝(x2＋2ax＋a2－3)ex的极小值点，则实数a的值为( )
A. 0 B. －4
C. 0或4 D. 0或－4
3 (2023绵阳期末)若函数f(x)＝ax2－2ln x有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. (－∞，0]
B. (0，＋∞)
C. (1，＋∞)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
4 (2023贵阳一中月考)函数f(x)＝x3－x2＋x＋2在x∈(1，2)内存在极值点，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C. (－∞，3)∪
D. (－∞，3]∪
5 (2023漳州期末)若a为函数f(x)＝(x－a)2(x－b)的极大值点，则下列结论中正确的是 ( )
A. a>b B. aC. ab>0 D. ab<0
6 (2023咸阳礼泉期中)已知关于x的方程 x2－＝m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2023嘉兴八校联盟期中)已知f(x)＝，则下列结论中正确的是( )
A. 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线平行于x轴
B. f(x)的单调减区间为(0，1)
C. f(x)的极大值为
D. 方程f(x)＝－1没有实数解
8 (2023福州四十中期中)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. a>0 B. b>0
C. c<0 D. a＋b＋c>0
三、 填空题
9 已知三次函数f(x)在x＝1处取得极大值4，在x＝3处取得极小值，且图象过原点，则函数f(x)＝________．
10 (2023南昌铁路一中月考)已知函数f(x)＝x3＋a2x2＋ax－9，且在x＝－1时取得极值，则实数a的值为________．
11 (2023北京二中期末)已知函数f(x)＝ax2－x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝x3＋6ln x，f′(x)为f(x)的导函数．
(1) 求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 求函数g(x)＝f(x)－f′(x)＋的极值．
13 (2023焦作一中期末)已知函数 f(x)＝ex＋ax＋x2.
(1) 若a＝－1，b＝0，求函数f(x)的单调区间；
(2) 若b＝1，f(x)在区间(0，1)上存在极值，求实数a的取值范围．
【答案解析】
5．3.2 极大值与极小值(2)
1. B 由题意，得f′(x)＝3x2－(a＋2)，且f′(－1)＝3－(a＋2)＝0，则a＝1，经检验符合题意.
2. A 对函数f(x)求导，得f′(x)＝(2x＋2a)·ex＋(x2＋2ax＋a2－3)ex＝[x2＋(2a＋2)x＋a2＋2a－3]ex，又1是函数f(x)的极小值点，所以f′(1)＝[12＋(2a＋2)×1＋a2＋2a－3]e1＝0，即a2＋4a＝0，解得a＝0或a＝－4.当a＝0时，f′(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x－1)(x＋3)ex，当－31时，f′(x)>0，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以1是f(x)的极小值点，故a＝0满足题意；当a＝－4时，f′(x)＝(x2－6x＋5)ex＝(x－1)(x－5)ex，当x<1时，f′(x)>0，f(x)在区间(－∞，1)上单调递增，当13. B 函数f(x)＝ax2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，导函数f′(x)＝2ax－＝.因为函数f(x)＝ax2－2ln x有且仅有一个极值点，所以方程ax2－1＝0有且仅有一个正根，且正根的两侧函数y＝ax2－1的函数值异号，所以a>0.
4. A 由题意，得f′(x)＝2x2－ax＋1，若函数f(x)在x∈(1，2)内存在极值点，则f′(x)在x∈(1，2)内有零点，即ax＝2x2＋1在x∈(1，2)内有解，整理，得a＝2x＋在x∈(1，2)内有解，等价于y＝a与y＝2x＋的图象在区间(1，2)内有交点．因为y＝2x＋＝2(x＋)在区间(1，2)上单调递增，所以y＝2x＋∈，所以a∈.
5. B 由题意可得f′(x)＝(x－a)(3x－2b－a).令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝.当a<，即a，即a>b时，则f(x)在区间和(a，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减，不满足a为函数的极大值点；当a＝，即a＝b时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极大值点．综上可得a6. B 因为关于x的方程x2－＝m有三个不同的实数解，所以函数f(x)＝x2－的图象与直线y＝m有3个不同的交点．由f(x)＝x2－，得f′(x)＝2x＋＝.当0时，f′(x)>0；当x<时，f′(x)<0，所以f(x)在区间和(0，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减，所以当x＝时，f(x)取得极小值f＝－＝＋＝，函数的图象大致如图，由图象可知，当m>时，两图象有3个不同的交点，故实数m的取值范围是.
7. AC 对于A，因为f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f′(1)＝0.又因为f(1)＝，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线平行于x轴，故A正确；对于B，函数f(x)的定义域为R，由f′(x)＝<0，得x>1，所以函数f(x)的单调减区间为(1，＋∞)，故B错误；对于C，由f′(x)>0，得x<1，所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，1)，单调减区间为(1，＋∞)，所以函数f(x)的极大值为f(1)＝，故C正确；对于D，令g(x)＝f(x)＋1＝＋1，则函数g(x)在区间(－∞，1)上单调递增．又因为g(－1)＝1－e<0，g(0)＝1>0，所以g(－1)g(0)<0，由零点存在定理可知，函数g(x)在区间(－1，0)上存在零点，即方程f(x)＝－1有解，故D错误．故选AC.
8. AC 由f(x)的图象可知f(x)在区间(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增，在区间(－1，3)上单调递减，在x＝－1处取得极大值，在x＝3处取得极小值．又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以x＝－1和x＝3为方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，且a>0，所以－1＋3＝－，－1×3＝，所以b＝－3a<0，c＝－9a<0，所以a＋b＋c＝a＋(－3a)＋(－9a)＝－11a<0.故选AC.
9. x3－6x2＋9x 根据题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根为1，3，所以－＝4，＝3，所以b＝－6a，c＝9a，即f(x)＝ax3－6ax2＋9ax.又f(1)＝4，所以 a＝1，所以f(x)＝x3－6x2＋9x. 经验证，符合题意．
10. － 由题意可得f′(x)＝x2＋2a2x＋a，因为f(x)在x＝－1时取得极值，所以f′(－1)＝1－2a2＋a＝0，解得a＝－或a＝1.当a＝1时，f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，可知f(x)在R上为增函数，无极值，不符合题意；当a＝－时，f′(x)＝x2＋x－，令f′(x)>0，解得x>或x<－1；令f′(x)<0，解得－111. 因为f(x)＝ax2－x＋ln x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝2ax－1＋＝，x>0.因为函数f(x)＝ax2－x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，所以f′(x)＝0有两个不同的正实根x1，x2，即方程2ax2－x＋1＝0有两个不同的正实根x1，x2，所以解得012. (1) 因为f(x)＝x3＋6ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x2＋，
所以f(1)＝1，f′(1)＝9，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8.
(2) 由题意，得g(x)＝x3－3x2＋6ln x＋，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝3x2－6x＋－，整理，得g′(x)＝.
令g′(x)＝0，解得x＝1.
列表如下：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
g′(x) － 0 ＋
g(x) ↘ 极小值 ↗
所以函数g(x)的单调减区间为(0，1)，单调增区间为(1，＋∞)，
故函数g(x)的极小值为g(1)＝1，无极大值．
13. (1) 由题意，得f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1.
令f′(x)<0，得x<0；令f′(x)>0，得x>0，
所以f(x)的单调减区间为(－∞，0)，单调增区间为(0，＋∞).
(2) 由题意，得f(x)＝ex＋ax＋x2，
则f′(x)＝ex＋a＋x.
令g(x)＝ex＋a＋x，则g′(x)＝ex＋1，
所以g′(x)>0在区间(0，1)上恒成立，
所以g(x)在区间(0，1)上单调递增．
因为f′(0)＝1＋a，f′(1)＝e＋a＋1，f(x)在区间(0，1)上有极值，
所以解得－e－1故实数a的取值范围是(－e－1，－1).5．3.3 最大值与最小值(1)
一、 单项选择题
1 (2023北京一零一中学期中)已知函数f(x)＝ex－x，则函数f(x)的最小值为( )
A. B. 1 C. e－1 D. e
2 (2023沈阳东北育才学校月考)函数f(x)＝2sin x－sin 2x是( )
A. 奇函数，且最大值为2
B. 偶函数，且最大值为2
C. 奇函数，且最大值为
D. 偶函数，且最大值为3
3 (2023淄博五中月考)若P是曲线y＝x2－ln x上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.
4 已知f(x)＝，则f(x)在区间上的最大值为( )
A. B. C. －1 D. 0
5 (2023宜春期末)设函数f(x)＝－x2－6x＋m，g(x)＝2x3＋3x2－12x－m，若 x1∈[－5，－2]， x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数m的最小值为( )
A. 2 B. － C. －6 D. －8
6 已知函数f(x)＝a＋ln x在x＝1处取最大值，则实数a的值为( )
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
二、 多项选择题
7 已知函数f(x)＝x ln x，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)的单调增区间为(e，＋∞)
B. f(x)在区间上单调递减
C. 当x∈(0，1]时，f(x)有最小值－
D. f(x)在定义域内无极值
8 (2023镇江一中月考)已知奇函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，x∈[－2，2]，其导函数f′(x)＝x2－2，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)＝x3－4x，x∈[－2，2]
B. 函数f(x)的极值点有且仅有一个
C. 函数f(x)的最大值与最小值之和等于0
D. 函数f(x)有两个单调增区间
三、 填空题
9 (2023湖北期末)函数f(x)＝x2＋cos x的最小值为________．
10 (2023眉山仁寿四校联考)已知函数 f(x)＝－x3＋x在区间(a2－6，a)上有最小值，则实数a的取值范围为________．
11 (2023南通月考)已知曲线f(x)＝x2和g(x)＝ln x，若直线x＝m与这两条曲线都相交，交点分别为M，N，则MN的最小值为________．
四、 解答题
12 (2023嘉兴八校期中联考)已知函数f(x)＝(x2－3)ex.
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 求f(x)在区间[－1，2]上的最值．
13 (2023重庆璧山来凤中学月考)已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1) 求y＝f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(2) 求证：当x∈(1，＋∞)时，函数y＝f(x)的图象恒在函数g(x)＝x3图象的下方．
【答案解析】
5．3.3 最大值与最小值(1)
1. B 函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0.当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故f(x)min＝f(0)＝e0－0＝1.
2. C 因为f(x)＝2sin x－sin 2x的定义域为R，且f(－x)＝2sin (－x)－sin (－2x)＝－2sin x＋sin 2x＝－f(x)，故f(x)＝2sin x－sin 2x为奇函数，排除B，D；因为f(x＋2π)＝2sin (x＋2π)－sin (2x＋4π)＝2sin x－sin 2x＝f(x)，所以2π是f(x)的一个周期．要想求解f(x)＝2sin x－sin 2x的最大值，只需考虑x∈[0，2π]的情况，易得f′(x)＝2cos x－2cos 2x＝2cos x－4cos2x＋2＝2(2cosx＋1)(1－cos x)，当x∈时，f′(x)≥0，则f(x)＝2sin x－sin 2x在 x∈上单调递增，当x∈时，f′(x)<0，则f(x)＝2sin x－sin 2x在x∈上单调递减，当x∈时，f′(x)≥0，则f(x)＝2sin x－sin 2x在x∈上单调递增，故f(x)＝2sin x－sin 2x在x＝处取得极大值f＝2sin －sin ＝2×＋＝.又f(2π)＝2sin 2π－sin 4π＝0，故f(x)＝2sin x－sin 2x的最大值为.
3. D 设动点P的坐标为P(x，x2－ln x)，则点P到直线y＝x－2的距离d＝＝.设f(x)＝x＋ln x－x2－2(x>0)，则f′(x)＝1＋－2x＝－(2x＋1)(x－1).令f′(x)>0，得01，所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，故当x＝1时，f(x)取得最大值为f(1)＝－2，即f(x)的值域为(－∞，－2]，所以|f(x)|≥2，故当x＝1时，点P到直线y＝x－2的距离d的最小值为＝.
4. B 因为f(x)＝＝x＋－2，且x∈，所以f′(x)＝1－x-2，令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，则当x∈时，f′(x)＜0，当x∈(1，3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间上单调递减，在区间[1，3]上单调递增．又f＝，f(3)＝，所以f(x)在区间上的最大值是.
5. C 因为 x1∈[－5，－2]， x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，所以f(x)在x∈[－5，－2]上的值域包含于g(x)在x∈[－1，2]上的值域．因为f(x)＝－x2－6x＋m＝－(x＋3)2＋9＋m，所以当x∈[－5，－3]时，f(x)单调递增；当x∈[－3，－2]时，f(x)单调递减．又f(－5)0，g(x)单调递增．又g(－1)＝13－m，g(1)＝－7－m，g(2)＝4－m，所以g(x)∈[－7－m，13－m]，所以[5＋m，9＋m] [－7－m，13－m]，所以解得－6≤m≤2，故实数m的最小值为－6.
6. C 由题意，得f′(x)＝＋，x＞0，因为函数f(x)＝a＋ln x在x＝1处取最大值，此时也是极大值，所以f′(1)＝a＋1＝0，所以a＝－2，此时f′(x)＝－＝，当x＞1时，f′(x)＜0，函数单调递减，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，函数单调递增，符合题意．
7. BC 由题意，得f′(x)＝ln x＋1，函数定义域为(0，＋∞).由f′(x)＞0，得x＞，由f′(x)＜0，得0＜x＜，所以f(x)的单调增区间为，单调减区间为，故A错误，B正确；所以当x＝时，f(x)取得极小值也是最小值，f(x)min＝f＝ln ＝－，故C正确，D错误．故选BC.
8. CD 因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即ax3＋bx2＋cx＋d－ax3＋bx2－cx＋d＝2bx2＋2d＝0.由x的任意性可得b＝d＝0，所以f(x)＝ax3＋cx，x∈[－2，2]，则f′(x)＝3ax2＋c＝x2－2，可得3a＝1，c＝－2，即a＝，c＝－2，所以f(x)＝x3－2x，x∈[－2，2]，故A错误；因为f′(x)＝x2－2，x∈[－2，2]，令f′(x)>0，解得－2≤x<－或9. 1 由题意，得f′(x)＝x－sin x，x∈R.设g(x)＝x－sin x，则g′(x)＝1－cos x≥0，所以g(x)在R上单调递增．由g(x)＝0，得x＝0，当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝1.
10. (－1，2] 由题意，得f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x<－1或x>1时，f′(x)<0；当－10，所以f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在区间(－1，1)上单调递增，所以－1是f(x)的极小值点，且f(－1)＝f(2)＝－.因为函数f(x)＝－x3＋x在区间(a2－6，a)上有最小值，所以a2－6<－111. 令h(x)＝x2－ln x(x>0)，则h′(x)＝x－＝＝.因为x>0，所以x＋>0.由h′(x)<0，得00，得x>，所以h(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h()＝×()2－ln ＝－＝，即MN的最小值为.
12. (1) 因为f(x)＝(x2－3)ex，
所以f′(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x＋3)(x－1)ex.
当x<－3或x>1时，f′(x)>0；
当－3故函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)和(1，＋∞)，单调减区间为(－3，1).
(2) 由(1)可得函数f(x)在区间[－1，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，
且f(－1)＝－2e-1＝－，f(2)＝e2，
则f(x)在区间[－1，2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝e2，最小值f(x)min＝f(1)＝－2e.
13. (1) 因为f(x)＝x2＋ln x，
所以f′(x)＝x＋＝.
当x∈[1，e]时，f′(x)>0，
所以y＝f(x)在区间[1，e]上单调递增，
则f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
(2) 设h(x)＝x2＋ln x－x3，
则h′(x)＝x＋－2x2＝＝.
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，
则h(x)单调递减，且h(1)＝－<0，
故当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，
即x2＋ln x所以当x∈(1，＋∞)时，函数y＝f(x)的图象恒在函数g(x)＝x3图象的下方．5．3.3 最大值与最小值(2)
一、 单项选择题
1 (2023银川二中期末)函数f(x)＝(x－3)ex的最小值是( )
A. e3 B. －e3
C. e2 D. －e2
2 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为( )
A. B. 100 C. 20 D.
3 设x1满足2x＋ln x＝5，x2满足ln (2－x)－2x＝1，则x1＋x2的值为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
4 (2023宁波镇海中学期中)若函数y＝ex－2x的图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，2－2ln 2) B. (2－2ln 2，＋∞)
C. [2－2ln 2，＋∞) D. (2－ln 2，＋∞)
5 (2023赣州中学月考)如果对任意x∈R，ex+2>x＋log2a恒成立，那么实数a的取值范围是( )
A. B.
C. (0，8) D. (0，8]
6 (2023绵阳三台期中)已知函数f(x)＝－ln x－m有零点，则实数m的取值范围为( )
A. (－∞，－ln 2]
B. (－∞，2－2ln 2]
C. [－ln 2，＋∞)
D. [2－2ln 2，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2023济宁嘉祥一中期中)下列说法中，正确的是( )
A. 当x∈R时，ex≥x＋1
B. 当x>0时，ln x≤x－1
C. 当x∈R时，ex≥x2＋x＋1
D. 当x>0时，ln x≥1－
8 (2023长春外国语学校期中)已知函数f(x)＝，则下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)有极小值
B. 函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为4
C. 当k∈(－2e2，)时，f(x)＝k恰有三个实根
D. 若当x∈[0，t]时，f(x)max＝，则实数t的最小值为2
三、 填空题
9 设010 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．
11 (2023镇江扬中二中期末)已知不等式x2－a ln x>0(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2023北京中学月考)已知曲线C：y＝4－x2与x轴交于不同的两点A，B(点A在点B的左侧)，点P(t，0)在线段AB上(不与端点重合)，过点P作x轴的垂线交曲线C于点Q.
(1) 若△APQ为等腰直角三角形，求△APQ的面积；
(2) 记△APQ的面积为S(t)，求S(t)的最大值．
13 (2023湖北期末)已知函数f(x)＝xex－2ex－ax2＋ax＋2，a∈R.
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 当a＝，x>0时，证明：f(x)>0.
【答案解析】
5．3.3 最大值与最小值(2)
1. D 由题意，得f′(x)＝(x－2)ex.由f′(x)>0，得x>2；由f′(x)<0，得x<2，所以f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(2)＝－e2.
2. A 设圆锥的高为x(00；当x∈时，V′(x)<0，所以当x＝时，V(x)取最大值，即体积最大时，圆锥的高为.
3. D 由题意，得ln (2－x2)－2x2＝1，令2－x2＝t，则ln t－2(2－t)＝1，即ln t＋2t＝5.又x1满足 2x＋ln x＝5，所以2x1＋ln x1＝5.因为函数f(x)＝2x＋ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以t＝x1，即2－x2＝x1，所以x1＋x2＝2.
4. B 函数y＝ex－2x的定义域为R，求导，得y′＝ex－2，当xln 2时，y′>0，函数y＝ex－2x单调递增，所以当x＝ln 2时，函数y＝ex－2x取得最小值2－2ln 2.作出函数y＝ex－2x的图象大致如图，所以当函数y＝ex－2x的图象与直线y＝a恰有两个不同的交点时，a>2－2ln 2，即实数a的取值范围是(2－2ln 2，＋∞).
5. C 由题意，得对任意x∈R，ex+2－x>log2a恒成立．设f(x)＝ex+2－x，则f′(x)＝ex+2－1.令f′(x)＝ex+2－1>0，解得x>－2；令f′(x)＝ex+2－1<0，解得x<－2，所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(－2)＝3，则有log2a<3，解得06. D 由题意，得f′(x)＝，当04时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)的最小值为f(4)＝2－2ln 2－m，所以f(x)的值域为[2－2ln 2－m，＋∞).若函数f(x)＝－ln x－m有零点，则2－2ln 2－m≤0，解得m≥2－2ln 2，即实数m的取值范围为 [2－2ln 2，＋∞).
7. ABD 对于A，令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，即当x∈R时，ex≥x＋1，故A正确；对于B，令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)，则g′(x)＝－1＝，所以当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，即当x>0时，ln x≤x－1，故B正确；对于C，令h(x)＝ex－x2－x－1，则h′(x)＝ex－x－1.由A知，ex≥x＋1，即h′(x)≥0恒成立，所以h(x)在R上单调递增．又h(0)＝0，所以当x∈(－∞，0)时，h(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，h(x)>0，即当x∈(－∞，0)时，exx2＋x＋1，故C错误；对于D，令φ(x)＝ln x－1＋(x>0)，则φ′(x)＝－＝，当x∈(0，1)时，φ′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，所以φ(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(1)＝0，即当x>0时，ln x≥1－，故D正确．故选ABD.
8. AD 由题意，得f′(x)＝，令f′(x)>0，解得－22，则f(x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在区间(－2，2)上单调递增，可知f(x)的极大值为f(2)＝，极小值为f(－2)＝－2e2，且当x趋近于－∞时，f(x)趋近于＋∞，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于0，可得f(x)的图象大致如图．对于A，可知f(x)的极小值为f(－2)＝－2e2，故A正确；对于B，因为f′(1)＝，所以函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为，故B错误；对于C，方程f(x)＝k根的个数，等价于函数f(x)与y＝k图象的交点个数．由图象可知，当k∈时，f(x)＝k恰有三个实根，故C错误；对于D，若当x∈[0，t]时，f(x)max＝，则t≥2，所以实数t的最小值为2，故D正确．故选AD.
9. y′＝＝.因为00；当010. 9 由y′＝－x2＋81＝0，得x1＝－9(舍去)，x2＝9，所以当x∈(0，9)时，y′>0；当x∈(9，＋∞)时，y′<0，所以当x＝9时，函数取最大值，故使该厂家获取最大年利润的年产量为9万件．
11. (0，e) 当a>0时，不等式x2－a ln x>0等价于>.令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，当00；当x>时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增，在区间(，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f()＝，所以>，即012. (1) 由题意可得AP⊥PQ，所以AP＝PQ.
由点P(t，0)，得点Q(t，4－t2)，
则t－(－2)＝4－t2，解得t＝1或t＝－2(舍去)，
则P(1，0)，Q(1，3)，
所以S△APQ＝×3×3＝.
(2) 由点P(t，0)，得点Q(t，4－t2)，
则S(t)＝×(t＋2)×(4－t2)＝－t3－t2＋2t＋4(－2所以S′(t)＝－t2－2t＋2＝
＝－＝－，
所以在区间上，S′(t)>0，S(t)单调递增；
在区间上，S′(t)<0，S(t)单调递减，
所以S(t)的最大值是S＝×(＋2)×＝××＝.
13. (1) 由题意，得f′(x)＝ex(x－1)－a(x－1)＝(x－1)(ex－a)，
若a≤0，则当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
若01或x0，f(x)单调递增，
当ln a若a＝e，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；
若a>e，则当x>ln a或x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当1综上，当a≤0时，f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；当0e时，f(x)在区间(－∞，1)，(ln a，＋∞)上单调递增，在区间(1，ln a)上单调递减．
(2) 当a＝时，f(x)＝xex－2ex－x2＋x＋2，
由(1)可得，当x>1或x0，f(x)单调递增；
当ln 又因为f(0)＝0，f(1)＝－e>0，
所以当a＝，x>0时，f(x)>0.